Весна 16 курс 3 ОрТОР / Теория АД / Термодинамика и теплопередача Никифоров А.И.-1
.pdf
61 |
|
Продифференцируем уравнение состояния (1.11): |
|
d(pυ) = υdp + pdυ = RdT . |
(2.26) |
В данном частном случае для системы р = const |
это уравнение |
упрощается, так как dp = 0, поэтому |
|
pdυ = RdT . |
(2.26′) |
Используя полученное уравнение (2.26′), а также уравнения (2.23) и |
|
(2.24), из уравнения (2.25) получим |
|
Cp = Cυ + R или Ср – Cυ = R. |
(2.27) |
Это уравнение, связывающее Ср , Cυ и R, называются уравнением Майера.
Приведем порядок величин, входящих в это уравнение, например, для воздуха при стандартной температуре 288 К (15 °С):
Ср = 1005 Дж/(кг·К);
Cυ = 718 Дж/(кг·К);
R = 287 Дж/(кг·К).
Теплоемкости Ср и Cυ зависят от температуры, а их разность, численно равная значению газовой постоянной R, от температуры не зависит. В этом и состоит
Физический смысл газовой постоянной R: она численно равна величине работы, совершенной газом массой в 1 кг при изменении температуры в 1 К при постоянном давлении.
В термодинамике и при термодинамических расчетах ГТД и ДВС широко используется отношение теплоемкостей
C p |
k , |
(2.28) |
|
||
Cυ |
|
|
которое называется показанием адиабаты. Сущность этого термина выяснится из дальнейшего изложения (хотя, казалось бы, Ср и Cυ никакого отношения к адиабатной системе не имеют).
62
Показатель адиабаты, как и теплоемкости, зависит от вида газа и от температуры. Поскольку с ростом температуры обе теплоемкости Ср и Cυ
возрастают, то зависимость k от температуры получается довольно слабой,
причем убывающей по Т. Например, для воздуха при Т = 288 К показатель адиабаты k = 1,401, а при Т = 800 К (527 °С) – k = 1,353; для продуктов сгорания при Т = 700 К (427 °С) – k = 1,350, а при Т = 1 500 К (1 227 °С) – k = 1,295.
В приближенных расчетах обычно принимают: для воздуха k = 1,4, для продуктов сгорания k = 1,33.
Из уравнений (2.27) и (2.28) получаются следующие соотношения, которые часто используются при расчетах:
Ср = |
k |
|
R ; |
(2.29) |
|
k 1 |
|||||
|
|
|
|||
Сυ = |
1 |
|
R . |
(2.30) |
|
k 1 |
|||||
|
|
|
|||
2.7. Энтальпия
Энтальпия — теплосодержание (i) представляет собой сумму внутренней
энергии (U) и энергии давления (pυ): |
|
i = U + pυ , Дж/кг. |
(2.31) |
Учитывая, что pυ = RT , имеем |
|
i = U + RT , Дж/кг. |
(2.32) |
Так как входящие в энтальпию величины являются функциями состояния, |
|
то и сама энтальпия является |
функцией состояния ТДС и может быть |
|
представлена в виде функции двух любых параметров состояния: |
|
|
i1 = f 1(p, υ); |
i2 = f 2(p, T); i3 = f 3(υ, T). |
(2.33) |
Из уравнений неочевидно, какой смысл имеет введение этого нового параметра состояния. Однако в дальнейшем мы убедимся в том, что энтальпия играет решающую роль в термогазодинамических расчетах теплоэнергетических установок, которыми являются ГТД и ДВС.
63
Как было отмечено в отношении внутренней энергии, используются не абсолютные значения внутренней энергии, а их разности в заданном интервале температур. В понятии энтальпии тоже не используются абсолютные значения, а важно знать их разность в заданном интервале температур, то есть изменение энтальпии ( i1-2) в данном термодинамическим процессе. С учетом уравнения (2.32) получим выражение для определения изменения энтальпии
i 1-2 = i 2 – i 1 = U1-2 + R T . |
(2.34) |
Начало отсчета энтальпии может быть выбрано при любой температуре, как правило, равной той, при которой условно принимается Uисх = 0. Но при этой температуре i ≠ 0, а, как видно из уравнения (2.32), i исх = RTисх.
