Теоретические основы электротехники-2

Таким образом, параметры мостовой схемы четырехполюсника в данном слу- чае равны

Реализация Z1(p) è Z2(p) приводит к схемам на рис. 15.19 со следующими зна- чениями параметров:

C1 21; L1 2; C3 21; L3 1; C2 61; L2 0,65 12.

Полученная мостовая схема (рис. 15.20) содержит много элементов. Желательно, если это возможно, преобразовать ее с целью уменьшения числа элементов. Решение этой задачи является предметом раздела теории синтеза, посвященного эквивалентным преобразованиям, и его здесь не будем касаться.

Приведенный метод синтеза передаточной функции является одним из простейших. Существует ряд способов синтеза четырехполюсников для решения более сложных задач.

Синтез передаточных функций играет важную роль в автоматике, радиотехнике, измерительной технике. При помощи синтеза передаточной функции можно конструировать цепи, которые в сочетании с уже имеющимися цепями должны обеспечить желаемые передаточные функции всей системы в целом. На основе синтеза передаточных функций возможно конструирование корректирующих, фазовращающих, фильтрующих и других электрических цепей.

Глава шестнадцатая

Диагностика электрических цепей

16.1. Задачи и методы диагностики электрических цепей

Под диагностикой электрической цепи понимается процесс определения ее параметров по данным измерений реакций цепи на определенные воздействия при сохранении цельности объектов диагностирования в процессе проведения экспериментов. Этот процесс состоит из двух этапов — экспериментального, на котором исследователь имеет дело с реальным физическим устройством (цепью), и расчетного, на котором исследователь имеет дело со схемой замещения цепи. По возможностям организации экспериментального этапа работы диагностику подразделяют на тестовую и функциональную. При тестовой диагностике исследователь задает режимы работы диагностируемого устройства и проводит измерения реакций, которые представляются ему наиболее информативными и/или обеспечивают простоту выполнения расчетного этапа диагностики. Часто в качестве таких режимов выбирают различные «экстремальные» режимы работы диагностируемого устройства, например режимы холостого хода и короткого замыкания. Тестовая диагностика проводится, как правило, на специальных стендах, оборудованных высокоточной измерительной аппаратурой. Функциональная диагностика проводится на работающих устройствах при наличии воздействий (вибрационных, тепловых, электромагнитных и т. д.) внешней среды, использовании стандартной измерительной аппаратуры в условиях ограниченности вариаций исследуемых режимов и, следовательно, повышенной сложности выполнения расчетного этапа работы. Ценность функциональной диагностики в ее оперативности, особенно если ее организация позволяет вести непрерывное наблюдение за параметрами схем и их изменением, что исключи- тельно важно для прогнозирования надежности, работоспособности электротехнических устройств и систем, управления режимами их работы и т. д. Достоверность результатов тестовой диагностики выше, чем функциональной.

Расчетный этап диагностики занимает промежуточное положение между анализом и синтезом электрических цепей. Поэтому здесь в большой мере проявляется и незавершенность методов синтеза, особенно сложных цепей и цепей с нелинейными элементами, и несовершенство вычислительных методов и средств анализа высокоразмерных многоэлементных систем. С математической точки зрения основные проблемы расчетного этапа связаны, во-первых, с возможной некорректностью задачи диагностики, когда неполнота либо противоречивость исходных данных затрудняет получение единственного, устойчивого решения, во-вторых, с вычислительными трудностями обеспечения приемлемой точности расчета при обработке высокоразмерных и часто плохо обусловленных систем уравнений, в-третьих, с оценкой достоверности результатов решения задачи при использовании экспериментальных данных ограниченной точности.

Задачи диагностики, в отличие от задач анализа и синтеза, в прикладном отношении больше связаны с эксплуатацией, чем с проектированием электро-

технических устройств. Однако при проектировании также приходится рассматривать вопросы диагностики, например такие, как рациональное размещение измерительных приборов, позволяющих контролировать процесс эксплуатации проектируемых устройств. Следует отметить, что диагностика электрических цепей в настоящее время является одним из интенсивно развиваемых и востребованных практикой разделов теории электрических цепей.

