7. Вычисление кратных интегралов

7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Рассмотрим ограниченную область .

Будем называть D правильной в направлении оси Oy, если она ограничена линиями и каждая прямая, параллельная оси Oy, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области D ровно в двух точках (рис. 7.1).

Нижнюю из них (1) будем называть точкой входа, верхнюю (2) – точкой выхода.

Аналогично определяется область, правильная в направлении оси Ox (рис. 7.2).

Область, правильная в направлении обеих осей, называется правильной (нормальной).

Области более сложной формы обычно без особых затруднений можно разбить на несколько правильных областей. В качестве упражнения проделайте это с областью, изображенной на рис. 7.3 (область имеет «дыру»).

При вычислении двойного интеграла

(7.1)

будем считать, что область D правильная, а

Разобьем область D на элементарные прямоугольные участки прямыми, параллельными осям координат (рис. 7.4). Очевидно, что – площадь участка . На основании этого элемент площади в декартовых координатах записывают в виде Внутри каждого прямоугольника выберем точку .

Выведем формулу для вычисления двойного интеграла (7.1)

Итак,

(7.2)

Интеграл, стоящий в правой части равенства (7.2), называется двукратным (или повторным) интегралом.

Из полученной формулы следует правило вычисления двойного интеграла: для вычисления интеграла (7.1) нужно проинтегрировать функцию f(x, y) по y (считая х постоянным) от до , затем проинтегрировать полученный результат по х в пределах от а до b (см. схему на рис. 7.5).

Рис. 7.5 Рис. 7.6

Аналогично можно вычислить интеграл (7.1), выполняя сначала интегрирование в направлении оси Ox, а затем – в направлении оси Oy:

(7.3)

(см. схему на рис. 7.6).

В двукратном интеграле (7.2) интеграл

называется внутренним, а

– внешним (в (7.3) – аналогично).

Пример 1. Вычислить повторные интегралы:

а) ; б)

Решение

а) =;

б).

Пример 2. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если область D ограничена линиями .

Решение

Построим область D, ограниченную линиями (рис. 7.7). Тогда

Пример 3. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если область D ограничена линиями .

Решение

Построим область D, ограниченную линиями (рис. 7.8). Тогда в направлении оси Oy пределы интегрирования расставляются легко:

.

В направлении оси Ox сверху область ограничивают две прямые и , поэтому двойной интеграл будет записан в виде суммы двух повторных интегралов

.

Таким образом,

.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:

а) ; б) .

Решение

1. Область интегрирования ограничена прямыми , , и параболой (рис. 7.9). Рассмотрим область в другом направлении интегрирования. Тогда ее ограничивают прямые , и положительная ветвь параболы . Следовательно,

=.

2. Область интегрирования ограничена справа и слева прямыми , , сверху параболой , снизу частью окружности . Так как область интегрирования в направлении оси Ox ограничена несколькими кривыми, то разобьем ее на две части, каждая из которых будет ограничена только одной кривой. Получим область , ограниченную прямой и ветвями параболы и ; область , ограниченную прямой и частью окружности (рис. 7.10). Меняя порядок интегрирования, запишем

=.

Пример 5. Вычислить

,

если область D ограничена линиями , .

Решение

Построим область D, ограниченную линиями , (рис. 7.11).

Найдём точки пересечения графиков

.

Снизу область ограничивает функция , а сверху . Тогда

.