Теоретические основы электротехники-2

Рассмотрим решение задачи диагностики параметров П-образного четырехполюсника обобщенным методом узловых сопротивлений в том случае, когда варьируемая проводимость между узлами 2 è 0 принимает предельные значения (0 и ), что соответствует опытам холостого хода (рис. 16.5, à) и короткого замыкания (рис. 16.5, á).

Ðèñ. 16.5

В первом диагностическом эксперименте, когда узел 2 не соединен с ба-

Во втором диагностическом эксперименте, когда узлы 2 è 0 замкнуты нако-

ротко, измеряются токи =12 I1ê , = 22 I 2ê и напряжение U12 U1ê , напряжение U 22 при этом равно нулю. Индексы «х» и «к» соответствуют опытам холостого хода и короткого замыкания.

По данным диагностических экспериментов формируется система уравнений

Полученные выражения совпадают с аналогичными выражениями из теории четырехполюсников. Но здесь проведение опытов холостого хода и короткого замыкания для определения параметров четырехполюсника является лишь одной из множества возможных реализаций обобщенного метода узловых сопротивлений.

Основное достоинство рассмотренного метода диагностики связано с возможностью выбора различных способов реализации экспериментальной части работы, что равно важно как для тестовой, так и для функциональной диагностики.

264 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

В случае тестовой диагностики эта возможность позволяет оптимизировать выполнение экспериментальной и/или расчетной части работы, повысить точность определения параметров и т. д. Для функциональной же диагностики, где выбор режима не произволен, эта возможность позволяет сформировать необходимые для однозначного определения искомых параметров уравнения Y U =.

16.4. Использование метода узловых сопротивлений для диагностики активных электрических цепей

В данном параграфе будет рассмотрена задача определения проводимостей ветвей активной цепи (элементов матрицы узловых проводимостей Y) â òîì случае, когда отсутствует возможность отключения ее

ãäå = внутр – вектор задающих источников многополюсника An , à U0 — столбец измеренных узловых напряжений.

Тогда систему уравнений, описывающую данный опыт, можно преобразовать

ãäå å1 – строка, первый элемент которой равен единице, а остальные нули. Правая часть последнего уравнения может быть записана в виде:

= внутр g U11 e1t

U11– напряжение первого узла, I 1g – ток, протекающий через проводимость g,

Продолжая серию опытов, соединяя поочередно узлы многополюсника с нулевым узлом через проводимость g и измеряя токи I gk (k 2, 3, ..., n) через g è íà-

пряжения узлов многополюсника, получим n систем уравнений вида

единяющую k-й и нулевой узлы, e tk — вектор, k-й элемент которого равен единице, а остальные нули. Аналогично тому, как это делалось в методе узловых сопротивлений, объединим n систем уравнений в одно уравнение вида

Таким образом, диагностика активной цепи методом узловых сопротивлений мало отличается от диагностики пассивной цепи. Число опытов увеличивается на единицу, однако сами опыты несколько проще, так как не требуют дополнительного источника энергии.

16.5. Диагностика электрических цепей в условиях неполноты и противоречивости исходных данных

В предыдущих параграфах рассматривались ситуации, когда экспериментальные данные позволяли сформировать на расчетном этапе работы систему уравнений, имеющую единственное и устойчивое решение, т. е. корректно поставить соответствующую математическую задачу определения искомых параметров диагностируемой цепи. На практике же вследствие ограниченности свободы в вариации режимов, особенно при функциональной диагностике, недоступности целых подцепей для измерений (при неполной наблюдаемости цепи), неточности, а подчас и явной грубости результатов измерений, экспериментальные данные зачастую отличаются неполнотой и противоречивостью. Ситуация может усугубиться и вследствие неверной информации о топологической структуре цепи. В современных электротехнических устройствах и системах, как правило, используется большое количество элементов ключевой природы, изменение состояния которых (открыт, закрыт), по сути, меняет топологию цепи. Ложная информация о реальном состоянии таких элементов приводит к неверным выводам о структуре и даже о размерности математической модели, формируемой на расчетном этапе диагностики. При этом задача обработки такой модели может оказаться некорректной (некорректно поставленной), т. е. решение соответствующей системы уравнений может не существовать, быть не единственным или неустойчивым. Все это существенно осложняет выполнение расчетной части диагностической задачи, так как многообразие возможных ситуаций, неполнота или противоречивость экспериментальных данных затрудняют выработку единого алгоритма для формирования и решения некорректно поставленной задачи

