Теоретические основы электротехники-2

Вопросы и упражнения к главам 9, 10, 11 и 12

9.1. Общий путь расчета переходных процессов. Метод переменных состояния

ВОПРОСЫ

1.Какой режим в линейной электрической цепи можно считать установившимся?

2.При каких условиях в электрической цепи может возникать свободный ток?

3.(О) Каким образом по виду электрической цепи можно определить порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс?

4.(О) Входящая в правую часть дифференциального уравнения для тока ik(t) некоторой ветви электрической цепи функция fk(t): à) постоянна fk(t) A; á) ÿâ-

5.(О) Зависит ли порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в цепи, от выбора метода, с помощью которого составляется система уравнений (метод контурных токов, узловых напряжений и др.)?

6.Почему именно токи катушек индуктивности и напряжения конденсаторов определяют энергетическое состояние электрической цепи?

7.Почему напряжения на конденсаторах и токи катушек индуктивности остаются неизменными в момент коммутации?

8.Могут ли в момент коммутации в линейной электрической цепи с источниками энергии конечной мощности быть бесконечно большими: à) токи катушек индуктивности; á) напряжения на резисторах; â) напряжения на конденсаторах; ã) напряжения на катушках индуктивности; ä) токи конденсаторов; å) токи резисторов?

9.(О) Может ли характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению некоторой электрической цепи, одновременно иметь один (или несколько) отрицательный вещественный корень и пару мнимых корней?

10.Может ли характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению электрической цепи, иметь корни: à) 8 – j8; á) –3j; â) 3j, 3j; ã) –8 + 8j; ä) –2 + j3, –2 – j3; å) –4 + j2, 4 + j2; æ) –6, –6; ç) –8, 8?

УПРАЖНЕНИЯ

1. (Р) Найдите величины i (èëè u ) в электрических цепях, схемы которых изо-

L C

бражены на рис. B9.1 (E const, = const).

2. (Р) Найдите запасенную энергию в установившихся режимах в цепи до замыкания и после замыкания ключа в условиях предыдущего упражнения.

3. (Р) Для схем, изображенных на рис. B9.1, определите i (t) èëè u (t), считая,

L C

что на входе цепи действует источник синусоидальной ЭДС e(t) Em sin t èëè òîêà =(t) m sin t. Расчет установившегося режима выполните в цепи, которая образовалась после замыкания ключа.

154 Вопросы и упражнения к главам 9, 10, 11 и 12

Ðèñ. B9.1

4. (Р) Составьте дифференциальное уравнение для тока iL или напряжения uC в цепей, схемы которых изображены на рис. B9.2. Запишите также уравнения состояний этих цепей.

Ðèñ. B9.2

5.(Р) При выражении токов и напряжений резистивных элементов через переменные состояния можно рассмотреть новую цепь, в которой катушки индуктивности представлены источниками тока, а конденсаторы — источниками ЭДС. Чему равны величины источников тока и источников ЭДС? Используя метод наложения, запишите уравнения состояния электрических цепей упр. 4, заменяя катушки индуктивности источниками тока, а конденсаторы — источниками ЭДС.

6.(O) Схема цепи содержит после коммутации m конденсаторов и p катушек индуктивности. Каков максимальный порядок производной, используемой при определении постоянных интегрирования, если в схеме имеется k контуров, состоящих только из конденсаторов и n звезд, состоящих только из катушек индуктивности? Каков порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в этой цепи?

7.В цепи имеется контур, состоящий из двух конденсаторов C1 è C2 и источника ЭДС. Будут ли напряжения uC1 è uC2 являться переменными состояния?

156 Вопросы и упражнения к главам 9, 10, 11 и 12

сле коммутации в цепях, схемы которых изображены на рис. B9.5 (U const).

Ðèñ. B9.5

14.(О) Характеристическое уравнение, составленное для цепи из резисторов, катушки индуктивности и конденсатора имеет один из следующих корней: à) +j20; á) –2 + j5; â) – j20; ã) –2. Укажите, какие еще корни должно иметь это уравнение.

15.Изобразите на комплексной плоскости корни характеристических уравнений, соответствующие следующим выражениям, определяющим свободный процесс:

à) x (t) A1e 1t + A2e 2t + A3e–−t sin ( t + );

á) x (t) (A0 + A1t + A2t2)e–−t + A3e t;

â) x (t) (A0 + A1t)e–−t sin ( t + ), 1 < 0, 2 < 0, < 0, − > 0.

Какой порядок имеют соответствующие характеристические уравнения?

9.2. Переходные процессы в цепях r, L è r, C

ВОПРОСЫ

1.Во сколько раз изменится постоянная времени цепи с последовательно соединенными участками r, L (èëè r, Ñ), åñëè à) увеличить сопротивление r резистора в 2 раза; á) уменьшить индуктивность L катушки (или емкость Ñ конденсатора) в 2 раза?

2.Во сколько раз изменяется свободная составляющая тока в цепях с последовательно соединенными участками r, L (èëè r, C) за время t , t 3 , t 5 ?

3.Можно ли для уменьшения постоянной времени цепи с последовательно соединенными участками r, L: à) увеличить пропорционально линейные размеры катушки, сохранив теми же число витков и материал провода обмотки; á) внести в катушку, намотанную на немагнитный полый цилиндр ферромагнитный стержень; â) увеличить число витков, сохранив размеры катушки; ã) намотать катушку более тонким проводом из того же материала, сохранив ее размеры и число витков?

УПРАЖНЕНИЯ

1. К цепи с последовательно соединенными участками r, L в момент времени t 0 подключается источник синусоидального напряжения u(t) Um sin ( t + ).

2. К цепи с последовательно соединенными участками r, C в момент времени t 0 подключается источник синусоидального напряжения u(t) Um sin ( t + ).

