3. Несобственные интегралы

Понятие интеграла было введено для функций, непрерывных на конечном отрезке. Однако при рассмотрении математических моделей многих явлений (процессов) целесообразно обобщение понятия интеграла. Во-первых, иногда полезно рассмотрение бесконечных пределов интегрирования. Во-вторых, интегрируемая функция может иметь разрывы. В связи с изложенным мы рассмотрим эти ситуации и дадим соответствующие обобщения понятию интеграла.

3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть т. е. функция f(x) непрерывна на отрезке при любом b > a.

Интеграл

(3.1)

называется несобственным интегралом.

Говорят, что несобственный интеграл сходится, если существует конечный предел (3.1). Если не существует конечного предела (3.1), то несобственный интеграл называют расходящимся.

С геометрической точки зрения величина (3.1) выражает площадь бесконечной фигуры, ограниченной кривой осью абсцисс и прямой x = a (рис. 3.1).

Аналогично вводятся и другие несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

где выбирается произвольно (докажите самостоятельно, что от выбора c значение интеграла не зависит). Для последнего интеграла сходимость определяется сходимостью обоих интегралов в правой части равенства.

Рассмотренные несобственные интегралы называют иногда несобственными интегралами первого рода.

Пример 1.

Ответ: Интеграл сходится.

Введём понятие главного значения несобственного интеграла I рода – Valeur principle (v.p.)

v.p. .

Для чего его вводят? Может оказаться, что не существует, но, устремив переменную в пределе определенным, симметричным образом, получим сходящийся интеграл (рис. 3.2).

Пример 2. Найти значение или установить расходимость несобственного интеграла .

Решение

.

Ответ: Интеграл расходится.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл

.

Решение

.

Ответ: Интеграл сходится и равен .

Пример 4. Вычислить несобственный интеграл

.

Решение

Оба предела интегрирования бесконечны, поэтому разбиваем интеграл на сумму двух интегралов

.

Данный интеграл сходится, если сходятся интегралы справа

и .

Исследуем на сходимость первый интеграл:

.

Интеграл сходится. Исследуем на сходимость второй интеграл:

.

Интеграл также сходится, следовательно,

.

Ответ: Интеграл сходится и равен .

Пример 5. Пусть в начале координат O находится масса m, которая притягивает материальную точку M, находящуюся на оси Ox на расстоянии x от O и имеющую массу 1, с силой (по закону Ньютона). Какую работу А произведет сила F при перемещении точки М вдоль оси Ox из положения, отвечающего x = r, в бесконечность?

Решение

Работа, очевидно, будет отрицательной, так как направление силы противоположно направлению движения; отсюда

.

При обратном перемещении точки М из бесконечности в точку x = r сила ньютоновского притяжения произведет положительную работу ; эта величина называется потенциалом рассматриваемой силы в точке x = r и служит мерой накопления в точке потенциальной энергии.

Ответ: .

Пример 6. При исследовании затухающего тока, получающегося при разряде, иногда применяются «баллистические» приборы, показания которых пропорциональны не мгновенному значению силы тока I или ее квадрату , а «интегральной силе тока» или «интегральному квадрату силы тока» . Здесь t – время, отсчитываемое от начала разряда; I – сила переменного тока, зависящая от времени. Процесс теоретически продолжается бесконечно, хотя практически уже через конечный промежуток времени сила тока становится неощутимой; при расчете промежуток времени считают бесконечным в целях упрощения формул.

Вычислить g и S для следующих процессов:

а) (простой апериодический процесс); k – постоянный коэффициент, больший нуля;

б) (простой колебательный процесс); коэффициенты постоянны.

Решение

а) ;

;

б)