Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Теоретические основы электротехники-2

.pdf
Скачиваний:
93
Добавлен:
05.04.2018
Размер:
5.97 Mб
Скачать

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 43

 

 

 

 

di

 

 

L(A1 1 A2 2 ) U.

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из полученных выражений находим произвольные постоянные A1 è A2:

 

 

 

 

A1

A2

 

 

 

 

 

U

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(

1

2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

U

 

 

 

(e 1t e 2t );

 

 

 

 

L( 1

2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

t

 

 

 

1

t

 

 

 

 

 

U

 

 

 

uC

 

i dt uC (0)

i dt

 

 

 

 

( 2 e 1t 1e 2t ) U.

C

 

C

 

1

 

2

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнивая полученные выражения для тока i и напряжения uC с выражениями для этих величин, приведенными в начале предыдущего параграфа для слу- чая разряда конденсатора, видим, что закон изменения тока в обоих случаях один и тот же и токи различаются только знаками, так как теперь рассматривается процесс зарядки конденсатора. Напряжение же на конденсаторе при разряде изменяется от начального значения U0 до нуля, а при зарядке — от нуля до конечного значения U; переход происходит по аналогичному закону.

Ðèñ. 9.21

Ðèñ. 9.22

Характер переходного процесса, как и при разряде конденсатора, зависит от того, будут ли корни характеристического уравнения вещественными (при − ; 0) или комплексными (при < 0). В первом случае процесс зарядки конденсатора апериодический (рис. 9.21), а во втором случае — колебательный (рис. 9.22).

9.10. Включение цепи r, L, Ñ под синусоидальное напряжение

Исследуем переходные процессы в цепи (r, L, C) при включении ее под синусоидальное напряжение è Um sin ( t + u). Как и прежде (см. § 9.7), общее решение для тока в цепи имеет вид

i i A1e 1t A2 e 2t .

44 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Òîê i в установившемся режиме, согласно изложенному в четвертой главе, равен

 

 

 

 

 

 

 

i I m sin( t

i ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

m

 

 

 

L

1 2

 

!;

ãäå I m

 

;

z

r 2

 

;

i u

 

 

 

 

z

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! arctg

L 1 C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

Произвольные постоянные A1 è A2 определим, исходя из начальных условий. Пусть в начальный момент времени ток в цепи и напряжение на зажимах конденсатора равны нулю, т. е. i (0) 0, uC(0) 0. Из выражения для тока i получаем

0 I m sin i A1 A2 ,

из уравнения цепи и из выражения для производных токов находим

di

 

 

 

di'

 

 

1A1 2 A2 .

 

L

 

 

 

U m sin

u L

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

t 0

 

 

dt

t 0

 

 

 

 

 

Подставляя в это уравнение выражения

 

 

 

 

 

 

U m sin u I m zsin( i

! I m (zcos !sin

i zsin !cos

i )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

I m (r sin

i

x cos

i ) I m )r sin

i

 

L

 

cos

i ,

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

C

+

èL LI m cos i ,

dt t 0

àтакже замечая, что 1/(LC) 20 è r/L 2, получимdi'

 

 

 

 

I

 

2

 

 

 

 

I

 

2sin

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

cos

 

 

 

 

 

 

 

A

.

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

i

m

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

2

2

 

 

 

 

 

Решая это уравнение совместно с уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 I m sin

 

i A1 A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и учитывая, что 2+ 2 1, найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

0

cos

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

i

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

 

 

sin

i

 

 

 

cos

i

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, для тока i получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i I

 

sin( t

 

) I

 

sin

i

 

(

 

e 1t

 

e 2t ) I

 

cos

i 02

(e 1t e 2t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

i

m

1

 

 

2

1

2

m

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 45

и, соответственно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

 

 

 

 

 

1 t

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uC

 

 

i dt uC (0)

 

 

i dt I m

 

cos( t i )

 

 

C

C

C

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

sin

i

 

 

(e 1t

e 2t

) I

 

cos

 

i

 

 

 

(

 

e 1t

 

