Весна 16 курс 3 ОрТОР / Теория АД / Термодинамика и теплопередача Никифоров А.И.-1

132

Тепло будет самопроизвольно переходить от горячего тела к холодному.

Если от первого тела ко второму перешло некоторое количество теплоты Q при температуре T1, то энтропия первого уменьшится на величину

проявляется необратимость процесса, протекающего в системе, тем больше возрастает ее энтропия. Нетрудно показать, что при протекании других необратимых процессов в изолированной системе энтропия этой системы всегда возрастает. Сказанное позволяет рассматривать энтропию как величину,

характеризующую меру необратимости процессов, протекающих в замкнутых

(изолированных) системах.

Если рассматривать обратимые процессы, энтропия системы сохраняется неизменной, то есть s = 0.

При достижении равновесного состояния в замкнутых системах ее энтропия возрастает до максимального значения. Равновесная система не способна к производству работы, хотя и располагает тем же запасом энергии,

что и в начальном неравновесном состоянии. Равновесная термодинамическая система как источник работы мертва.

133

Поэтому можно дать очередную формулировку второго закона

термодинамики — «энтропийную».

Энтропия всякой изолированной системы либо остается неизменной, либо увеличивается. В состоянии термодинамического равновесия

в системе становятся невозможными самопроизвольные процессы.

Обращаем внимание на замкнутость (изолированность) системы как условие применяемости второго закона термодинамики. Аналитическая запись второго закона термодинамики в дифференциальной форме выражается уравнением (4.14)

dQ

ds ≥ dT . (4.14)

И, наконец, какова же роль второго закона термодинамики в системе законов термодинамики? Ответить на этот вопрос довольно просто, если обратиться к следующему примеру.

Что происходит, если опустить нагретое тело в холодную воду?

Количество теплоты, отданное нагретым телом, равно количеству теплоты,

полученному холодной водой, что соответствует закону сохранения энергии — первому закону термодинамики. Энтропия воды при этом возросла.

Теперь будем рассуждать так: пусть вода передаст свою энергию телу.

Вода остынет, тело нагреется. Это не противоречит первому закону термодинамики, но никогда не происходит в природе. Почему? Энтропия воды при таком процессе уменьшилась бы. А это запрещает второй закон термодинамики.

В настоящее время справедливость всех формулировок второго закона для макросистем подтверждена экспериментально и не подлежит сомнению.

134

4.7. Статистическая интерпретация второго закона термодинамики

Статистический метод позволяет объяснить, почему реальные процессы в природе необратимы, почему возрастает энтропия замкнутой системы, в чем состоит статистическая сущность второго закона.

Рассмотрим явления расширения идеального газа в пустоту.

Пусть в начальный момент времени все молекулы находятся в левой половине сосуда, закрытой заслонкой (рис. 4.9,а). Если заслонку убрать, то газ займет весь объем сосуда (рис. 4.9, б).

При этом плотность, давление и температура газа во всех точках сосуда будут одинаковыми (наступит термодинамическое равновесие). Все указанные параметры не будут изменяться, хотя хаотическое движение молекул не прекращается.

Сколько бы времени мы ни наблюдали в дальнейшем за газом, его молекулы самопроизвольно не соберутся в одной половине сосуда. Поэтому расширение газа в вакуум является необратимым процессом.

Обратите внимание на важное слово самопроизвольно. Мы, конечно,

можем вернуть газ в левую половину сосуда, сжав его с помощью поршня, но

Рис. 4.9. Схема явления расширения идеального газа: а — молекулы находятся в левой

половине сосуда, закрытой заслонкой; б — сосуд с открытой заслонкой

135

самопроизвольно этот процесс маловероятен, особенно если число молекул велико.

Теперь обратите внимание на слово маловероятен. Оказывается, все же существует вероятность того, что все молекулы окажутся в одной половине сосуда. Для того чтобы характеризовать поведение частиц в системе, введем новое понятие: термодинамическая вероятность W. Она равна количеству различных способов, которыми может быть реализовано состояние макроскопической физической системы (макросостояние). Напомним, что в термодинамике состояние физической системы характеризуется определенными значениями плотности, давления, температуры, объема.

Перечисленные величины определяют состояние системы в целом — ее макросостояние. Однако частицы системы при одних и тех же параметрах макросостояния системы могут находиться в разных местах ее объема, иметь различные значения энергии и импульса. Каждое такое состояние называют

микросостоянием.

Дадим более точное определение термодинамической вероятности.

Термодинамическая вероятность W равна числу микросостояний, реализующих данное макросостояние. Ясно, что термодинамическая вероятность больше или равна единице: W ≥ 1.

При разработке молекулярно-кинетической теории ученые вынуждены были ввести вероятностные законы. Наиболее значительный вклад внесли Дж. Максвелл и Л. Больцман. В 1872 г. Больцман доказывает свою теорему,

связывающую энтропию с вероятностью, и приходит к выводу, что «второе начало термодинамики оказывается вероятностным законом».

Взгляды Больцмана были враждебно встречены всеми физиками. Полное признание его идеи нашли лишь в 1910 г., после описания броуновского

136

движения А. Эйнштейном и его экспериментальной проверки Ж. Перреном

(1870—1942).

В математическом виде второй закон термодинамики выражается формулой

где s — энтропия;

к — постоянная Больцмана (к = 1,38∙10-23 Дж/К);

ln —натуральный логарифм (основанием является число е, равное примерно

2,7);

W — термодинамическая вероятность.

