Теоретические основы электротехники-2

Зависимость изменения тока в цепи представлена на рис. 12.12 сплошной линией.

Рассмотренный подход к определению реакции цепи на действие последовательности импульсов может быть использован и для произвольной цепи с одним реактивным элементом. Получим разностное уравнение, описывающее процессы в цепи первого порядка при действии на входе цепи произвольной последовательности прямоугольных импульсов xâõ [n] U[n] длительностью Òè.

Значение искомой величины xâûõ [n 1] можно определить методом наложения как результат двух процессов. Первый из них — это процесс изменения выходной величины на n-м интервале, определяемый энергией электромагнитного поля, накопленной к началу n-го интервала в реактивном элементе цепи, второй — это процесс, вызванный действием входного импульса. Когда действующий входной импульс равен нулю и имеет место только первый процесс, то токи и напряжения изменяются по экспоненциальному закону и за время Ò выходная величина уменьшится до значения xâûõ [n]e T . Значение выходной величины, определяемое только действием входного импульса (второй процесс), к концу интервала будет равно xâõ [n](h(T) h(T Tè )) ïðè h(0) 0. Используя принцип наложения, получим разностное уравнение первого порядка при действии прямоугольных импульсов:

T

xâûõ [n 1] xâûõ [n]e xâõ [n](h(T) h(T Tè )) axâûõ [n] bxâõ [n]. Рассмотрим решение задачи в том случае, когда напряжение u(t) на входе

цепи представлено в виде последовательности −-импульсов. При действии импульсного сигнала K[n] K(nT) ток на входе цепи получает приращение K[n]Y (0),

ãäåY (0) — значение импульсной проводимости цепи при t 0. Тогда разностное уравнение цепи имеет вид:

T

i[n 1] {i[n] K[n]Y (0)} e .

Ïðè K[n] K const его решение можно найти рассмотренным способом:

Для цепи с последовательно соединенными участками r, L имеем

В результате решение для тока цепи имеет вид

Сравним последнее выражение для тока с выражением (**), полученным при действии в цепи последовательности импульсов конечной длительности. Разложим экспоненту eTè , входящую в решение (**), в ряд Тейлора при Òè > 0 и удержим в разложении только два первых члена ряда:

144 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Подставляя разложение экспоненты в выражение (**) и проводя несложные преобразования, можно убедиться, что выражения для входного тока, полученные при действии на входе цепи последовательности −-импульсов и импульсов конечной длительности совпадают при Òè 0.

Применим изложенный способ получения разностного уравнения к цепи с произвольным числом реактивных элементов. Пусть переходный процесс в некоторой цепи описывается дифференциальным уравнением порядка k. Получим уравнение, связывающее вектор переменных состояния цепи в начале n-го интервала с его значением в начале (n + 1)-го интервала:

X[n] || X1[n], X2[n], …, Xk[n] || t

Решение уравнения состояния цепи dtd x A1x + B1v, записанного в матричной

форме (см. § 9.2) на интервале nT t (n + 1)T, позволяет получить необходимое рекуррентное соотношение между дискретными значениями вектора переменных состояния:

(n 1)T

X[n + 1] exp(A1T )X [n] + exp(–A1(n + 1)T ) exp(A1( )B1v( )d ,

nT

ãäå v( ) — вектор источников, действующих на n-м временном интервале. После численного или аналитического вычисления интеграла во втором слагаемом его можно представить как некоторую решетчатую функцию BV[n], ãäå B – матрица с постоянными коэффициентами. Тогда рекуррентное соотношение между дискретными значениями вектора переменных состояния примет вид

X[n + 1] AX[n] + BV[n],

ãäå A exp(A1T ) — матрица с постоянными коэффициентами, называемая переходной матрицей, играет ту же роль в анализе цепей при действии дискретных сигналов, что и матричная экспонента exp(At), введенная для непрерывных сигналов. Решение этого уравнения при начальном условии X[0] можно найти, последовательно рассчитывая величины X[1], X[2], X[3], …, X[n + 1]:

X[1] AX[0] + BV[0],

X[2] AX[1] + BV[1] AX[0] + ABV[0] + BV[1], è ò. ä.

Система разностных уравнений для дискретных значений вектора переменных состояния X[n] || X1[n], X2[n], …, Xk[n] || t может быть сведена к одному разностному уравнения порядка k относительно решетчатой функции любой из переменных состояния Xi[n], i 1, 2, Ο k. Пусть такое преобразование выполнено для некоторой переменной, которую обозначим через X[n]. Решение разностного уравнения порядка k

ak X[n k] ak 1X[n k 1] ... a0 X[n] f [n]

Глава 12. Расчет электрических цепей при воздействии импульсных ЭДС 145

можем искать по аналогии с решением дифференциального уравнения, предста-

вив его в виде суммы

X[n] X [n] X [n]

частного решения X [n]разностного уравнения и общего решения X [n]однородного разностного уравнения, получаемого из исходного при f[n] 0. Общее ре-

Для нахождения постоянных C1, C2, …, Ck используют величины X[n] ïðè n 0, 1, 2, …, n – 1. Составляющая X [n] решения определяется правой частью f [n] уравнения; в частности, при f [n] const величину X [n] получаем из условия X[n] 0 ïðè n . Рассмотренный путь решения задачи расчета переходного процесса при действии последовательности дискретных сигналов аналогичен классическому методу расчета переходных процессов, изложенному в главе 9. Более эффективным в ряде задач является другой метод, называемый методом дискретного, или z-преобразования, который изложен в следующих параграфах.

