Задания для самостоятельного решения
1. Вычислить
площадь плоской фигуры D
с помощью двойного интеграла, если
(ответ:
кв. ед.)
2. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями
,
(ответ:
кв. ед.).
3. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной окружностями
,
(вне окружности
)
(ответ:
кв. ед.).
4. Вычислить объем пространственного тела V, ограниченного поверхностями:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
(ответ:
а)
куб. ед.; б)
куб. ед.; в)
куб. ед.; г)
куб. ед.).
5.
Вычислить длину дуги циклоиды
(ответ: 4 ед.).
6.
Вычислить площадь поверхности цилиндра
,
отсеченной плоскостями
,
,
(ответ: 13 кв. ед.).
7.
Найти площадь части конуса
,
заключенной внутри цилиндра
(ответ:
кв. ед.).
9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
Пусть в некотором теле известны сечения плоскостями, перпендикулярными оси Oх (рис. 9.10). Эти сечения называют поперечными. Положение поперечного сечения определяется точкой х. С изменением х площадь сечения меняется, т. е. представляет собой функцию S(x). Будем считать её известной. На этом сечении построим цилиндр высотой dx. Его объём
.
Тогда объём всего тела определяется формулой
.
(9.6)
Рис. 9.10
Пример. Вычислить объём эллипсоида
Решение
Пусть
В сечениях, перпендикулярных оси Оx, получаются эллипсы с полуосями
Отсюда имеем
(куб. ед.)
9.2.2. Объём тела вращения
Если
криволинейная трапеция, ограниченная
кривой y
= f(x)
и прямыми y
= 0, x
= a,
x
= b,
вращается вокруг оси Ox,
то в поперечном сечении получается круг
радиуса f(x)
(рис. 9.11). Тогда площадь круга будет
находиться по формуле
.
Подставляя ее в (9.6), получим формулу
объёма тела вращения
.
Рис. 9.11
Пример.
Вычислить
объём тела, полученного вращением вокруг
оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной
параболами
и
.
Решение
Найдем точки пересечения парабол:
,
т. е. это точки с координатами M(−1; 2) и M(1; 2).
Объем
данного тела получится как разность
объемов
,
где
,
.
Таким образом,
(куб. ед.)
9.2.3. Площадь поверхности вращения
Пусть дуга AB кривой у = f (x) вращается вокруг оси Oх (рис. 9.12). Элемент дуги кривой dl описывает поверхность, близкую к поверхности усеченного конуса. Считая точку х лежащей на середине dx, получим площадь поверхности этого элементарного конуса по формуле усеченного конуса
,
где dl − дифференциал дуги плоской кривой. В нашем случае она имеет уравнение y = f (x), тогда
,
а вся поверхность получится интегрированием
.
Рис. 9.12
Задания для самостоятельного решения
1.
Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной кривой
и прямой
(ответ:
куб. ед.)
2.
Найти объем тела, ограниченного
плоскостями
,
,
если площадь его поперечного сечения
обратно пропорциональна квадрату
расстояния сечения от начала координат,
а при
площадь сечения равна 27 (кв. ед.)
(ответ: 72 куб.ед.).
3. Найти площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси Ох дуг кривых:
а)
(
);
б)
(площадь, образованную вращением одной
арки) (ответ: а)
кв. ед.; б)
кв. ед.).