При бесконечно малых изменениях dU и dT из уравнений (2.10) и (2.34) следует, что
di = dU + RdT = (Cυ+R)dT,
а учитывая уравнение (2.27), окончательно получим
di = CpdT. (2.35)
При конечных изменениях этих величин, имея в виду зависимость от Т, по аналогии с уравнением (2.12) можно записать
T2
i1-2 = i2 – i1= Cp dT = Cp cp(T2 – T1) , (2.36)
T
где Ср ср определяется уравнением (21 .22) с индексом р. Отсюда следует, что
Изменение энтальпии при переходе газа из одного состояния в другое равно количеству подводимой (или отводимой) теплоты в интервале Т1—
Т2 при постоянном давлении, причем независимо от фактического перехода при любом характере изменения давления.
Энтальпия характеризует способность рабочего тела (движущегося газа) совершать работу за счет внутренней (тепловой) энергии
и энергии давления.
64
2.8. Техническая работа (работа движущегося газа)
Элементарная работа 1 кг газа в открытой ТДС при подводе бесконечно малого количества теплоты будет состоять из работы расширения — сжатия
pdυ и приращения работы проталкивания d (pυ) |
|
dLтехн = pdυ – d (pυ) . |
(2.37) |
Приращение d(pυ) взято со знаком «минус», так как эта работа совершается
внешними силами над газом. Учитывая, что d(pυ) = pdυ + υdp, |
получаем |
dLтехн = – υdp. |
|
Следовательно, для произвольного процесса |
|
P2 |
|
Lтехн = – υdp. |
(2.38) |
P
Это выражение называют технической1 работой, или работой движущегося газа. В координатах «p–υ» она изображается площадью, ограниченной линией процесса и осью давлений (рис. 2.7).
Таким образом, величина технической работы эквивалентна площади фигуры p112p2 (рис. 2.7).
Рис. 2.7. К определению работы движущегося газа
65
Подчеркнем:
Техническая работа — эта та работа, которая может быть совершена только в открытой термодинамической системе, и ее не следует
смешивать с работой расширения газа, совершаемой в закрытой системе. Различие между технической работой и работой расширения объясняется тем, что в открытой системе работа затрачивается не только на деформацию газа (сжатие или расширение), но и на ввод (или вывод) массы, а также на изменение кинетической энергии движущегося газа.
Знак технической работы определяется знаком величины (–dp). Для процесса 1–2 (рис. 2.7), осуществляемого с понижением давления (dp < 0),
техническая работа будет положительна, так как (–dp) положительна.
2.9. Содержание и уравнение первого закона термодинамики
В середине прошлого века произошла первая естественнонаучная революция в истории цивилизации. Она была связана с установлением закона сохранения энергии. Этот закон оказался универсальным, применимым не только к механическим процессам, но и к тепловым и вообще ко всем физическим процессам.
Сейчас, конечно, никто не сомневается в том, что закон сохранения энергии имеет универсальный характер. Однако более 150 лет назад большинство физиков распространение закона сохранения энергии, справедливого для механических явлений, на тепловые явления считали метафизическими измышлениями.
Универсальный характер фундаментального закона сохранения энергии проявился даже в том, что к его открытию причастны три знаменитых исследователя совершенно разных областей естествознания: Р. Майер,
Дж. Джоуль и Г. Гельмгольц.
66
Среди них лишь Г. Гельмгольц — профессиональный физик-теоретик в современном понимании этого слова; Р. Майер — в большей мере философ,
имеющий медицинское образование. Экспериментатором среди этих ученых был лишь Дж. Джоуль.