 

e 2t ).

m C(

1

 

 

2

)

m C(

1

 

2

)

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для комплексных корней характеристического уравнения, т. е. когда < 0 , переходный процесс является колебательным. В этом случае, принимая во внимание, что 1,2 j , целесообразно содержащиеся в вышеприведенных об-

щих выражениях для i è uC множители записать в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

(e 1t e 2t )

1

 

et sin ' t;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(

 

e 1t

 

e 2t )

0

et

sin( ' t 7;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

2

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(

 

e 1t

 

e 2t )

0

et

sin( ' t 7,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

1

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

как это было сделано в § 9.8. При этом выражения для i è uC примут вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

I m et ;

 

0

 

i I m sin( t i ) )sin

 

i

sin( ' t 7

 

 

 

 

cos i sin ' t,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

'

 

 

 

2

(*)

 

I m

 

 

 

 

 

) sin

 

 

 

 

0

 

 

 

 

sin( ' t 7

I m

 

 

1

u

cos( t

 

 

sin

' t

 

cos

 

I

 

et .2

 

 

i

i

 

i

 

m

 

C

C

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

' C

2

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

3

 

Ограничимся рассмотрением случаев, когда и и близки, но не равны друг другу. При этом затухание будем предполагать малым, т. е. считать

<< 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть . Принимая во внимание, что << 0, можем полагать 0 è

7 #/2; при этом последние уравнения принимают вид

 

 

i I

 

(1 et )sin( t

 

); u

 

 

I m

(1 et )cos( t

 

).

m

i

C

 

i

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характерная особенность переходного процесса заключается в том, что амплитуда колебаний тока и напряжения на конденсаторе постепенно нарастает с момента включения (t 0) до своего установившегося значения (рис. 9.23).

Следует отметить, что амплитуда установившегося

напряжения на конденсаторе

I m

 

U m

1

может зна-

Ðèñ. 9.23

C

z

 

C

 

 

 

 

 

чительно превзойти амплитуду приложенного напряжения Um, так как частота

весьма близка к частоте резонанса 0, и, следовательно, емкостное сопротивление конденсатора xC 1/( C) значительно превышает сопротивление z всей цепи при малом затухании.

Ðèñ. 9.24

46 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Рассмотрим теперь случай, когда и близки по значению, но не равны друг другу. Так как затухание мы приняли малым, то в выражениях для i è uC приближенно можно полагать 0/ 1, 0/ 1. Принимая в первые после включения моменты времени e–−t 1, получим

i I m [sin( t

uC I mC [cos( t

i ) sin( ' t

i ) cos( ' t

 

 

 

 

'

 

 

'

 

 

i )] 2I m sin

 

t cos

2

t

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

i )] 2

I

m

 

'

 

 

'

t

 

sin

 

 

t sin

 

 

C

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

i ;

i .

Эти выражения совпадают с полученными ранее в § 8.8, и, следовательно, в цепи возникают биения колебаний. Характер кривых был приведен на рис. 8.11. Постепенно вследствие хотя и малого, но конечного затухания биения прекратятся и в цепи установятся синусоидальные колебания установившегося режима, что видно из уравнений (*), так как множитель e–−t стремится к нулю.

9.11. Переходные процессы при мгновенном изменении параметров участков цепи

В реальных цепях параметры участков цепи изменяются в течение конечных, хотя и весьма малых промежутков времени t. Однако при расчете, абстрагируясь от действительности, часто можем предполагать, что параметры участков изменяются мгновенно, т. е. скачком, на определенную величину. Это может иметь место при замыкании отдельных участков накоротко, при размыкании или включении ветвей цепи и т. д. Для расчета переходных процессов в этих случаях необходимо, так же как и во всех ранее рассмотренных случаях, составить дифференциальные уравнения цепи после коммутации и найти их общее решение.

В случае скачкообразного изменения сопротивления r цепи на конечную величину не возникает никаких особенностей в отношении определения произвольных постоянных интегрирования — токи в катушках и напряжения в конденсаторах в момент коммутации не изменяются.