266 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

математической обработки экспериментальных данных. Сформулируем ряд общих рекомендаций по формированию математических моделей для расчетных этапов диагностики цепей в этих случаях. Суть этих рекомендаций сводится, во-первых, к способам учета всей полноты информации о диагностируемом объекте, а также условиях и средствах осуществления экспериментального этапа работы и, во-вторых, к формированию математической модели не в виде системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), а в виде задачи минимизации функционала с ограничениями для СЛАУ. В этом случае корректность постановки достигается тем, что вместо поиска решения СЛАУ, которое может не существовать или быть не единственным, на расчетном этапе задачи диагностики

наблюдаема по току и не полностью наблюдаема по напряжению (не известны напряжения на сопротивлениях r3, r4). Для практики довольно типична ситуация, когда показания приборов не удовлетворяют соответствующим законам Кирхгофа, поэтому положим, что здесь I~1 + I~2 I~3 .

Таким образом, экспериментальная информация в рассматриваемой задаче диагностики неполна (ее недостаточно для определения r3, r4) и противоречива (I~1 I~2 I~3 ). Для однозначного решения этой задачи и корректной постановки ее расчетного этапа, привлечем дополнительную информацию, которая всегда есть у исследователя. Это могут быть паспортные значения искомых параметров элементов, соотношения между параметрами элементов, обусловленные их природой, результаты предшествующих тестовых испытаний.

Ðèñ. 16.7

Пусть в нашем случае известно, что амперметр А3 – высокоточный, а амперметры А1, À2 одинаковы и показания их гораздо менее достоверны. Тогда может быть составлена следующая переопределенная система уравнений для определения токов I1, I2.

Положим, что нам известны паспортные значения сопротивлений r3, r4, равные r3 , r4 , а также то обстоятельство, что по типу исполнения резисторов, условиям эксплуатации, соотношениям номиналов r3, r4 возможности отклонения параметров резисторов от номиналов были одинаковы. Тогда недоопределенную

В заключении заметим, что достоверность решения задач рассматриваемого типа зависит от объема и качества привлекаемой дополнительной информации, которая всегда есть у исследователя, главное — правильно ее формализовать.

16.6. Диагностики электрических цепей, обладающих жесткими математическими моделями

При диагностике цепей методом узловых сопротивлений могут возникать ситуации, когда решение является неустойчивым и сильно зависит от погрешности в измерениях узловых напряжений. Такие ситуации возникают, когда в цепи, диагностируемой методом узловых сопротивлений, есть сечения, проходящие только по ветвям с проводимостью, малой по отношению к проводимостям остальных ветвей. Таким образом, в схеме цепи может быть выделена подсхема, отделенная от остальной схемы ветвями с малой проводимостью. Сечения, проходящие по ветвям с малой проводимостью, будем называть далее особыми.

Наличие в цепи особых сечений приводит к так называемым плохо обусловленным математическим моделям цепи. В частности, при применении метода узловых сопротивлений плохо обусловленными будут матрица Y узловых проводимостей цепи и соответствующая ей матрица Z узловых сопротивлений. Матрица плохо обусловлена, если соответствующая ей обратная матрица неустойчива, т. е. малым изменениям параметров исходной матрицы соответствуют большие изменения в обратной матрице.