Закон сохранения энергии — один из самых общих принципов физики. За все годы после его открытия не было обнаружено ни одного явления природы, в
котором наблюдалось бы его нарушение.
Данный фундаментальный закон природы гласит:
Энергия не исчезает и не возникает вновь, а лишь переходит из одного вида в другой в строго эквивалентных количествах.
Важно подчеркнуть, что закон сохранения и превращения энергии утверждает не просто сохранение энергии, а ее сохранение при превращениях из одной формы в другую.
Принцип эквивалентности теплоты и работы лежит в основе первого закона термодинамики, который представляет собой частный случай всеобщего закона сохранения и превращения энергии применительно к процессам,
сопровождающимся тепловыми явлениями.
Получим уравнение первого закона термодинамики. Пусть, например, к
рабочему телу, заключенному в цилиндре с подвижным поршнем (рис. 2.6,б)
подведено некоторое количество теплоты Q. Это приведет к повышению температуры рабочего тела, следовательно, его внутренняя энергия изменится на величину U. Кроме того, рабочее тело, расширяясь, перемещает поршень из положения 1 в положение 2 и совершает работу L против внешних сил. На основании закона сохранения и превращения энергии можно записать:
Q = U + L , Дж. |
(2.39) |
67
Соотношение (2.39) представляет собой математическое выражение первого закона термодинамики в самой общей форме.
Первый закон термодинамики гласит:
Подведенное извне количество теплоты Q к рабочему телу в общем случае расходуется на увеличение его внутренней энергии U
и совершение работы расширения L против внешних сил.
Из первого закона термодинамики следует, что если в каком-либо процессе рабочее тело получает (или отдает) тепло Q, совершает работу L и его внутренняя энергия изменяется на величину U, то алгебраическая сумма этих величин должна равняться нулю. Отнеся в уравнении (2.39) все величины к 1 кг массы рабочего тела, получим
q = U + L, Дж/кг , |
(2.40) |
или в дифференциальной форме |
|
dq = dU + dL |
(2.41) |
или dU = dq – dL. |
(2.42) |
Из первого закона термодинамики следует, что если система (тело) является изолированной, то есть не обменивается энергией с окружающей средой (Q = 0,
L = 0), то ее внутренняя энергия не меняется ( U = 0). Иначе, внутренняя энергия изолированной системы постоянна (U = const).
Изменение энергии системы (тела) возможно лишь при энергообмене с окружающей средой, то есть при подводе (или отводе) к системе теплоты или работы.
Первый закон термодинамики отрицает возможность создания вечного двигателя, который совершал бы механическую работу без использования энергии
(его называют вечным двигателем первого рода).
68
Действительно, если механическое устройство не использует «свою» внутреннюю энергию ( U = 0) и не получает извне количество теплоты (Q = 0), то и работа системы L = 0.
В связи с этим первый закон можно рассматривать как принцип запрета perpetuum mobile (другая формулировка первого закона термодинамики).
Таким образом, первый закон термодинамики позволяет определить количественные соотношения при взаимном преобразовании тепловой энергии в другие виды энергии. Он имеет большое практическое значение, так как используется при термодинамических расчетах элементов ГТД и двигателя в целом.
Аналитическое выражение первого закона термодинамики (2.42) в
применении к равновесным процессам может быть представлено через параметры состояния системы (используя полученные ранее выражения (2.14) dL = pdυ и
(2.18) dq = Tds) в виде
dU = Tds – pdυ. |
(2.43) |
Получим запись первого закона термодинамики через энтальпию. Для этого
продифференцируем уравнение (2.31) i = U + pυ и выразим dU через уравнение
(2.42) dU = dq – dL и (2.43) dU = Tds – pdυ:
di = dU + d(pυ) = dU + pdυ + υdp = (dq – pdυ) + pdυ + υdp
и окончательно получим
di = dq + υdp = Tds + υdp. |
(2.44) |
Уравнение (2.44) представляет собой запись первого закона термодинамики через энтальпию. Это уравнение широко используется при анализе открытых термодинамических систем, каковыми, например, являются как отдельные модули ГТД, так и газотурбинный двигатель в целом.