Формула s = кlnW высечена на памятнике Больцману на Венском кладбище. Этим подчеркивается ее важность для развития науки XX века.

Формулу Больцмана по значимости можно поставить с двумя великими формулами, связанными с именами М. Планка и А. Эйнштейна.

Термодинамическая вероятность отличается от вероятности состояния термодинамической системы, которая всегда меньше или равна единице.

Микросостояния непрерывно изменяются, сменяя друг друга. Время пребывания в определенном макросостоянии пропорционально числу микросостояний W, которые реализуют данное состояние. Обозначив полное число микросостояний системы через Wо, можем записать выражение для

расчета вероятности макросостояния: W .

Wо

Вероятность макросостояния, характеризующая относительную частоту появления данного события, равна отношению числа микросостояний,

реализующих макросостояние, к полному числу возможных микросостояний.

Чем больше термодинамическая вероятность W, тем больше вероятность данного макросостояния и тем большее время система будет находиться в данном состоянии.

137

Для равновесного состояния системы термодинамическая вероятность

имеет максимальное значение. В таком состоянии система может находиться

очень долго.

Переход от маловероятных состояний к более вероятным определяет эволюцию системы и объясняет необратимость макроскопических процессов, несмотря на то, что законы, определяющие движение отдельных частиц, обратимы.

Рассмотрим пример, наглядно показывающий, как увеличение числа частиц в системе приводит к необратимости процессов, несмотря на обратимость законов движения частиц.

Пусть мы имеем в сосуде всего две молекулы. Предположим, что в начальный момент обе молекулы находятся в левой части сосуда. Возможны всего 4 способа распределения молекул между половинками сосуда (рис. 4.10).

Согласно рисунку существует один способ размещения двух молекул в левой части сосуда (W = 1). В этом случае вероятность данного состояния

W 1 .

Wо 4

Рис. 4.10. Схема распределения двух молекул в половинках сосуда

138

Рис. 4.11. Схема распределения трех молекул в половинках сосуда

Для трех молекул число возможных способов распределения молекул между половинками сосуда равно 8 (рис. 4.11).

Однако существует только один способ размещения трех молекул в левой

1

части сосуда (W = 1); но, так как Wо = 8, то вероятность данного события равна 8 .

Для четырех молекул число возможных способов распределения молекул между половинками сосуда равно 16 (рис. 4.12).

И опять-таки существует только один способ размещения четырех молекул

1

в левой части сосуда. В данном случае вероятность этого события равна 16 .

Так как 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24, то можно сделать вывод, что для n молекул

1

вероятность того, что все молекулы окажутся в левой части сосуда, равна 2n .

В реальном случае в газе число молекул очень велико (в одном моле любого газа содержится 6 · 1023 молекул), поэтому вероятность того, что все

1

молекулы окажутся в одной половине сосуда, равна 26 1023 .

139

Рис. 4.12. Схема распределения четырех молекул в половинках сосуда

Это значение настолько близко к нулю, что ситуация, когда все молекулы одного моля газа окажутся в левой части (или правой) части сосуда, никогда не реализуется.

На практике оказывается, что газ равномерно распределяется по всему сосуду, так как термодинамическая вероятность W равномерного распределения молекул максимальна.

Первый закон термодинамики не исключает такого явления, когда в чайнике, стоящем на столе, нагревается вода за счет охлаждения воздуха в комнате. Но этот процесс настолько маловероятен, что никогда не наблюдается.

Понятие термодинамическая вероятность помогает нам уяснить смысл второго закона термодинамики. Дело в том, что второй закон термодинамики имеет вероятностный характер. В отличие от закона сохранения энергии,

который может быть применен к отдельным молекулам, атомам, электронам,

140

ионам и другим частицам, второй закон термодинамики применим лишь к системам, состоящим из очень большого числа частиц.

Проанализируем формулу s = кlnW, которая в математическом виде выражает суть второго закона термодинамики. Согласно этой формуле энтропия s определяется только термодинамической вероятностью W.

Возрастание энтропии при необратимых процессах есть следствие перехода от менее вероятных состояний к более вероятным. Ясно, что наиболее вероятное состояние — это состояние термодинамического равновесия.

Состояние макросистемы, которое реализуется малым числом микросостояний (W мало), называется упорядоченным.

Состояние, осуществляемое большим числом микросостояний (W очень велико), называется беспорядком, хаосом. Следовательно, равновесное состояние соответствует хаосу в макросистеме, то есть наиболее неупорядоченному состоянию — состоянию с максимальной энтропией s.

Итак, энтропия является мерой неупорядоченности системы, а

необратимость процессов можно трактовать как самопроизвольный переход системы от более упорядоченного состояния к менее упорядоченному, образно говоря, «от порядка к хаосу».

Приведем примеры, иллюстрирующие полученный вывод.

Механическое движение упорядочено, а следовательно, ему соответствует небольшое число микросостояний по сравнению с беспорядочным тепловым движением, поэтому механическая энергия самопроизвольно превращается во внутреннюю.

Любой вид энергии при ее всевозможных превращениях в конечном счете переходит в энергию теплового движения, связанного с беспорядочным хаотическим движением частиц, так как любой другой вид энергии является мерой более упорядоченных движений. Так, например, энергия электрического тока связана с более упорядоченным движением заряженных частиц по сравнению с тепловым, хаотическим движением.