Решение системы линейных уравнений с плохо обусловленной матрицей сильно изменяется при малых изменениях элементов матрицы или вектора правых частей. Такие системы уравнений носят название жестких.

Для обусловленности матрицы À предложены различные количественные характеристики, называемые числами обусловленности, одним из них является число Тодда (спектральное число обусловленности):

268Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Ωmax| Χ i (A)|, min| Χ i (A)|

ãäå Χi – собственные значения матрицы À. Чем больше число обусловленности, тем менее устойчива система уравнений.

В общем случае в цепи возможно наличие нескольких особых сечений. При этом схема как бы разбивается на ряд подсхем, гальванически слабо связанных между собой. Эти сечения могут быть вложенными друг в друга. Будем называть далее задачу диагностики цепи, не содержащей особых сечений, задачей нулевого порядка сложности, задачу диагностики цепи, содержащей одно особое сече- ние, — задачей первого порядка сложности. Задача диагностики второго порядка сложности соответствует цепи, содержащей два особых сечения, вложенных одно в другое и т. д. Цепь m-го порядка сложности можно представить в виде многополюсников Пi, i 1, 2, , m, связанных между собой ветвями с малой проводимостью, образующими особые сечения sj, j 1, 2, ..., m – 1 (ðèñ. 16.8).

Ðèñ. 16.8

Каждое сечение, проходящее по ветвям с малой проводимостью, вносит в спектр матрицы узловых проводимостей Y цепи малое по модулю собственное значе- ние. Это можно объяснить следующим образом. Пусть в рассматриваемой цепи имеется такое сечение. Тогда в предельном случае, когда значения проводимостей ветвей, пересекаемых сечением, равны нулю, цепь распадается на две подцепи, не связанные между собой. Следовательно, при анализе цепи методом узловых напряжений, можно было бы рассматривать каждую подцепь отдельно и в каждой из них выбрать свой нулевой узел. Тогда в матрице узловых проводимостей Y цепи, состоящей из двух гальванически не связанных подцепей, будет присутствовать одна линейно зависимая строка (и, соответственно, столбец) и одно ее собственное значение равно нулю. Если проводимости элементов ветвей, пересекаемых сечением, имеют малые, но не нулевые значения, то цепь распадается на две слабо связанные подцепи. В силу непрерывной зависимости собственных чисел от величин элементов матрицы матрица Y такой цепи будет иметь одно малое собственное значение.

Таким образом, в случае наличия в цепи m особых сечений по ветвям с малой проводимостью матрица Y цепи будет иметь m малых по модулю собственных значений. Соответственно, матрица Z Y–1 будет иметь m собственных значе- ний, значительно превышающих по модулю остальные.

Рассмотрим влияние на погрешность определения элементов матрицы Y и, соответственно, погрешность решения задачи диагностики числа обусловленно-

сти Ω матрицы U узловых напряжений (матрицы Z узловых сопротивлений), определенной экспериментально. Исследование выполним для цепей первого (рис. 16.9) и второго (рис. 16.10) порядка сложности. Величины проводимостей элементов указаны на рисунках. Проводимости Υ, Υ1, Υ2 малы по сравнению с проводимостями остальных ветвей. При уменьшении величин Υ, Υ1, Υ2 происходит увеличе- ние числа обусловленности Ω матрицы U.

Пусть, в соответствии с методом узловых сопротивлений, измерительная система состоит из источника тока = 1 А, погрешность задания которого будем считать пренебрежимо малой, и вольтметра V, измеряющего напряжения с относительной погрешностью − , где − Β [10–2–10–4] — уровень погрешности измерений, а — равномерно распределенная на интервале [–1, 1] случайная вели- чина.