Рассмотрим далее методы решения задач диагностики пассивных линейных резистивных цепей в условиях относительной свободы проведения диагностиче- ских экспериментов.

При диагностике электрической цепи важна доступность ее узлов и ветвей для выполнения экспериментального этапа решения задачи диагностики, ина- че говоря, наблюдаемость цепи. Будем говорить, что цепь наблюдаема по току, если экспериментальные данные достаточны для расчета токов всех ее ветвей, и наблюдаема по напряжению, если экспериментальные данные достаточны для расчета напряжений всех ветвей цепи. Очевидно, что цепь, в которой измерены токи ветвей всех связей (ветвей дополнения дерева), наблюдаема по току, а цепь, в которой измерены напряжения ветвей некоторого дерева, — наблюдаема по напряжению. В самом деле, из матричной записи законов Кирхгофа

ãäå D 1, F t 0 è C F, 1 — соответственно, матрицы сечений и контуров,

следует, что токи ветвей дерева Iä и напряжения связей Uñ могут быть рассчитаны из следующих соотношений:

Iä Ft Iñ , Uñ –F Uä.

Дальнейшее определение параметров (сопротивлений, проводимостей) резисторов наблюдаемой по току и напряжению цепи не представляет сложности и выполняется по закону Ома.

Рассмотрим решение задачи диагностики цепи, изображенной на рис. 16.1, à, наблюдаемой по току и напряжению. К ветвям 1, 2, 3, входящим в дерево цепи, подсоединены вольтметры, а в ветви связей 4, 5 включены амперметры. Тогда

При этом найдены величины источников Å U2 , = I4, а параметры резисторов могут быть рассчитаны по закону Ома r1 U1/I1, r3 U3/I3, r5 U5/I5. Отметим,

256 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

что цепь будет наблюдаема по току и напряжению и в том случае, когда амперметры включены в ветви связей одного дерева, а вольтметры подсоединены к ветвям другого дерева. В качестве такого другого дерева может быть использовано так называемое фундаментальное дерево, ветви которого связывают каждый

Ðèñ. 16.1

из узлов схемы с базисным узлом. Если между некоторым узлом и базисным узлом нет ветви, то можно ввести фиктивную — сингулярную ветвь с нулевой проводимостью — ветвь 6 в схеме, представленной на рис. 16.1, á, здесь фундаментальное дерево образуют ветви 2, 3, 6. Измерив напряжения U2, U3, U6 ветвей фундаментального дерева, равные соответствующим узловым напряжениям, найдем напряжения остальных ветвей как разности напряжений ветвей фундаментального дерева: U1 U6 – U2, U4 U3 – U2, U5 U6 – U3. Поэтому для наблюдаемости цепи по напряжению необходима и достаточна доступность для измерений всех узлов цепи. В общем случае для цепи с q узлами и ð ветвями для наблюдаемости по напряжению необходима возможность выполнения не менее (q – 1)-го измерения напряжений, а для наблюдаемости по току — не менее (p – q + 1)-го измерения токов.

16.2. Диагностика пассивных цепей методом узловых сопротивлений

В тех случаях, когда цепь не полностью наблюдаема по току или напряжению или когда в рассматриваемом режиме токи (напряжения) некоторых ветвей равны нулю и значения сопротивлений (проводимостей) резисторов не удается рас- считать по закону Ома, необходимо рассматривать другие режимы, иногда объединяя результаты их наблюдения на расчетном этапе диагностики. Покажем, как это можно сделать при тестовой диагностике наблюдаемого по напряжению пассивного многополюсника П, изображенного на рис. 16.2, à, топологическая структура которого неизвестна. При ограничениях, которые будут оговорены ниже, задачу тестовой диагностики можно считать решенной, если найдена матрица узловых проводимостей цепи Y:

ãäå n + 1 — число узлов цепи. Для нахождения матрицы Y сформируем по данным диагностических экспериментов матрицу Y–1 Z {Zij}n,n, называемую матрицей узловых сопротивлений. Метод диагностики пассивных электрических цепей, основанный на экспериментальном определении узловых сопротивлений Zij, i, j 1, 2, …, n, и последующем числовом расчете матрицы Y Z–1, назовем методом узловых сопротивлений.

