Весна 16 курс 3 ОрТОР / Теория АД / Термодинамика и теплопередача Никифоров А.И.-2

61

Типы решаемых задач могут быть различными. Если, например, известны параметры газового потока на входе в рассматриваемый элемент двигателя и для этого элемента заданы величины Lвнеш, Qвнеш и Lr, то составленная указанным образом система уравнений позволяет определить параметры газа на выходе из этого элемента. Может рассматриваться задача определения по заданным параметрам на входе и выходе величин Lвнеш , Qвнеш и Lr и т. п.

7.6.2. Уравнение Бернулли для жидкости и несжимаемого газа

При отсутствии внешней работы (Lвнеш = 0) и трения (Lr = 0) для жидкости и несжимаемого газа (ρ = const) уравнение (7.34) имеет вид

где p1, p2 — действительные (статические) давления в рассматриваемых сечениях;

c2 c2

21 , 22 — динамические давления (скоростные напоры) в соответствующих

сечениях потока.

Уравнение (7.48) позволяет сделать следующий вывод:

Сумма статического и динамического давлений при течении жидкости и несжимаемого газа без подвода внешней работы и отсутствии трения остается неизменной.

Сумму статического и динамического давлений называют полным

давлением заторможенного потока и обозначают:

С учетом (7.47) уравнение (7.46) можно записать так:

p1 p2 .

62

Рис. 7.7. Схема датчиков для измерения: а — статического; б —

полного давлений

Иначе говоря, при течении энергоизолированного потока жидкости и несжимаемого газа и отсутствии трения полное давление остается неизменным (p* = const).

Уравнение Бернулли в форме (7.49) используется для определения скорости жидкости и газа (при М ≤ 0,4—0,6). Статическое давление измеряют трубкой, в которой измерительная плоскость параллельна вектору скорости

(рис. 7.7, а). Полное давление измеряют Г-образной трубкой (рис. 7.7, б), в

которой измерительная плоскость поставлена перпендикулярно вектору скорости.

7.7. Уравнение Эйлера о количестве движения

Уравнение количества движения в механике получают как следствие второго закона Ньютона.

Если за малый промежуток времени τ на тело массой т действует сила

P, то тело получит ускорение равное a (c2 c1) / , где с — скорость тела.

Тогда

P m(c2 c1) / ,

или

64

Умножим и разделим правую часть равенства на τ. Получим

G1 = G2 = G = const в соответствии с уравнением неразрывности (7.2), то изменение количества движения определяется по формуле

(mc) G (c2 c1 ) .

В соответствии с уравнением (7.50) получим

Это уравнение впервые было получено Л. Эйлером в 1755 г. и поэтому носит его имя.

Согласно уравнению Эйлера

При установившемся движении газа сумма всех внешних сил, действующих на массу газа, выделенную контрольной поверхностью, равна

разности количеств движения секундной массы газа, вытекающей и втекающей через контрольную поверхность.

Важность уравнения Эйлера состоит в том, что с его помощью можно определить газодинамические силы, действующие на различные элементы ГТД,

не вдаваясь в сущность явлений, происходящих внутри выделенного объема.

Для определения этих сил важно знать лишь данные параметров газа на контрольной поверхности. С помощью уравнения Эйлера можно получить выражение силы тяги реактивного двигателя, сил, действующих на лопатки компрессора и турбины, и др.

65

В заключение отметим лишь, что с использованием уравнения (7.51)

академиком Б. С. Стечкиным еще в 1929 году была получена формула тяги

ВРД, которая в настоящее время носит его имя.

Формула для тяги ВРД академика Б. С. Стечкина имеет вид:

где P — тяга ВРД;

GВ — расход воздуха;

cc — скорость истечения газов из сопла;

V — скорость летательного аппарата.

Вывод этой формулы будет рассмотрен в теории авиационных двигателей.

7.8. Уравнение Эйлера о моменте количества движения

При изучении вращательных движений газа следует использовать закон об изменении момента количества движения, который гласит:

Изменение момента количества движения тела равно моменту импульса равнодействующей всех внешних сил, приложенных к телу.

Напомним, что моментом количества движения (М) тела относительно некоторой точки называется произведение количества движения тела (mc) на кратчайшее расстояние (r) от точки до линии, по которой направлена скорость тела, то есть M = (mcr). Моментом импульса называется произведение величины импульса (P τ) на кратчайшее расстояние (r) от точки до линии действия силы, создающий импульс.

Найдем уравнение моментов количества движения для случая, когда телом является газ, движущийся в некотором канале (рис. 7.9).

66

Рис. 7.9. К выводу уравнения Эйлера о моменте количества движения

Как и ранее, будем рассматривать изменение состояния выделенного сечениями 1–1 и 2–2 объема за малый промежуток времени τ, а движение будем считать установившимся. Изменение момента количества движения равно разности моментов количества движения объемов 2–2' и 1–1'.

