Теоретические основы электротехники-2

const. Однако можно положить A 0, òàê êàê ïðè A 0 мы могли бы ввести вместо ! и функции !1 ! + A/2 è 1 – A/2, после чего получились бы выражения для u1 è i1, в которые постоянная A не входит явно. Поэтому можем написать

ãäå LC представляет собой, как известно из предыдущего, волновое сопротив-

ление неискажающей линии.

Полученные выражения для напряжения u è òîêà i можно привести к иному виду, приняв во внимание, что

ãäå rg — коэффициент затухания неискажающей линии (см. § 17.6), и что,

следовательно,

e −t e vt e (x vt ) e x e (x vt ) e x .

На основании последних равенств выражения для u è i можно представить в виде

u !(x vt)e x (x vt)e x ;

причем следует иметь в виду, что функции ! и в этих выражениях отличаются от ! и в предыдущих выражениях для напряжения и тока, соответственно, множителями e (x–vt) è e– (x+vt).

Заметим, что мы получили только общий вид решения, определяющий характер функциональной зависимости напряжения и тока от x è t. Конкретный вид

294 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

функций !(x – vt) è (x + vt) будет определяться конкретными условиями зада- чи. Некоторые простые примеры будут рассмотрены дальше. Вместе с тем уже из полученных общих выражений для напряжения и тока можно сделать важные выводы о физическом смысле членов, образующих эти выражения, что и будет сделано в § 18.4.

18.3. Решение уравнений однородной неискажающей линии при переходном процессе операторным методом

Покажем также применение операторного метода для получения решения уравнений однородной линии при переходном процессе.

Так как напряжение и ток являются функциями двух переменных t è x, то их операторные изображения будут функциями оператора p è x:

u(t, x) Λ U(p, x) u(t, x)e pt dt;

0

i(t, x) Λ I(p, x) i(t, x)e pt dt.

0

Производная по времени от напряжения изображается в виде

ΗΗut Λ pU(p, x) u(0, x),

ãäå u(0, x) — распределение напряжения вдоль линии при t 0. Производная от напряжения по x

ΗΗux Λ dxd U(p, x). Соответственно, изображения для производных тока будут

Существенно заметить, что уравнения для операторных изображений U(p, x) è I(p, x) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, так как они содержат лишь одну переменную x. В этом отношении имеем определенную аналогию с уравнениями линии, записанными в комплексной форме при синусоидальном процессе.

296 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Из последнего выражения видно, что ! (t, x) является функцией аргумента x – vt, òàê êàê x è t входят совместно только в такой комбинации, т. е. ! (x, t) ! (x – vt). Аналогично для функции от p, стоящей при множителе e x, получаем

ò. å.

(t, x) (x vt).

Таким образом, искомое выражение для u(t, x) записывается в виде u(t, x) !(x vt) e x (x vt) e x .

Соответственно для тока получаем выражение

Полученные выражения полностью совпадают с найденными в предыдущем параграфе классическим методом.

18.4. Волны в неискажающей линии

Рассмотрим только что полученные выражения для напряжения и тока линии. При этом для простоты сначала допустим, что потери в линии пренебрежимо малы, т. е. примем r 0 è g 0. Тогда − 0, 0, e–−t 1, а также e– x e x 1, и для линии без потерь получим

Пусть в частном случае (x + vt) 0 è u ! (x – vt) u!. Приняв в последнем равенстве t 0, найдем распределение напряжения вдоль линии в начальный момент времени. Возьмем некоторую произвольную точку x и предположим, что она перемещается вдоль линии со скоростью v, т. е. что ее положение определяется координатой x x0 + vt. Тогда напряжение в этой движущейся точке u! ! (x0 + vt – vt) ! (x0) не будет зависеть от времени. Так как это заключение справедливо для любой точки, движущейся вдоль линии со скоростью v, то, следовательно, при u ! (x – vt) u! начальное распределение напряжения u перемещается вдоль линии со скоростью v. Иными словами, функция u! ! (x – vt) определяет п р я м у ю в о л н у н а п р я ж е н и я, распространяющуюся вдоль линии со скоростью v, т. е. волну напряжения, бегущую вперед и не претерпевающую изменения формы. Аналогично функция u (x + vt) определяет

о б р а т н у ю в о л н у н а п р я ж е н и я, распространяющуюся вдоль линии также без изменения формы со скоростью –v, или, что то же, распространяющуюся со скоростью v в отрицательном направлении счета расстояний, т. е. бегущую назад.