2.10.Чистые вещества и смеси газов
Втермодинамике принято называть «чистыми» вещества, состоящие из одинаковых молекул или атомов. Применительно к газам это, например, азот
(N2), кислород (О2), углекислый газ (СО2), водяной пар (Н2О). Перегретый
69
водяной пар, содержащийся и в воздухе, и в продуктах сгорания, по существу
также является газом. |
|
|
|
|
Каждый «чистый» газ, который будем |
обозначать |
индексом i, имеет |
||
свою молекулярную массу μi , газовую постоянную Ri = |
Rун |
(см. формулу 1.14) |
||
μi |
||||
|
|
|
||
и теплоемкости Cpi и Cυi . Например, у азота |
i = 14, у кислорода i = 32, у |
|||
углекислого газа μi = 44. Поэтому существенно различаются их газовые постоянные и теплоемкости.
Рабочие тела ГТД и ДВС являются смесью «чистых» газов. Воздух
(сухой) можно считать смесью двух газов: азота (~ 79 %) и кислорода (~ 21 %),
поскольку содержание других газов ничтожно мало. Продукты сгорания могут иметь разный количественный состав «чистых» газов: азота, кислорода,
углекислого газа, водяного пара и окиси углерода. Относительное содержание этих газов зависит от количества впрыскиваемого в камеру сгорания топлива на
1 кг воздуха, что в свою очередь определяет конечную температуру продуктов сгорания.
Задачей является определение необходимых при расчете ГТД и ДВС газовой постоянной и теплоемкостей смеси газов (Rсм, Ср см, Cυ см) по значениям этих величин для «чистых» газов, составляющих смесь (Ri, Сpi , Сυi).
Относительное количество каждого «чистого» компонента газа
определяется массовой долей — массой данного газа в 1 кг смеси
gi = |
mi |
, |
(2.45) |
|
mсм |
||||
|
|
|
где mi — масса i-го компонента газа; mсм — масса смеси газов.
Используются также мольные доли, но мы их не будем рассматривать.
n
Поскольку mсм = mi , где n — число «чистых» газовых компонентов, то
1
70
|
n |
|
|
|
n |
mi |
|
|
|
gi = |
1 |
= 1. |
(2.46) |
|
mсм |
||||
1 |
|
|
Согласно уравнению (2.20) бесконечно малое количество теплоты dq,
поглощенной (или отданной) 1 кг смеси при нагреве (или охлаждении) на бесконечно малую температуру,
dq = CсмdT,
где Ссм — истинная теплоемкость смеси.
Это же количество теплоты можно представить как сумму бесконечно малых значений теплоты dq; каждого компонента массой gi в 1 кг смеси при изменении температуры также на dT, одинаковой для всех компонентов, то есть
n |
|
dq = СсмdT = ( giCi)dT, |
|
1 |
|
где Ci — истинная теплоемкость данного компонента «чистого» газа. |
|
Следовательно, искомая теплоемкость смеси |
|
n |
|
Cсм = giCi . |
(2.47) |
1 |
|
Это уравнение справедливо и при постоянном давлении.
Перейдем к определению газовой постоянной смеси, используя уравнение Клапейрона (1.11). Кроме того, из курса физики известен закон Дальтона,
согласно которому сумма парциальных давлений каждого газа pi в смеси равна давлению смеси pсм:
n |
|
pсм = pi . |
(2.48) |
1 |
|
Напомним, что парциальным называется то давление pi, которое имел бы каждый i-й газ, будь он один в объеме смеси Vсм при температуре Т. В точности уравнения (1.11) и (2.48) справедливы для идеальных газов. Но для реальных газов при не очень высоких давлениях не только уравнение (1.11), но и (2.48)
имеют очень малую погрешность.