ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975

50.10. Какую минимальную скорость v2 нужно сообщить космическому аппарату на поверхности планеты, чтобы он удалился в бесконечность?

50.12. Точка движется под действием центральной силы. Считая, что модуль радиус-вектора г точки зависит от времени t сложным образом через полярный угол ф, определить скорость и ускорение точки *).

Ответ: « W [и« +(-J--)1]; «, =0, « v = ± c W ( g + a)f

где и = — , с = г2ф = | г X v | = const — удвоенная секторная скорость; знак плюс для силы отталкивания, знак минус —для силы

притяжения.

50.13 (751). Точка массы т движется под действием центральной силы по коническому сечению, уравнение которого в полярных координатах имеет вид

Р

г = 1+е cosq)'

где р и е — параметр и эксцентриситет траектории.

чОпределить силу, под действием которой движется точка.

*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что полюс полярной системы координат совпадает с центром притяжения (отталкивания).

391

50.15. Материальная точка движется поддействием силы всемирного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриситет которой е < 1 . а параметр р. Зная интеграл площадей с= гг $ — 1 г х я | , определить полуоси а и b эллиптической траектории и период обращения Т.

50.16.В условиях предыдущей задачи определить ускорение точки

вмоменты, когда она проходит апогей и перигей.

Ответ: w3 = -3 О —е)2> wn — ~з О "Ь €Т-

50.17. Зная период обращения Т спутника вокруг Земли поэллиптической орбите и разность его апогея и перигея Н, определить эксцентриситет орбиты.

Omeeffi: е — Н 1/Я-^Г.

50.18. Спутник движется около планеты радиуса R поэллиптической орбите с эксцентриситетом е. Найти большую полуось его орбиты, если отношение высот перигея и апогея равно 7 < 1 .

*) За положительное направление фокальной оси конического сечения принимается напрнвление от полюса, совпадающего с одним из фокусов сечеиля, к ближайшей вершине.

392

50.21. Определить, какую скорость надо сообщить космическому

=7002 км; ft = —56,6 км21сек2.

50.23.В условиях предыдущей задачи определить направление большой оси эллиптической траектории спутника, эксцентриситет е траек-

4)Г = 98,5 мин.

50.24.При каком направлении начальной скорости космический

аппарат упадет на поверхность планеты радиуса R вне зависимости от величины начальной скорости г>0?

Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.

50.25. При каких начальных условиях траектория космического аппарата, запущенного на высоте Я от поверхности планеты радиуса R,

для данной плане!ы на высоте Я.

393

2) Начальная скорость должна быть направлена вне конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.

50.26. Найти зависимость между периодами Г; обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями at их эллиптических траекторий.

Ответ: '&•= % для любых планет (третий закон Кеплера).

50.28. Под средним значением [г] радиус-вектора точки, движущейся по эллиптической траектории, понимается величина, определяемая равенством

50.30. Определить связь между истинной ср и эксцентрической Е аномалиями точки на эллиптической орбите эксцентриситета е.

Ответ: t g T = 1/ v-j- tg -f-.

394

50.31. Выразить скорость в любой точке эллиптической орбиты через эксцентрическую аномалию.

г.т Г V- 1 /~l+ecosE

50.32. Найти на эллиптической орбите такие точки, скорость движения в которых равна среднему геометрическому скоростей в перигее и апогее.

Ответ: Е=±-?г (точки расположены на концах малой оси

эллипса).

50.33. Зная выражения для радиус-вектора точки, совершающей эллиптическое движение вокруг притягивающего центра:

(касательного) импульса скорости величиной и он переходит на

395

тате которого спутник перейдет наэллиптическую орбиту сперигеем гх.

50.38. Космический корабль движется со скоростью г> = 30 км/сек

И2\

50.40. Космический корабль, движущийся по круговой спутниковой орбите, должен стартовать с нее путем получения касательного импульса скорости и выйти на гиперболическую орбиту с заданным значением скорости на бесконечности Vx,-При каком радиусе г0 начальной круговой орбиты величина необходимого импульса и будет наименьшей?

Ответ: /•„ = -£-.

§51. Разные задачи

51.1.Две свободные точки, массы которых равны тх и тг, движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить закон движения первой точки относительно второй.

Ответ: Относительное движение происходит по тем же законам, что и абсолютное с гравитационным параметром

51.2. Какой вид примет зависимость между периодами Tt обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями at их эллиптических орбит, если учесть движение Солнца, вызванное притяжением соответствующей планеты?

Ответ: %: % = .. ,щ , где тъ тг, М —массы планет и Солнца соответственно (сравнить с ответом к задаче 50.26).

396

51.7. Космический аппарат массы т приближается к планете по прямой, проходящей через ее центр. На какой высоте Н от поверхности планеты нужно включить двигатель, чтобы создаваемая им постоянная тормозящая сила, равная тТ, обеспечила мягкую посадку (посадку с нулевой скоростью)? Скорость космического аппарата в момент включения двигателя равна vOf гравитационный параметр планеты ц, ее радиус R; притяжением других небесных тел, сопротивлением атмосферы и изменением массы двигателя пренебречь.

397

круговую и параболическую космические скорости. Вескосмического аппарата на поверхности планеты равен G,радиус планеты R; сопротивлением атмосферы пренебречь.

Вычислить эту работу для второй космической скорости для Земли, если вес аппарата равен 5 т.

Ответ: Al = O

Л= 31850 т к.и = 31,85-109 кГм.

51.9.Космический аппарат вращается с угловой скоростью 20 . Определить, какую полную работу должен совершить двигатель ма-

ховика М, чтобы остановить вращение космического аппарата,

К задаче 51.9.

считая, что вращение последнего происходит вокруг поступательно перемещающейся оси,проходящей через его центр масс. Ось вращения маховика совпадает с осью вращения аппарата; J и Jo — моменты инерции маховика и аппарата (вместе с маховиком) относительно общей оси вращения.

Ответ: A = ^Jo(J°~J)Q\.

51.10. Считая, что статор электромотора системы, описанной в задаче 51.9, создает вращающий момент Мвр = Мо — ш, где 7И0 и у.—некоторые положительные постоянные, найти условие, необходимое для того, чтобы торможение вращения космического аппарата произошло за конечное время. Предполагая, что это условие выполнено, определить время Т торможения.

51.11. Определить угол <J),на который повернется космический аппарат за время торможения вращения, если оно осуществляется способами, описанными в задачах 51.9 и 51.10.

51.12. Для поворота корпуса космического аппарата используется электродвигатель-маховик, уравнение движения которого на вращающемся аппарате имеет вид се-J- ш/Г — и, где ш — относительная угловая

393

ГЛАВА ХШ

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ, ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

Ответ: М = Pa sin a sinЬ.

52.2 (1163). Шарнирный шестиугольник, состоящий из шести равных однородных стержней весом р каждый, расположен в вертикальной плоскости. Верхняя сторона шестиугольника АВ неподвижно закреплена в горизонтальном положении; остальные стороны расположены симметрично по отношению к вертикали, проходящей через середину АВ. Определить, какую вертикальную силу Q надо приложить в середине горизонтальной стороны, противоположной АВ, для того чтобы система находилась в безразличном равновесии.

Ответ: Q==3/?,

400