Некоторые особенности для определения произвольных постоянных интегрирования возникают при мгновенных изменениях индуктивностей или емкостей, что будет видно из дальнейшего.

Рассмотрим сначала переходный процесс при мгновенном изменении сопротивления r на конечную величину на примере цепи, приведенной на рис. 9.24. Пусть приложенное к цепи напряжение постоянно и в момент t 0 происходит размыкание ключа, т. е. увеличение сопротивления цепи от r1 äî r1 + r0. Дифференциальное уравнение цепи после размыкания ключа

имеет вид

(r1 r0 )i L dtdi u.

Его решение в соответствии с изложенным в § 9.5 будет

r1 r0t

i i' Ae L .

Ðèñ. 9.26

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 47

Установившийся ток i после размыкания ключа равен i

 

U

I 2

. Äëÿ

 

 

r1

r0

 

 

 

определения постоянной A воспользуемся условием i(+0) i(–0). Åñëè äî ðàç-

мыкания ключа в цепи протекал установившийся постоянный ток I1 U/r1, ò. å.

i(–0) I1, òî

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i( 0) I1

I 2 A èëè

 

 

A I1 I 2 ,

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i I

 

(I

 

 

I

 

 

 

 

 

r1 r0

t

 

2

1

2

)e

 

 

L .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 9.25 представлена кривая изменения тока i.

 

Рассмотрим теперь переходный процесс при скачкооб-

 

разном изменении индуктивности на примере цепи, пред-

 

ставленной на рис. 9.26, в которой в момент t 0 происхо-

 

дит размыкание ключа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальное уравнение цепи после размыкания

Ðèñ. 9.25

ключа имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(r r )i (L L

 

)

di

U,

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

dt

 

и его решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i i' Ae

r1 r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

t

 

i' Ae

 

.

 

L1 L2

 

 

 

 

(*)

Постоянный установившийся ток i ограничивается сопротивлениями r1 è r2

и равен

 

 

 

i'

 

U

 

 

.

r

r

1

2

 

Для определения произвольной постоянной интегрирования A не можем воспользоваться условием неизменности токов в катушках L1 è L2 в моменты t 0 è t +0. Действительно, в момент t 0 токи в катушках были различны, а именно i1L(–0) U/r1 0, т. е. до размыкания ключа в цепи протекал

постоянный установившийся ток, который определялся сопротивлением r1. В катушке же L2 ток отсутствовал и i2L(–0) 0, поскольку в ветви этой катушки имеется конечное сопротивление r2 и весь ток проходил по ветви с ключом, имевшей сопротивление, равное нулю. После размыкания ключа в момент t +0 токи в обеих катушках должны быть одинаковы. Следовательно, токи в катушках в момент коммутации должны скач- ком измениться, что возможно только при появлении бесконечно больших напряжений на катушках.

Так как приложенное напряжение конечно, а также конечными остаются падения напряжения на сопротивлениях r1 è r2 вследствие конечных значений токов, то сумма напряжений на катушках остается конечной и, следовательно, эти

48 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

бесконечно большие напряжения в момент коммутации можно считать равными и противоположными, т. е.

L

di1

 

L

 

 

di2

 

ïðè 0 9 t 9 0.

dt

 

 

dt

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя это равенство в пределах от t –0 äî t +0, находим

 

 

 

t 0

 

di

 

 

 

 

t 0

 

di

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

L

 

 

 

dt

 

 

L

 

 

 

1

dt

 

 

 

 

2

dt

(**)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

èëè

 

 

 

i1L 0

 

 

 

i2L 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L1

 

di1 L2

di2 ,

 

 

 

 

 

i1L 0

 

 

 

i2L

0

 

 

 

ò. å.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L1[i1L ( 0) i1L ( 0)] L2 [i2L ( 0) i2L ( 0)],

èëè

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L1 i1 L2 i2 ,

èëè

 

<1 <2

0.