Таким образом, при отсутствии потерь в линии напряжение, а также и ток в ней могут быть представлены как суммы двух волн, распространяющихся

вдоль линии без изменения формы со скоростью v 1LC в противоположных направлениях. При этом в ëþáой точке линии отношение напряжения и тока для прямой волны равно LC, т. е. волновому сопротивлению линии, зависящему только от параметров линии, а для обратной волны это отношение равноLC . При рассмотрении установившихся процессов уже указывалось, что скорость распространения волн в неискажающей однородной линии v 1LC

для воздушных линий равна скорости света в воздухе.

Наличие в выражениях для u è i множителя e–−t èëи, соответственно, в других их выражениях множителей e– x è e x, причем rg, показывает, что обе волны

по мере продвижения их вдоль линии затухают по показательному закону. При- чиной затухания волн является постепенное превращение начального запаса энергии электрического и магнитного полей, связанных с линией, в теплоту, выделяющуюся в проводах, так как r Ι, а также и в среде, окружающей провода, так как g 0.

В дальнейшем будем предполагать, что волны при движении их вдоль линии не затухают. Затухание волн вследствие потерь в линии при необходимости может быть учтено, по крайней мере, для неискажающей линии, так как нами установлено, что в этом случае волны затухают по показательному закону с показателем x rgx.

При наличии только одних прямых или только одних обратных волн для энергии магнитного и электрического полей на элементе линии dx, приняв во внимание, что u2/i2 L/C, найдем

dWì 21 i2 L dx 21u2C dx dWý .

Отсюда следует, что в каждом из этих случаев энергии магнитного и электриче- ского полей на элементе длины линии, а следовательно, и на всей линии равны друг другу, и для суммы этих полей на элементе линии получим

dW dWì dWý i2 L dx u2C dx uiLCdx.

Для соответствующей мощности найдем

p = ui = i2 CL u2CL ,

откуда следует, что при данном значении напряжения эта мощность тем больше, чем меньше волновое сопротивление линии.

298 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

18.5. О происхождении и характере волн в линиях

Возникновение волн в линиях обычно связано или с атмосферными разрядами, или с переключениями, т. е. с включением и выключением или самих линий, или устройств, связанных с ними.

Пусть в линии на некотором ее протяжении индуцирован заряд вследствие нахождения над этой частью линии заряженного облака. Если облако, индуктировавшее заряд, разрядится, то этот заряд освободится, и тогда напряжение вдоль линии будет распределено пропорционально заряду, приходящемуся на каждый элемент длины линии. В результате освобождения индуцированного заряда вдоль линии начнут распространяться волны напряжения и тока. Пусть распределение напряжения вдоль линии в начальный момент времени задано функцией f0(x) (рис. 18.1). Волновое сопротèâëение линии, являющееся в нашем случае вещественным числом, равным LC, обозначим через z. Тогда, при-

няв во внимание, что ток в начальный момент времени равен нулю, имеем

и, следовательно,

u!0 u Ι 21 f0 (x).

Таким образом, в начальный момент времени напряжение представляет собой сумму двух равных волн, одинаковых по форме и имеющих один и тот же знак, а ток — сумму двух волн, одинаковых по форме, но имеющих противоположные знаки.

Ðèñ. 18.1

Ñмомента освобождения индуцированного заряда эти волны напряжения,

àтакже и волны тока распространяются по линии в противоположных направлениях, причем скорости всех этих волн по абсолютному значению равны между собой. На рис. 18.1 представлено движение волн напряжения и тока в первые

моменты времени после освобождения индуцированного заряда в предположении, что они не затухают.

