1. Неопределенный интеграл

1.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Пусть дана функция Тогда производная Оператор, сопоставляющий функции её производную, называется оператором дифференцирования D:

Рассмотрим обратную задачу: зная функцию найти функцию , производная которой равна

(1.1)

Говорят, что функция F(x) является первообразной для функции f(x).

Примеры

1. 

2. первообразной для функции является функция Вместе с тем первообразной будет и функция , и , и т. д.

Из последнего примера следует, что задача об отыскании первообразной не имеет единственного решения.

Теорема 1 (о виде первообразных). Любые две первообразные для одной и той же функции различаются лишь на постоянную величину.

Доказательство. Пусть F(x) и Ф(х) – две первообразные для функции f(x), т. е.

Таким образом, любая первообразная для заданной функции имеет вид

Здесь – какая-либо первообразная; С – произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается

(1.2)

В (1.2) f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением. Процедура вычисления неопределённого интеграла называется интегрированием функции f(x).

Геометрический смысл неопределённого интеграла ясен из рис. 1.1, где показано множество кривых, каждая из которых может быть получена сдвигом кривой y = F(x) в направлении оси ординат. Неопределённый интеграл есть произвольный элемент y = F(x) + С указанного семейства кривых.

На неопределённый интеграл можно смотреть как на оператор, действующий из С в С¹:

Оператор интегрирования иногда обозначают следующим образом:

имея в виду, что если заменить точку функцией f(x), то получится значение оператора на функции f(x).

Теорема 2 (о существовании неопределённого интеграла). Для всякой функции класса существует неопределённый интеграл на том же отрезке .

В данном курсе доказательство этой теоремы не рассматривается.

1.2. Основные свойства неопределённого интеграла

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

(1.3)

Доказательство:

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

Доказательство:

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

Доказательство:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

(1.4)

Доказательство. Знак равенства в (1.4) понимается как совпадение производных для левой и правой частей. Отсюда следует очень простое доказательство

5. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, если интегралы существуют:

(1.5)

Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству свойства 4:

,

Из равенств (1.4), (1.5) следует, что оператор интегрирования является линейным оператором.