Òàê êàê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1L ( 0) i2L ( 0) i( 0) è i2L ( 0) 0,

òî

(L1 L2 ) i( 0) L1i1L ( 0).

Из последнего равенства, а также из равенства <1 + <2 0 видно, что в процессе коммутации осталась неизменной сумма потокосцеплений с обеими катушками.

Найдя из последнего выражения ток i(+0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i( 0) i1L ( 0)

 

 

L1

 

 

U

L1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L1

L

2

 

r1 L1

L2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определяем постоянную A из выражения (*):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

L1

 

 

 

 

U

 

A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r L

L

2

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1 r2

 

 

 

t

 

 

U

 

 

U

L

 

 

 

 

 

 

U

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i i' Ae

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

e

 

L1 L2 .

 

 

r

 

 

 

 

 

 

L

 

 

r

r

 

 

 

 

r

 

 

r L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

1 1

 

 

2 1

2

 

 

 

 

Предположение, что коммутация происходит за бесконечно малый промежуток времени ( t 0), теоретически привело к появлению бесконечно больших напряжений на катушках, т. е. эти напряжения приняли вид импульсов бесконеч- но большой амплитуды, длящихся бесконечно малый промежуток времени ( t 0) (рис. 9.27). Однако интегралы (**) этих импульсов за время коммутации имеют конечные значения и равны приращениям потокосцеплений в катушках <1 è <2.

Ðèñ. 9.28
Ðèñ. 9.27

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 49

Обратим внимание на то, что энергия, запасенная в магнитном поле первой катушки до коммутации,

 

 

L

 

2

 

L

U

2

Wì

( 0)

1

[i1L ( 0)]

 

1

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

r1

 

больше энергии, запасенной в магнитных полях обеих катушек после коммутации:

 

 

L L

2

 

2

 

L

U

2

L

 

 

 

Wì

( 0)

1

[i( 0)]

 

1

 

 

 

1

 

 

.

2

 

 

2

 

 

 

L1

L

 

 

 

 

 

 

 

r1

 

2

 

Разность этих энергий расходуется на необратимые процессы во время коммутации, хотя длительность коммутации бесконечно мала. Это возможно, так как на участках цепи развиваются бесконечно большие мощности.

Такие результаты — итог предельной идеализации явления. В действительности сопротивление ключа не может меняться скачком от нуля до бесконечности, так как большие напряжения между контактами ключа вызовут между ними электрическую искру или электрическую дугу. Кроме того, всякая катушка обладает распределенной емкостью между ее витками, так же как имеется емкость между расходя-

щимися контактами ключа; поэтому процесс коммутации совершается в конеч- ный промежуток времени t, в течение которого завершается быстро протекающий переходный процесс от момента начала до момента конца коммутации. Этот переходный процесс в зависимости от соотношений параметров может быть апериодическим или колебательным с очень высокой частотой, и разность энергий Wì(–0) – Wì(+0) расходуется в сопротивлениях цепи, в частности в сопротивлениях между контактами ключа, или на излучение при очень высокой частоте. Этот процесс, проходящий за время t, при отмеченной выше идеализации не рассматриваем. Но если его рассмотреть, то будут справедливы сформулированные в § 9.4 физические условия коммутации — неизменность токов в катушках и напряжений на конденсаторах, а также неизменность энергий, запасенных в катушках и конденсаторах.

Интересно отметить, что, соблюдая условие L1/r1 L2/r2, получим A 0, т. е. новое установившееся значение постоянного тока получается сразу после коммутации. Это обстоятельство может быть использовано, если нам желательно в очень короткий промежу-

ток времени t изменить постоянный ток в катушке. Естественно, изоляция катушек должна выдерживать импульсы высокого напряжения.

Рассмотрим процесс в цепи, изображенной на рис. 9.28, при замыкании клю- ча, т. е. процесс при скачкообразном изменении емкости от C1 äî C1 + C2, предпо-

50 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

лагая, что ветви с конденсаторами C1 è C2 не имеют индуктивностей и сопротивлений. Будем считать, что до замыкания ключа конденсатор C1 был заряжен до напряжения U, а конденсатор C2 не был заряжен.

Дифференциальное уравнение цепи после замыкания ключа примет вид

 

 

ri u

 

U èëè

r (C

C

)

duC

u U

 

 

 

 

C

 

1

2

 

 

dt

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и имеет решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

u

u

Ae ,

(***)

 

 

 

 

 

C

Ñ

 

 

 

 

 

 

ãäå u

U è r (C

1

+ C

).

 

 

 

 

 

 

 

Ñ

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения À нельзя воспользоваться условием неизменности напряжения на конденсаторах C1 è C2 в моменты t –0 è t +0, òàê êàê ïðè t –0 áûëî

u1C(–0) U 0 è u2C (–0) 0, à ïðè t +0 имеем u1C(+0) u2C(+0). Следовательно, напряжения на конденсаторах в момент коммутации должны

скачком измениться, что возможно только при появлении в ветвях C1 è C2 импульсов тока бесконечной амплитуды и бесконечно малой длительности. Так как суммарный ток i остается конечным, то эти импульсы равны по амплитуде и

противоположны по знаку, т. е.

 

 

 

C

du1C

C

 

du2C

ïðè 0 9 t 9 0.

dt

2 dt

1

 

 

Интегрируя это равенство в пределах от t –0 äî t +0, находим

u1C 0

u2C 0

C1 du1C C2

du2C ,

u1C 0

u2C 0

ò. å.

 

 

C1[u1C ( 0) u1C ( 0)] C2 [u2C ( 0) u2C ( 0)],

èëè

 

 

C1 u1C C2 u2C

èëè

q1 q2 0.

Òàê êàê u1C (+0) u2C (+0) uC (+0), è u2C (–0) 0, òî

(C1 C2 )uC ( 0) C1u1C ( 0).

Из последнего равенства, а также из равенства q1 + q2 0 видно, что в процессе коммутации осталась неизменной сумма зарядов обоих конденсаторов.

Найдя из последнего выражения напряжение uC (+0):

uC

( 0) u1C

( 0)

 

C1

 

U

 

C1

 

 

,

 

C1

C2

C1 C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определим постоянную À из выражения (***). Получим

 

 

 

 

 

 

t

 

 

C1

 

 

 

t

 

 

 

 

 

u u Ae

U U

 

1

e

 

 

.

 

 

 

 

C

Ñ

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

 

 

 

 

 

 

Легко убедиться, что энергия конденсатора Ñ1 до коммутации Wý(–0) C1U2/2

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 51

больше энергии, запасенной в обоих конденсаторах после коммутации:

 

( 0)

C C

2

[u ( 0)]2

 

C U 2

 

C

W

1

1

 

1

.

 

 

 

 

ý

 

2

 

C

 

2

 

C1 C2

 

 

 

 

 

 

В действительности физические процессы при коммутации происходят и в этой цепи за конечный промежуток времени и имеют характер, аналогичный рассмотренному в предыдущем примере.

9.12. Расчет переходных процессов в сложной цепи

Общую методику расчета переходных процессов в сложной электрической цепи рассмотрим на примерах цепей, представленных на рис. 9.29 и 9.30.

Ðèñ. 9.29 Ðèñ. 9.30

1. Применим метод контурных токов для цепи (рис. 9.29), образовавшейся после размыкания ключа. Имеем

(r r )i (L L

 

)

di1

r i

 

 

L

 

 

di2

e ;

 

0

 

3

 

2

3

 

 

 

 

2

 

1

3

1

1

 

dt

3

 

 

 

dt

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(*)

 

 

 

di1

 

 

 

 

 

 

di2

 

 

1

t

 

 

1

r3 i1 L3

 

(r2 r3 )i2 L3

 

 

i2 dt uC

(0) e2

.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

dt

 

C 0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Решим эту систему уравнений относительно контурного тока i1. Обозначим операцию дифференцирования буквой D d/dt и операцию интегрирования от 0 до t через 1/D. Тогда, как известно из курса математики, для линейных уравнений можно, оперируя этим символом как некоторой величиной, решить систему