Ðèñ. 16.2

Для реализации метода узловых сопротивлений между узлами 0 и 1 многополюсника П (рис. 16.2, á) включим источник тока равный 1 А (в общем случае — одной относительной единице тока). Измеренные при первом диагностическом эксперименте узловые напряжения U 1i , i 1, 2, , n, удовлетворяют системе уравнений, составленной для этой схемы по методу узловых напряжений,

в которой неизвестными являются коэффициенты матрицы Y. Из полученного уравнения нельзя однозначно найти коэффициенты матрицы узловых проводимостей, так как число неизвестных в системе, равное n2, больше числа уравнений n. Для однозначного определения коэффициентов матрицы Y можно провести еще n – 1 эксперимент. В каждом j-м эксперименте (j 2, 3, ..., n) источник тока подключают между узлами 0 и j (ðèñ. 16.2, â), что обеспечивает задающий ток j-го узла равным 1 А. После этого измеряют n узловых напряжений U ij , i 1,2, , n. Соответствующая система уравнений для j-го эксперимента имеет вид

ãäå U ij , i 1, 2, , n — узловые напряжения, измеренные в j-м эксперименте, аj 1 A. Полученные системы уравнений можно объединить в одну:

258 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Умножим правую и левую части последнего уравнения на = 1, тогда

Y U = 1 1 èëè Y Z 1.

Для упрощения записи дальнейших математических выкладок введем безразмерные величины Yij*,U ij*, = j*, связанные с соответствующими узловыми проводимостями, напряжениями и задающими токами соотношениями

ãäå Y0 1 Cì; U0 1 Â; =0 1 A (в общем случае Y0, U0 è =0 равны любым заданным единицам проводимости, напряжения, тока, соответственно). Тогда систему уравнений Y U = можно представить в виде

Если при этом не возникает путаницы, то индекс * будем опускать, оговаривая размерность используемых величин. При достаточно точных измерениях напряжений во всех экспериментах значения этих напряжений численно совпадают с соответствующими значениями узловых сопротивлений, т. е.U ij Z ij . Тогда решение рассматриваемой задачи диагностики имеет вид:

Здесь и далее имеются в виду численные равенства для соответствующих безразмерных величин. Если известно, что диагностируется взаимная электри- ческая цепь, обладающая симметричными матрицами Y è Z, то для построения системы Y U 1 можно вместо n2 измерений напряжений выполнить только n(n + 1)/2 измерений, необходимых для воссоздания нижней (верхней) треугольной части матрицы U (матрицы Z). Для верхней части матрицы напря-

На практике измерения проводятся с погрешностью, а иногда не исключается возможность и грубых ошибок. В этой ситуации и для взаимной электри- ческой цепи целесообразно провести все измерения. Тогда значение невязки Υ jk |U kj U kj | , j k, можно использовать как индикатор грубых ошибок изме-

рений. Если невязка Υjk больше некоторого наперед заданного значения Υ, характеризуемого, например, классом точности измерительной аппаратуры, то измерения напряжений U kj , U kj следует произвести заново. Если невязка Υjk достаточно

ìàëà, ò. å. Υjk << Υ, то в качестве значения узлового сопротивления Zjk Zkj можно принять среднеарифметическое значение Zjk Zkj (U kj U kj )2, как ближайшее

к измеренным значениям. Таким образом, взаимной электрической цепи в результате подобной обработки данных экспериментов соответствует симметрич- ная матрица узловых сопротивлений

Z {Zij}nn {(U kj U kj )2}nn (U +Ut)/2,

как более достоверная.