ключении к цепи с последовательно соединенными участками r, L источника синусоидального напряжения u(t) Um sin ( t + ) ïðè ! + #/2. Здесь ! u – i — угол сдвига по фазе между напряжением и током в цепи после окончания переходного процесса.

4. Изобразите кривые, соответствующие функциям u (t), u (t), u (t), ïðè ïîä-

C C C

ключении к цепи с последовательно соединенными участками r, C источника синусоидального напряжения u(t) Um sin ( t + ) ïðè !. Здесь ! u – i — угол сдвига по фазе между напряжением и током в цепи после окончания переходного процесса uC (0) 0.

5.(Р) Предложите способ расчета постоянной времени цепи, содержащей произвольное число резисторов и: à) одну катушку индуктивности; á) один конденсатор.

6.(Р) Найдите постоянные времени цепей, схемы которых изображены на рис. B9.6.

158 Вопросы и упражнения к главам 9, 10, 11 и 12

9.3. Переходные процессы в цепи r, L, C

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.Какими должны быть начальные условия в цепи с последовательно соединенными участками r, L, C, чтобы при включении цепи под постоянное напряжение переходный процесс в цепи отсутствовал?

2.Параметры цепи с последовательно соединенными участками r, L, C таковы, что имеет место апериодический разряд конденсатора. Может ли разряд стать колебательным, если: à) уменьшать сопротивление r резистора; á) увеличивать индуктивность L катушки; â) уменьшать емкость C конденсатора; ã) уменьшать отношение r/L; ä) увеличивать частоту резонанса контура; å) увеличивать добротность контура; æ) увеличивать волновое сопротивление контура?

3.(О) При каких сопротивлениях r в цепи с последовательным соединением элементов r, L, C период колебаний тока в ней при разряде конденсатора будет: à) минимальным; á) максимальным?

4.Справедливы ли утверждения, что для увеличения декремента колебаний при колебательном разряде конденсатора на цепь r, L следует: à) увеличить сопротивление r резистора; á) уменьшить индуктивность L катушки; â) увели- чить отношение r/L; ã) увеличить емкость C конденсатора; ä) увеличить напря-

жение uC (0)? Каким образом изменяется при этом период затухающих колебаний?

5.(Р) Цепь, состоящую из последовательно соединенных участков r, L, C, ïîä-

ключают под постоянное напряжение U0 при нулевых начальных условиях. Докажите, что при апериодическом переходном процессе напряжение на конденсаторе не может превысить величину U0.

6.(О) Покажите, что при колебательном разряде конденсатора на цепь r, L напряжение на нем не превысит его начального значения.

9.4. Переходные процессы в цепях при мгновенном изменении параметров участков цепи

ВОПРОСЫ

1.(O) В каком случае мгновенное изменение индуктивности (емкости) цепи не приводит к появлению импульсов напряжения (тока) бесконечно большой амплитуды?

2.Возможно ли появление бесконечно больших скачков напряжения или тока при мгновенном изменении сопротивления?

3.(O) После коммутации в цепи возникло сечение только из катушек индуктивности. Является ли это необходимым и достаточным для возникновения в цепи импульсов напряжения бесконечно большой амплитуды?

4.(O) В результате коммутации в цепи образовался контур, состоящий из конденсаторов и еще одного элемента. Возможно ли возникновение импульсов тока бесконечно большой амплитуды, если этот элемент: à) идеальный источник ЭДС; á) резистор; â) источник тока?

160 Вопросы и упражнения к главам 9, 10, 11 и 12

4. (P) Покажите, что оригинал f(t) ïðè t (т. е. в установившемся режиме) при известном его изображении F(p) можно найти по формуле

f (t) t lim [pF(p)].

p 0

5. (Р) Найдите токи i (+0) è i ( ) по заданному операторному изображению тока

6.Покажите, что если: à) i1(t) Λ I1(p) è i2(t) Λ I2(p), òî i1(t) + i2(t) Λ I1(p) + I2(p); á) i (t) Λ I(p), òî ïðè r const ri1(t) Λ rI1(p).

7.Покажите, что если функция f(t) имеет своим изображением F(p), òî

Пользуясь этим, найдите операторное изображение функции Um sin k t, учиты-

âàÿ , ÷òî sin t Λ .

p2 2

10.2. Расчет переходных процессов операторным методом

ВОПРОСЫ

1.(О) В чем состоит различие в учете начальных условий при расчете переходных процессов в цепях классическим и операторным методами?

2.(O) При выполнении какого условия входное операторное сопротивление Z(p) двухполюсника можно получить, заменяя величину j íà p в выражении его комплексного входного сопротивления Z(j )?

3.Участки электрической цепи соединены последовательно (параллельно). Можно ли сложить их операторные сопротивления (проводимости), если начальные условия: à) нулевые; á) ненулевые?

4.(О) Переходный процесс в некоторой линейной электрической цепи рассчи- тывают операторным методом при нулевых начальных условиях. Можно ли утверждать, что система уравнений законов Кирхгофа в операторной форме совпадает с аналогичной системой уравнений, составленной для

этой же цепи комплексным методом при замене p j , I(p) I, E(p) E è ò. ä.?

162 Вопросы и упражнения к главам 9, 10, 11 и 12

Ðèñ. B10.5

5. (Р) Рассчитайте операторным методом токи в ветвях цепи, изображенной на рис. B10.6 при следующих значениях параметров: r 40 Îì, L 0,1 Ãí, Ñ 10 ìêÔ, u U0 120 Â.

8.(Р) Найдите выражение для тока в цепи с последовательно соединенными

участками r, L при действии на ее входе напряжения u U m e t и начальном условии i(0) 0.

9.(Р) Найдите выражения для токов i1(t), i2 (t) воздушного трансформатора