Момент количества движения объема 1–1'

М1 m1c1r1 m1c1r1 cos 1 ,

а на рис. 7.8 видно, что произведение c1 cos 1 есть не что иное, как окружная составляющая скорости с1:

c1 cos 1 c1u .

Таким образом, момент количества движения объема 1–1'

M1 m1c1u r1 .

Аналогично этому момент количества движения объема 2–2'

M 2 m2c2u r2 .

67

Разность между этими величинами нужно приравнять моменту импульса равнодействующей

Pr0 m2c2u r2 m1c1u r1 ,

где P — равнодействующая внешних сил;

rо — расстояние от линии действия силы P до оси О.

При установившемся движении массы объемов 1–1' и 2–2' одинаковы.

Учитывая, что m / G — секундный массовый расход и G1 = G2 = G = const в соответствии с уравнением неразрывности, а произведение Prо дает момент равнодействующей P относительно точки O,

P rо = M.

Окончательно уравнение моментов количества движения для потока газа имеет вид:

Уравнение (7.53) называется также уравнением Эйлера для вращательного движения. Оно позволяет вычислить момент сил, действующих со стороны газа

Согласно этому уравнению

При установившемся течении газа и отсутствии массовых сил сумма моментов внешних сил, действующих на выделенную массу газа со стороны обтекаемых тел и контрольной поверхности относительно произвольной оси, равна разности моментов относительно той же оси окружных составляющих количеств движения секундных масс газа, вытекающих и втекающих через рассматриваемую контрольную поверхность.

Используем уравнение (7.54) для того, чтобы вычислить момент, действующий на колесо газового компрессора. Колесо воздействует на газ в то время, когда газ находится между входным 1 и выходным 2 сечениями

(рис. 7.10).

68

Рис. 7.10. Схема рабочего колеса центробежного компрессора

К сечению 1–1 газ может подходить с некоторой окружной скоростью, которая сообщается ему во входном направляющем аппарате. Значение этой окружной скорости на среднем радиусе r1 входного сечения 1–1 обозначим с1u. Тогда уравнение (7.53) дает значение крутящего момента, необходимого для вращения рабочего колеса. Умножив момент на угловую скорость вращения, можно вычислить теоретическую мощность, Вт, необходимую для привода компрессора:

где u1 и u2 — окружные скорости колеса на радиусах r1 и r2.

К этой мощности следует добавить мощность, расходуемую на преодоление трения колеса о газ за пределами участка 1–2 и трения в подшипниках.

По уравнениям (7.54) и (7.55) легко определяется внешняя механическая работа Lвнеш, подводимая к единице массы газа (или отводимая от нее) в рабочем колесе ступени компрессора (турбины), выраженная через параметры газа:

69

Примеры решения задач

Задача 7.1

Определить температуру воздушного потока на входе в двигатель, если известно, что самолет совершает полет на высоте 10,5 км со скоростью 900

км/ч, а скорость потока на входе в двигатель 200 м/с.

Решение

При полете самолета скорость набегающего потока в сечении Н–Н

(рис. 7.5) равна скорости полета самолета V 900 км/ч 900 1000 250 м/с.

3600

Таким образом, на участке Н–Н и Вх–Вх происходит уменьшение скорости воздуха относительно двигателя. Это торможение потока идет практически без потерь на трение и без теплообмена с соседними струями потока, и процесс торможения можно считать адиабатным.

Для расчета температуры Tвх в сечении Вх–Вх (на входе в двигатель)

используем уравнение (7.16), учитывая, что на участке между сечениями Н–Н и Вх–Вх величины Lвнеш = 0 и Qвнеш = 0, а температура в сечении Н–Н равна температуре окружающего воздуха. По заданной высоте полета Н = 10,5 км в таблице стандартной атмосферы (ГОСТ 4401-81) находим температуру

ТН = 220 К.

Уравнение (7.16) с учетом сказанного будет иметь вид:

После преобразований получим окончательную формулу для вычисления температуры Твх

70

Таким образом, при торможении потока его температура повысится на

11,2 К, и воздушный поток на входе в двигатель в сечении Вх–Вх будет иметь температуру 231,2 К.

Проверим правильность получения размерности температуры:

Задача 7.2

При движении энергоизолированного потока газа по каналу на определенном участке его кинетическая энергия увеличилась на 60 300 Дж/кг.

Определить, как и насколько изменилась температура газа.

Решение

Воспользуемся формулой (7.17) уравнения сохранения энергии для энергоизолированного потока и запишем его для произвольных сечений канала

1–1 и 2–2, между которыми произошло увеличение кинетической энергии:

Для поиска величины Т проведем преобразования и получим:

Таким образом, температура газа понизится на 60 К, так как часть внутренней энергии газа затрачивается на увеличение кинетической энергии.

Проверим правильность получения размерности изменения температуры

Т: