ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975

нулю, движется с постоянным ускорением w погоризонтальным направляющим. Эффективная скорость истечения газов ve постоянна.

Определить, пренебрегая сопротивлением, путь, пройденный телом до того момента, когда его масса уменьшится в k раз.

Ответ: s = п— (In kf.

45.13. Решить предыдущую задачу, предположив, что на тело действует сила трения скольжения.

Ответ: S = TT—г~г^г0п^У> г Де / — коэффициент трения скольжения.

*) Числом Циолковского называется отношение стартовой массы ракеты к массе ракеты без топлива.

341

должно быть ускорение а, чтобы после одного оборота тело приобрело первую космическую скорость?

—V^ifa

Ответ: Bee раз; а — ~.

45.15. Определить в вредыдущей задаче массу топлива, сгоревшую к моменту, когда давление тела на направляющие будет равно нулю.

45.17. Решить предыдущую задачу, если изменение топлива будет происходить по закону т = тф~'и. Определить, при каком а тело будет двигаться с постоянной скоростью v9.

Ответ: v = vo—f(g — a.ve)t; s = vat—f(g — a.ve)T; a = ^-.

45.18. Какой путь пройдет ракета на прямолинейном активном участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения за время разгона от нулевой начальной скорости до скорости, равной эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve, если известна начальная масса ракеты то и секундный расход [3?

Ответ: s = ~~^ • ~ , где е — неперово число.

45.19. Ракета движется прямолинейно вне поля тяготения и при отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к моменту, когда сгорит все топливо. Начальная масса ракеты /йв» конечная — тх. Эффективная скорость истечения ve постоянна.

Ответ: А = m\v\ [In z — (z — 1)]; z = — .

45.20. При каком отношении z начальной /я0 и конечной Ш\ масс ракеты, движущейся прямолинейно в пустоте и при отсутствии сил тяготения, ее механический к. п. д., определяемый как отношение ки-

342

на полярный аэродром. Вследствие обледенения масса самолета при

корабль находится на расстоянии Н от ее поверхности и имеет скорость г»о, направленную к центру Луны, включается тормозной двигатель. Учитывая, что сила тяготения обратно пропорциональна квад-

. 343

скорость прилунения, равную нулю). Эффективная скорость истече* ния газов ve постоянна. Радиус Луны R,

45.26. Найти закон изменения массы ракеты, начавшей движение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если ее ускорение w постоянно, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости (Ь— коэффициент пропорциональности). Поле силы тяжести считать однородным. Эффективная ско-

рость истечения газа ve постоянна.

Ответ:

точке запуска ракеты. Предполагая, что эффективная скорость исте-

чения газов ve постоянна по величине и направлению, определить, каково должно быть отношение начальной массы ракеты к массе ракеты без топлива (число Циолковского), если к моменту сгорания топлива ракета оказалась на расстоянии Н от указанной выше карательной плоскости.

а сопротивление атмосферы движению тела пропорционально первой

степени скорости ф — коэффициент сопротивления), найти закон изменения массы тела. Эффективная скорость истечения газа ve постоянна; коэффициент трения скольжения между телом и направляющими равен /.

Ответ:т= \щ гдете>,=

—начальная масса тела.

46.29(1155). Аэростат весом Q поднимается вертикально и увлекает за собой сложенный на земле канат. На аэростат действуют подъемная сила Р, сила тяжести и сила сопротивления, пропорцио-

344

нальная квадрату скорости: R — —p.£s. Вес единицы длины каната ?. Составить уравнение движения аэростата.

лить скорость подъема аэростата. В начальный момент аэростат неподвижен и находится на высоте //д.

в атмосфере, насыщенной водяными парами. Вследствие конденсации

Отеет: Х

45.32 (1158). Решить предыдущую задачу в предположении, что на каплю кроме силы тяжести действует еще и сила сопротивления, пропорциональная площади максимального поперечного сечения а скорости капли: / ? = — 4(3гсг2и ф — постоянный коэффициент).

1

45.33 (1159). Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь лежит на краю горизонтального стола, причем вначале одно звено цепи

Ответ: х = ~ gt*.

45.34 (1160). Цепь сложена на земле и одним концом прикреплена к вагонетке, стоящей на наклонном участке пути, образующем

345-

угол а с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю /. Вес единицы длины цепи у, вес вагонетки Р. Скорость вагонетки в начальный момент v0. Определить скорость вагонетки в любой момент времени и выяснить необходимое условие, при котором вагонетка может остановиться.

Остановка может иметь место при выполнении неравенства / > tg a. 45.35(1161). Материальная точка массы т притягивается по

закону всемирного тяготения Ньютона к неподвижному центру. Масса центра со временем меняется по закону М = -г—^у. Определить дви-

Ответ: Уравнения движения в координатах £, т] имеют вид [f— постоянная тяготения)

т. е. отвечают обычным уравнениям в случае постоянных масс. Поэтому в зависимости от начальных условий в переменных | и т] имеют место эллиптические, параболические или гиперболические орбиты.

45.36. Для быстрого сообщения ротору гироскопа необходимого числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело ротора вделываются пороховые шашки общей массой т0, продукты сгорания которых выбрасываются через специальные сопла. Принять пороховые шашки за точки, расположенные на расстоянии г от оси вращения ротора. Касательная составляющая эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve постоянна.

Считая, что общий расход массы пороха в одну секунду равен q, определить угловую скорость со ротора к моменту сгорания пороха, если на ротор действует постоянный момент сопротивления, равный М. Радиус ротора R. В начальный момент ротор находится в покое.

346

45.38. Многоступенчатая ракета состоит из полезного груза и ступеней. Каждая ступень после израсходования топлива отделяется от остальной конструкции. Под субракетой понимается сочетание работающей ступени, всех неработающих ступеней и полезного груза, причем для данной субракеты все неработающие ступени и полезный груз являются «полезным грузом», т. е. каждая ракета рассматривается как одноступенчатая ракета. На рисунке указана нумерация

347

ГЛАВА XI АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

§46. Принцип возможных перемещений

46.1(903). Груз Qподнимается с помощью домкрата, который приводится в движение рукояткой ОЛ = 0,6 м. К концу рукоятки, перпендикулярно к ней, приложена сила Р = 16 кГ.

Определить величину груза Q, если шаг винта домкрата й = 12 мм. Ответ: Q = 5020 кГ.

стороною а; -верхняя вершина ромба закреплена неподвижно, нижняя прикреплена к горизонтальной плите пресса.

Определить силу давления пресса на сжимаемый предмет в момент, когда угол при вершине ромба равен 2а.

Ответ: Р — я Мh ctg«.

46.3 (905). Определить зависимость между модулями сил Р и Q в клиновом прессе, если сила Р приложена к концу рукоятки длиною а

349

Ответ: Q = P—'-—,

46.4 (907). Чертеж представляет схему машины для испытания образцов на растяжение. <

Определить зависимость между усилием X в образце К и расстоянием х от груза Р до его нулевого положения О, если при помощи груза Q машина уравновешена так, что при нулевом положении груза

Ри при отсутствии усилия в К все рычаги горизонтальны. Даны

46.5 (908). Грузы К и L, соединенные системой рычагов, изображенных на чертеже, находятся в равновесии.

ВС

Определить зависимость между весами грузов, если дано: -др —

350