Таким образом, сформировав по данным диагностических экспериментов матрицу узловых сопротивлений Z, симметричную для взаимной и несимметрич- ную для невзаимной цепи, можно рассчитать искомую матрицу Y Z–1. Если при этом диагностируется взаимная электрическая цепь, а из-за вычислительных ошибок, допущенных при обращении матрицы Z, матрица Z–1 окажется несимметричной, то в качестве искомой матрицы следует принять симметричную

матрицу

Y [Z 1 (Z 1)t ]2.

Как отмечалось в начале параграфа, по матрице Y можно вычислить проводимости ветвей диагностируемой цепи, если последняя удовлетворяет определенным ограничениям. Здесь предполагается отсутствие в цепи параллельно соединенных ветвей и ветвей, замкнутых в петли. В этом случае проводимость, соединяющая узлы i è j (i j ),

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 16.3. Проводимости ветвей цепи, так

подлежат определению. Положим, что в диагностических экспериментах узловые напряжения измерены с погрешностью 10–4 В (0,01 %). По данным этих экспериментов была получена матрица напряжений

1512, 0,5357 0,2976 U 0,5357 1607, 0,8930 ,

0,2976 0,8928 4,941

в которой U32 U23. Так как диагностируется взаимная цепь, то в качестве матрицы узловых сопротивлений Z целесообразно принять симметричную матрицу

Проводимости ветвей, определенные по матрице Y, будут: g10 0,5102 Ñì, g20 0,4108 Ñì, g30 0,0974 Ñì, g12 0,2308 Ñì, g23 0,127 Ñì, g13 0,0032 См. При этом погрешность определения проводимостей ветвей, за исключением проводимости g13 сопоставима с погрешностью исходных данных 8 %.

Анализ решения рассмотренных задач диагностики показывает, что при достаточно малых значениях погрешностей измерений (0,01 и 3 %) диагностику рассматриваемой цепи удается осуществить достаточно точно. С ростом погрешностей измерений ухудшается и точность решения задачи, причем при достаточно больших погрешностях измерений (7 %) по полученным результатам уже невозможно идентифицировать структуру диагностируемой цепи с априори неизвестной топологией.

Рассмотренные примеры показывают, что решения задачи диагностики чувствительны к точности проведения соответствующих экспериментов. Аналити- ческая оценка влияния погрешностей измерений на результат диагностирования представляет собой самостоятельную задачу, которую можно, например, решить в рамках линейной теории погрешностей.

Имеется возможность косвенной оценки точности решения задачи диагностики цепей с априори заданной топологической структурой. Для подобных цепей известно, когда в расчете должны появляться нулевые значения проводимостей. Если узлы k è l (в частности, узлы 1 è 3 для цепи, изображенной на рис. 16.3) в диагностируемой цепи непосредственно не соединены, то при рас- чете проводимости gkl получают значение, близкое к нулю, причем возможное отличие от нуля обусловлено ошибками измерений и вычислений. По значению проводимостей, по их отличию от нуля, можно судить о точности решения зада- чи диагностики. Так, при диагностике цепи, изображенной на рис. 16.3 при выполнении измерений с различной погрешностью вместо значения Y13 Y31 0 были получены, соответственно, значения –10–11, –0,0008, –0,0032, которые хорошо иллюстрируют точность решения этих задач. Кроме того, возможность косвенной оценки точности решения задачи диагностики цепей с априори известной топологической структурой связана с проверкой условия равенства

базисному (нулевому) узлу диагностируемой цепи.

Достоинством рассмотренного метода узловых сопротивлений является простота его экспериментальной части, что позволяет сравнительно просто автоматизировать процесс диагностики многополюсников, причем в том случае, когда диагностируются резистивные цепи, требуется лишь два измерительных прибора: вольтметр (рис. 16.2, á, â) и амперметр, необходимый для установления еди-