Ðèñ. 16.10

На рис. 16.11 приведены зависимости от числа обусловленности средней относительной погрешности d0 элементов матрицы Y öåïè ðèñ. 16.9 (ðèñ. 16.11, à) è öåïè ðèñ. 16.10 (ðèñ. 16.11, á) для различных уровней погрешности измерений −. Погрешность d0 определяется как

ãäåYij – элементы «точной» матрицы Y,Yij( 1) – элементы матрицы U–1. Несмотря

на «ломаный» характер зависимостей, представленных на рис. 16.11, они хорошо передают тенденцию нарастания погрешности решения задачи диагностики с ростом числа обусловленности Ω матрицы Y. В дальнейшем будем пользоваться сглаженными кривыми.

270 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Приведенные зависимости показывают, что уже при lg Ω > 4 для задач первого порядка сложности и lg Ω > 3 для задач второго порядка сложности решение задачи диагностики в данной постановке (при проведении одной серии экспериментов) невозможно. Этот факт имеет достаточно простое объяснение. При определении элементов матрицы U с погрешностью большие собственные значения матрицы U искажаются на величину порядка и изменяются незначительно, в то время как изменение малых собственных значений на величину порядка приводит к их значительным их изменениям. При определении матрицы узловых проводимостей как Y U–1 собственные значения матрицы Y равны величинам, обратным собственным значениям матрицы U. То есть большие по модулю собственные значения матрицы Y определяются по сильно искаженным малым собственным значениям матрицы U, что сильно искажает сами элементы матрицы Y.

Большой вклад в разработку математического аппарата обработки жестких моделей внес Ю. В. Ракитский. В частности, он доказал, что в жесткой системе уравнений между компонентами решения существуют линейные связи, и предложил общие алгоритмы определения этих связей, а также методы их использования для решения жестких задач. Основываясь на специфических свойствах жестких систем при экспериментальном определении параметров их математических моделей, Ю. В. Ракитский сформулировал принцип повторных измерений (ППИ), применение которого к задачам диагностики электрических цепей позволяет определять параметры цепи с погрешностью, близкой к погрешности используемых измерительных приборов вне зависимости от жесткости математической модели.

Рассмотрим применение ППИ для диагностики электрической цепи методом узловых сопротивлений. В соответствии с ППИ жесткая задача диагностики решается следующим образом: по результатам первой серии экспериментов определяются только линейные связи между параметрами задачи. С помощью полученных линейных связей исходная задача редуцируется, вследствие чего степень ее жесткости уменьшается. Далее проводится повторная серия экспериментов с новой редуцированной математической моделью, и из решения этой задачи определяется часть параметров исходной математической модели. Остальные параметры исходной математической модели находятся с помощь линейных связей.

Для пояснения алгоритма получения линейных связей рассмотрим жесткую систему алгебраических уравнений

A x b,

ãäå À – плохо обусловленная матрица с числом обусловленности ΩA 88 1. Пусть

коэффициенты матрицы À определены в результате выполнения некоторой экспериментальной процедуры. Будем предполагать, что плохая обусловленность матрицы связана c наличием в ее спектре большого по модулю собственного зна- чения Χ1, такого что

Χ1| 88 | Χ 2 | ; ;| Χ n |.

Для получения линейных связей между компонентами вектора x рассмотрим систему уравнений

As x As 1 b,

полученную из исходной умножением правой и левой частей на As 1. Собственные значения Χ(As ) матрицы As могут быть получены возведением в степень s собственных значений матрицы À.

Χ(As ) {Χs1, Χs2 , , Χsn }.

Поэтому, если матрица À плохо обусловлена, то матрица As сверхплохо обусловлена. Более того, если Χs1| 88 10K | Χsm | ,(m 2, 3, , n), ãäå K — константа, определяющая число десятичных знаков ЭВМ, с помощью которой выполняются вычисления (характерное значение K 16), то с погрешностью не более чем 10–K можно считать, что ранг матрицы As равен единице. Соответственно, все строки в системе уравнений As x As 1 b с точностью до множителя одинаковы. Поэтому любая строка этой системы уравнений может быть использована как линейная связь между компонентами вектора x. Реально для жестких систем величина показателя степени s, достаточная для использования любой строки системы уравнений As x As 1 b в качестве линейной связи, составляет 3–5.

