Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить интеграл (ответ: ).

2. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если задана область интегрирования D:

а) D : ;

б) D : ;

в) D :

(ответ: а) =;

б)

;

в) =).

3. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:

а) ;

б)

(ответ: а) ;

б) ).

4. Вычислить двойные интегралы:

а) , если D : , , ;

б) , если D : , ,

(ответ: а) ; б) ).

7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Область будем называть правильной в направлении оси Oz, если:

1. любая прямая, параллельная оси Oz и проходящая через внутреннюю точку области V, пересекает ее границу ровно в двух точках;

2. проекцией области V на плоскость Oxy является правильная область S (рис. 7.12).

Аналогично определяется область, правильная в направлении осей Ox и Oy.

При вычислении тройного интеграла

будем считать, что область V правильная в направлении оси Oz, а . «Снизу» область V ограничивает поверхность , а «сверху» – . Проекцию S области V на плоскость Oxy в направлении оси Oy ограничивают кривые и

(рис. 7.13).

В декартовых прямоугольных координатах элемент объёма записывается в виде

Получим формулу для вычисления тройного интеграла в декартовых координатах:

=.

Рис. 7.13

Итак,

(7.4)

Интеграл, стоящий в правой части формулы (7.4), называется трехкратным интегралом.

Интегрирование по области V, правильной в направлении оси Ox или Oy, выполняется аналогично.

Сформулируйте самостоятельно правило вычисления тройного интеграла.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение

=

.

Пример 2. Вычислить тройной интеграл

,

где V – область, расположенная в первом октанте, ограниченная конусом и плоскостями (рис. 7.14).

Решение

Используя (7.4), имеем

=

=

Пример 3. Вычислить

,

если V − область, ограниченная плоскостями .

Решение

Построим область, ограниченную плоскостями (рис. 7.15).

Задания для самостоятельного решения

1.  Подумайте, при каком условии все пределы интегрирования в (7.4) будут постоянными величинами.

2.  Запишите формулу вычисления тройного интеграла в случае области V, правильной в направлении оси Oy.

3. Вычислите интеграл (ответ: ).

4. Вычислите тройной интеграл , если V – область, ограниченная поверхностями (ответ: ).

7.3. Замена переменных в кратных интегралах

7.3.1. Общая формула замены переменных

Рассмотрим в Е³ три семейства поверхностей

(7.5)

Поверхности называют координатными поверхностями, а линии их пересечения – координатными линиями.

Тогда все точки пространства можно задать тройкой чисел  − криволинейными координатами точки. А соотношение (7.5) можно считать формулами преобразования координат. Элемент объёма в этой системе координат тоже криволинейный, и уже нельзя считать, что он равен произведению трех измерений

Если соотношения (7.5) разрешить относительно x, y, z

то получим отображение области V пространства Oxyz на область V₁ пространства (рис. 7.16). При этом взаимная однозначность отображений гарантируется условием

. (7.6)

Рис. 7.16

Определитель в (7.6) называется функциональным определителем или Якобианом¹. Можно показать, что коэффициент искажения элементарного объёма равен модулю Якобиана, т. е.

Отсюда для тройного интеграла имеем

Для двойного интеграла формулы будут выглядеть проще:

1. формулы преобразования

2. Якобиан

;

3. формула замены переменных в двойном интеграле

.