При изучении явлений, связанных с переключениями, в тех случаях, когда длина линии мала по сравнению с длиной волны, будем предполагать, что внешние ЭДС постоянны. Это предположение допустимо, так как рассматриваемые явления протекают настолько быстро, что при синусоидальной ЭДС, имеющей частоту порядка десятков герц, значение этой ЭДС за время пробега волны вдоль всей линии может измениться лишь очень незначительно. Кроме того, будем считать, что процессы переключения осуществляются мгновенно. В соответствии с этими предположениями в дальнейшем примем, что волны напряжения и тока, идущие от источника внешней ЭДС, имеют прямоугольную форму.

18.6. Преломление и отражение волн в месте сопряжения двух однородных линий

Пусть волна !1, бегущая от источника ЭДС по однородной линии, имеющей волновое сопротивление z1, достигла конца этой линии, в котором последняя соединена с другой однородной линией, имеющей волновое сопротивление z2. Обозначив напряжение и ток в первой линии через u1 è i1, а во второй — через u2 è i2, в месте сопряжения обеих линий имеем u1 u2 è i1 i2. Предположим, что во второй линии до прихода волны из первой линии напряжения не было. Тогда непосредственно после прихода волны к месту сопряжения линий во второй линии может возникнуть лишь волна !2, бегущая в том же направлении, что и волна !1, и называемая п р е л о м л е н н о й волной, в то время как в первой линии, кроме волны !1, называемой п а д а ю щ е й волной, при z2 z1 обязательно возникнет волна 1, бегущая в обратном направлении и называемая о т р а ж е н н о й волной, так как иначе не могут быть удовлетворены условия равенства напряжений или токов в месте сопряжения линий. Поэтому, отмечая индексами !1, 1 è !2, соответственно, падающие, отраженные и преломленные волны, в месте сопряжения линий имеем

Из этих отношений следует, что в данном случае преломленные и отраженные волны имеют ту же форму, что и падающие волны. Отношения u!2/u!1 è

i!2/i!1 можно рассматривать как к о э ф ф и ц и е н т ы п р е л о м л е н и я, а отношения u 1/u!1 qu è i 1/i!1 qi — êàê ê î ý ô ô è ö è å í ò û î ò ð à æ å í è ÿ.

300 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Из выражений, полученных для преломленных и отраженных волн, следует, что преломленные волны напряжения и тока имеют тот же знак, что и падающие, а из отраженных волн одна сохраняет знак па-

дающей волны, а другая имеет обратный знак.

Ïðè z2 > z1, что, например, имеет место при переходе волны из кабельной линии в воздушную, преломленная волна напряжения больше падающей, а преломленная волна тока меньше падающей. Что касается отраженных волн, то волна напряжения отражается без перемены знака, а волна тока — с переменой знака, причем по абсолютному значению обе эти волны меньше соответствующих падающих волн. При этом вследствие наложения отраженных волн на падающие ток в первой линии уменьшается, а на-

пряжение возрастает, но не более чем в два раза. На Ðèñ. 18.2 рис. 18.2 показаны падающие, преломленные и отра-

женные волны при z1 < z2. Заметим, что даже при очень больших значениях z2 преломленная волна напряжения не может превысить падающую волну более чем в два раза.

Ïðè z1 > z2 преломленная волна напряжения меньше падающей, а преломленная волна тока больше падающей. В этом случае при отражении знак изменяется для волны напряжения, а абсолютные значения обеих отраженных волн опять будут меньше значений соответствующих падающих волн. Вследствие наложения отраженных волн на падающие напряжение в первой линии уменьшится, а ток возрастет, но не более чем в два раза (рис. 18.3). Заметим, что даже при очень малых зна- чениях z2 преломленная волна тока не может пре-

Ðèñ. 18.3 высить падающую волну более чем в два раза. Рассматривая мощность p в месте сопряжения линий, имеем

ãäå p!1, p 1, p!2 — мощности падающих, отраженных и преломленных волн. Отсюда следует, что часть мощности падающих волн, равная мощности преломленных волн, переходит во вторую линию, а остальная часть, равная мощности отраженных волн, возвращается обратно в первую линию.