Если коэффициенты матрицы À определены в результате эксперимента с некоторой погрешностью , то и коэффициенты линейной связи между компонентами вектора x определяются с той же погрешностью, так как они определяются только максимальным по модулю собственным значением матрицы À. Таким образом, погрешность определения линейной связи не зависит от обусловленности матрицы À. Полученная линейная связь, в соответствии с принципом повторных измерений, должна использоваться для редуцирования исходной задачи. В рассматриваемом случае это соответствует исключению из системы уравнений одного уравнения и выполнению далее повторных измерений коэффициентов редуцированной матрицы.

В методе узловых сопротивлений уравнение для получения линейной связи

ãäå U — матрица узловых напряжений, измеренных в методе узловых сопротивлений, = k — вектор задающих токов, k-й элемент которого равен единице,

272 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

а остальные нули. Для диагностирования электрической цепи с использованием ППИ будем выполнять эксперименты и обработку их результатов в соответствии со следующим алгоритмом.

1.Проводится первая серия экспериментов метода узловых сопротивлений, в результате которой определяется матрица узловых напряжений U. Если матрица U плохо обусловлена или имеется априорная информация о наличии в диагностируемой цепи особых сечений, то непосредственное определение параметров матрицы узловых проводимостей Y по матрице U невозможно.

2.По матрице узловых напряжений U (матрице узловых сопротивлений Z) из уравнения (*) определяется первая линейная связь, соответствующая максимальному собственному значению матрицы U. Погрешность определения коэффициентов линейной связи имеет тот же порядок, что и погрешность используемой измерительной аппаратуры и не зависит от обусловленности матрицы U.

3.Выполняется редукция исходной задачи, для чего один из узлов цепи, находящийся внутри особого сечения, соединяется с нулевым узлом, этим обеспечивается исключение особого сечения. Если информация об узлах, входящих в изолированную подсхему, отсутствует, то она может быть получена в результате инспекции строк и столбцов матрицы U. Вычеркнем из матрицы U строку и столбец,

соответствующие одному из узлов, и вычислим по полученной матрице U(–1) матрицу Y(–1). Узел входит в особое сечение, если норма матрицы Y(–1) существенно меньше нормы матрицы Y, в противном случае нормы этих матриц близки.

4.Проводится вторая серия экспериментов метода узловых сопротивлений в цепи с закороченным узлом. Так как редуцированная задача содержит на одно особое сечение меньше, то порядок ее сложности понижен на единицу. В результате серии повторных экспериментов определяется матрица U1.

5.Проверяется степень обусловленности ΩU1 матрицы узловых напряжений U1

цепи с закороченным узлом, размерность которой на единицу меньше размерности U. Åñëè ΩU1 88 1, то определяется вторая линейная связь, повторяются пунк-

ты 3, 4 настоящего алгоритма и определяется матрица U2, размерность которой на единицу меньше размерности U1, и т. д. Если значение обусловленности ΩU1

приемлемо при заданном уровне погрешности измерений, то обращением матрицы U1 определяется матрица Y1 узловых проводимостей цепи с закороченным узлом. При этом определяются проводимости всех ветвей исходной цепи, за исключением ветвей, инцидентных закороченному узлу. Проводимости этих ветвей определяются с помощью линейной связи.

Применение описанного алгоритма при решении задачи диагностики цепей позволяет снизить погрешность определения элементов матрицы узловых проводимостей до уровня погрешности измерений, независимо от степени обусловленности задачи. На рис. 16.12, à представлены сглаженные зависимости отношения погрешностей решения задачи диагностики методом узловых сопротивлений без использования (d0) и с использованием (dÏÏÈ) ППИ от числа обусловленности матрицы Y для цепи рис. 16.9. Погрешность dÏÏÈ вычислялась