М.А. ЕВДОКИМОВ,
Л.В. ЛИМАНОВА
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Самара
Самарский государственный технический университет
2008
Ф
ЕДЕРАЛЬНОЕ
АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
К а ф е д р а «Высшая математика и прикладная информатика»
М.А. ЕВДОКИМОВ,
Л.В. ЛИМАНОВА
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебника
Самара
Самарский государственный технический университет
2008
УДК 517
Е 15
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Жданов А.И.
Евдокимов М.А.
Е15 Интегральное исчисление и его приложения: Учебник / М.А. Евдокимов, Л.В. Лиманова. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2008. – 208 с.
ISBN 978-5-7964-1155-1
Составлен в соответствии с рабочей программой по курсу высшей математики для студентов всех инженерно-технических специальностей СамГТУ. Продолжает серию учебников по высшей математике, издаваемых на кафедре высшей математики и прикладной информатики. В каждый раздел включено достаточное количество задач, примеров и упражнений, многие из которых иллюстрируют связь математики с другими дисциплинами.
Предназначен для студентов и преподавателей университета.
УДК 517
Е 15
ISBN 978-5-7964-1155-1 © М.А. Евдокимов, Л.В. Лиманова,
2008
© Самарский государственный
технический университет, 2008
Введение
Понятие «интеграл» непосредственно связано с интегральным исчислением − разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.
Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции. Метод исчерпывания − это набор правил для вычисления площадей и объёмов, разработка которых приписывается Евдоксу Книдскому. Дальнейшее развитие метод получил в работах Евклида, а особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания славился Архимед.
Кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих научных достижений. О методе исчерпывания вспомнили лишь в XVII веке. Это было связано с именами Исаака Ньютона, Готфрида Лейбница, Леонарда Эйлера и ряда других выдающихся учёных, заложивших основу современного математического анализа. В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место, становятся основой новых методов математики.
В конце XVII и в XVIII веке в математике и механике были получены классические результаты фундаментального значения. Основным здесь было развитие дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и аналитической механики.
Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, прежде всего связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применения к решению прикладных задач были разработаны в конце XVII века, но основывались на идеях, сформулированных в начале XVII веке великим математиком и астрономом Иоганом Кеплером. Лейбниц одновременно с Ньютоном и независимо от него открыл основные принципы дифференциального и интегрального исчислений. Теория приобрела силу после того, как Лейбницем и Ньютоном было доказано, что дифференцирование и интегрирование − взаимно обратные операции. Об этом свойстве хорошо знал и Ньютон. Но только Лейбниц увидел здесь ту замечательную возможность, которую открывает применение символического метода.
Примерно с последней четверти XVIII века область приложений математического анализа начинает значительно перекрывать границы его обычного приложения в механике и геометрии. Ещё быстрее развертывается этот процесс в первой четверти XIX века.
Дух времени требовал аналитического пути развития точных наук, применения дифференциального и интегрального исчисления для описания физических явлений. Этот путь и начал прокладывать Леонард Эйлер.
Это было время, когда великие идеи Ньютона и Лейбница были опубликованы сравнительно недавно, и современный математический анализ только создавался. Мощные методы, которые принесли с собой эти идеи, находили применение во всех отраслях точного знания. Применение это шло рука об руку с развитием самого анализа, часто указывая пути и направления, по которым должно развиваться новое исчисление. Это была, пожалуй, единственная по своей интенсивности эпоха математического творчества, и Эйлер был одним из немногих по своей продуктивности творцов. Его «Введение в анализ бесконечно малых», «Основания дифференциального исчисления» и «Основания интегрального исчисления» были первыми трактатами, в которых уже обширный, но разрозненный материал нового анализа был объединен в цельную науку. В них был выработан тот скелет современного анализа, который сохранился и до нашего времени.
В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В. Остроградский (1801-1862), В.Я. Буняковский (1804-1889), П.Л. Чебышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, невыразимые через элементарные функции. Строгое изложение теории интеграла появилось только в XIX веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши (1789-1857), немецкого ученого Б. Римана (1826-1866), французского математика Г. Дарбу (1842-1917). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826-1922) теории меры. Различные обобщения понятия интеграла уже в начале двадцатого столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским математиком А.Я. Хичиным (1894-1959).
Сегодня понятия производной и интеграла стали необходимыми элементами общей культуры человека. Они расширяют кругозор и оказываются полезными не только при решении технических задач, но и в самых разных областях знаний.