Из изложенного следует, что при переходе волны напряжения из линии с меньшим волновым сопротивлением в линию с большим волновым сопротивлением напряжение увеличивается и в пределе может удвоиться. Поэтому напряжение возрастает при переходе волны из кабельной линии в воздушную и из линий передачи в обмотки трансформаторов, которые представляют собой цепи, обладающие значительным волновым сопротивлением, превосходящим волновое сопротивление воздушных линий.

Волны, возникающие в линиях, распространяются с конечной скоростью и могут поэтому вызывать значительные перенапряжения между соседними точ- ками цепи, в одну из которых волна напряжения уже пришла. Эти перенапряжения тем больше, чем круче фронт волны, и наиболее значительны при отвесном фронте волны. В связи с этим первые витки обмоток трансформаторов в соответствующих случаях выполняют со значительно усиленной изоляцией.

18.7. Отражение волн от конца линии

Пусть бегущие волны напряжения и тока достигли конца однородной линии, имеющей волновое сопротивление z и замкнутой на сколь угодно сложную цепь с сосредоточенными параметрами. В результате отражения падающих волн ! от конца линии возникнут отраженные волны , и для напряжения u è òîêà i в конце линии, или, иными словами, для напряжения на зажимах оконечной цепи и тока в ней, получим

откуда

2u! zi u.

Из этой простой зависимости следует, что ток i можно найти как ток, возникающий в эквивалентной схеме, включаемой под напряжение 2u! и состоящей из активного сопротивления, равного волновому сопротивлению z линии, и последовательно соединенной с ним оконечной цепи.

Определив ток i по заданным u!, z и параметрам оконечной цепи, можем найти отраженные волны напряжения и тока из соотношений

u u u! zi; i z .

Рассмотрим, пользуясь этим способом, отражение волн от простейших оконечных цепей в предположении, что ЭДС источника падающих волн постоянна.

Пусть однородная линия с волновым сопротивлением z замкнута на сопротивление r0. Тогда эквивалентная схема состоит из последовательно соединенных сопротивлений z è r0, и получим

302 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Таким образом, в рассматриваемом случае мы получили такие же соотношения между отраженными и падающими волнами, как и в случае отражения волн в месте сопряжения двух линий, с той лишь разницей, что вместо волнового сопротивления второй линии вошло сопротивление r0, на которое замкнута линия. При этом для мощности p ui в конце линии имеем

т. е. эта мощность, поглощаемая приемником, равна разности мощностей падающих и отраженных волн. Если сопротивление r0 равно волновому сопротивлению линии z, то отраженные волны не возникают и вся мощность падающих волн поглощается приемником.

Из полученных выражений можно установить соотношение между падающими и отраженными волнами в случае отражения волн от конца разомкнутой или короткозамкнутой линии. При разомкнутой линии, полагая r0 , в конце линии имеем

u u! ; i i! ,

а при короткозамкнутой линии, полагая r0 0, в конце линии получим

u u! ; i i! ,

т. е. в этих случаях отраженные волны имеют то же значение, что и падающие, причем при разомкнутой линии с переменой знака отражается волна тока, а при короткозамкнутой линии с переменой знака отражается волна напряжения (рис. 18.4). Таким образом, в результате наложения отраженных волн на падающие в разомкнутой линии напряжение на ее конце возрастает в два раза, а в короткозамкнутой линии ток на ее конце возрастает также в два раза, что можно полу- чить из исследования отражения волн

в месте сопряжения двух линий, полагая, Ðèñ. 18.4 соответственно, или z2 , èëè z2 0.

Это можно пояснить следующим образом. И при холостом ходе, и при коротком замыкании падающие волны с присущей им энергией полностью отражаются от конца линии, так как в конце линии энергия не потребляется. Поэтому в той части линии, до которой дошли отраженные волны, энергия в два раза больше энергии падающих волн и, следовательно, в четыре раза больше энергии магнитного поля падающей волны тока, а также в четыре раза больше энергии электрического поля падающей волны напряжения, так как эти энергии равны друг другу.

При холостом ходе линии ток на ее конце должен равняться нулю. Поэтому, когда падающая волна тока придет к концу линии, то возникает равная ей по значению и противоположная по знаку отраженная волна тока и ток в конце линии упадет до нуля, а энергия магнитных полей, связанных с падающей и отра-