уравнений относительно одной неизвестной. Имеем

 

 

[r1 r3 (L1 L3 )D]i1 (r3 L3 D)i2 e1;

 

 

 

 

 

1

 

 

 

(r3

L3 D) i1

 

r3 L3 D

 

 

e2

uC (0).

r2

C2 D

i2

 

 

 

 

 

 

 

Умножим первое уравнение на r2 + r3 + L3D +1/(C2D), а второе — на r3 + L3D и вычтем из первого второе. Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

[r1 r3

(L1

L

 

 

r3 L3 D

 

 

 

 

 

 

L3 D) i1

 

3 )D] r2

C2 D

i1 (r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r3 L3 D

 

 

 

 

 

(r3

L3 D)[e2

uC (0)]

 

 

 

r2

 

C2 D

e1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

или, обозначая

 

L1L3 a3 ;

 

L1(r2 r3 ) L3 (r1 r2 ) a2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(r r

r r

r r )

L1 L3

 

a

;

 

 

r1 r3

a

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

2

3

3

 

1

 

 

C2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a D

3 i a D 2 i a Di a i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

2

 

 

1

 

1

1

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

D 2 e

 

(r

r

 

)De

1

e L

 

 

D

2 [e

 

u

 

 

(0)] r D[e

 

u

 

(0)].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

2

3

 

1

 

C2

1

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

C

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

C

 

 

 

 

 

Èìåÿ â âèäó, ÷òî

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 3 i

d 3 i

;

D 2 i

d 2 i

 

; Di

 

 

di

 

è

DA

dA

0

(A const),

 

 

 

 

 

 

 

 

dt3

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим искомое дифференциальное уравнение относительно тока i1:

 

 

 

 

d

3 i

 

 

a

d 2 i

 

a

 

di

 

a i

b

 

 

d

2 e

b

 

de

 

b e

c

 

 

d

2 e

2

 

c

 

de

2

 

a

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

3 dt3

 

 

2 dt2

 

 

1 dt

0 1

 

2 dt2

 

1 dt

 

 

0 1

 

 

2 dt2

 

 

 

 

1 dt

Характеристическое уравнение однородного дифференциального уравнения примет вид

a3 3 a2 2 a1 a0 0.

Данное уравнение имеет три корня: 1, 2, 3 — и, соответственно, для свобод-

íîãî òîêà i можем написать

 

 

 

1

 

 

 

i A e 1t A e 2t A e 3t .

1

11

12

13

Так же как в § 9.2, первый индекс у постоянных Aks относится к искомому току, а второй — к корням уравнения.

Следовательно, полное решение для тока i1 будет

i

i

A e 1t

A e 2t

A e 3t .

1

1

11

12

13

Как было отмечено в § 9.4, для определения произвольных постоянных A11, À12, À13 необходимо знать i1 и его производные di1/dt è d 2i1 /dt2 в момент времени t 0, которые выражаются через значения токов в катушках и напряжений на конденсаторах до размыкания ключа: i1L(0), i3L(–0) è uC (–0), а также через

òîê i установившегося режима при t +0.

1

Значения токов и напряжений в установившемся режиме определяются по методам, изложенным в гл. 5 и 8, в зависимости от вида ЭДС e1 è e2. Значения i1(–0), i2(–0) è uC (–0) будем считать заданными, так как их легко рассчитать для цепи с замкнутым ключом.

В момент коммутации остаются неизменными токи в индуктивных катушках.

Поскольку i1L i1 è i3L i2 + i1, то имеем i1(+0) i1L(–0), i1(+0) + i2(+0) i3L(0) 0 èëè i2(+0) –i1(+0). Для напряжения на конденсаторе получим uC(+0) uC(–0).

Заметим, что в отношении начальных условий здесь не возникает особенностей, отмеченных при рассмотрении второго примера в предыдущем параграфе. Хотя в данном случае также размыкается ключ, замыкавший ветвь с индуктив-