12.8. Метод z-преобразования

Метод расчета реакции цепи при действии последовательности импульсов, основанный на использовании z-преобразования, во многом аналогичен операторному методу. Он позволяет выполнить переход от последовательностей импульсов к их изображениям, преобразовать разностные соотношения между токами и напряжениями на элементах цепи к алгебраическим уравнениям, решить задачу для z-изображений и затем найти оригинал в виде последовательности импульсов искомой переменной.

Преобразование, определяющее соответствие решетчатой функции f [n] è åå

z-изображения F (z), можно найти, вычисляя операторное изображение функции

f(t) f[n]−(t – nT), которая описывает последовательность импульсов интен-

n 0

сивностью (площадью) f [n]. Учитывая, что операторное изображение импульс-

ной функции −(t – nT) равно e pnT (см. § 10.2), получаем F(p) f [n]e pnT . Îáî-

n 0

значив z epT , приходим к одностороннему прямому z-преобразованию решет- чатой функции f [n]:

F(z) f [z]z n .

n 0

Функцию F(z) называют z-изображением решетчатой функции f [n], что условно можно записать в виде f [n] Λ F(z). Ðÿä F(z) сходится, если | f [n] | возрастает не быстрее, чем экспонента Ae n äëÿ âñåõ z, лежащих вне окружности радиусом R0 e на комплексной плоскости. Дискретные последовательности импульсов токов и напряжений в электрических цепях удовлетворяют этим условиям.

146 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Найдем z-изображения часто используемых на практике решетчатых функций.

Z-изображение решетчатой функции f [n] A·1[n], которой соответствует ступенчатая функция f(t) A·1(t), имеет вид

Для решетчатой функции −[n] 1, n 0 z-изображение получается равным 1, 0, n 0

поскольку в сумме F (z) в этом случае только одно слагаемое, соответствующее n 0, отлично от нуля.

Изображение функции f [n] e nT равно

Найдем z-изображения функций f [n + 1] è f [n – 1]. Считая, что z-изображе- ние функции f [n] известно и равно F (z), äëÿ z-изображения функции f [n + 1] получим:

Аналогично для z-изображения функции f [n – 1], учитывая что f [n] 0 ïðè n < 0, получим:

Обобщением последних соотношений являются z-изображения функций f [n + k] è f [n – k]:

k 1

f [n k] Λ zk F(z) f [n]zk n , f [n k] Λ z k F(z).

n 0

Рассчитаем также изображение разности f [n] f [n 1] f [n]. В результате подстановки f [n + 1] è f [n] получим

f [n] z(F(z) f [0]) F(z) (z 1)F(z) zf [0].

Изображения наиболее употребительных функций приведены в следующей таблице.

Рассмотрим связь между z-изображением F (z) решетчатой функции f [n] и операторным изображением F ( p) соответствующей ей функции f(t).

Операторное изображение F(p) G(p) функции f(t ) при простых корнях по-

H(p)

линома H(p) можно представить в виде (см. § 10.5)

Выполнение обратного z-преобразования, т. е. нахождение решетчатой функции f [n] ïî åå z-изображению, связано с вычислением интеграла

f [n] 21#j C F(z)zn 1dz,

ãäå Ñ — замкнутый контур, охватывающий все особые точки функции F(z)zn 1. Им может быть, в частности, круг радиусом R0 9 z.

Перейдем от полученного разностного уравнения, к уравнению относительно z-изображений. Учитывая, что изображение последовательности прямоуголь-

ных импульсов U0 1[n] имеет вид U 0 z z 1, находим z-изображение тока в цепи

r1 e T z 1 z e T

èпользуясь таблицей соответствия решетчатых функций их z-изображениям

совпадающее с найденным в § 12.8.

Рассмотренный способ решения может быть применен и к разностному уравнению порядка k. Пусть процесс в цепи описывается разностным уравнением

k-го порядка вида ak xâûõ [n k] ak 1xâûõ [n k 1] ... a0 xâûõ [n] xâõ [n], связывающим входную xâõ [n] и выходные xâûõ [n], xâûõ [n 1], ..., xâûõ [n k] величины, тогда, переходя к z-изображениям его обеих частей, получаем после простых пре-

образований выражение

определяется начальными значениями xâûõ [0], xâûõ [1], ..., xâûõ [k 1] выходной величины. Затем, выполняя обратное z-преобразование, можем определить xâûõ [n].

Метод z-преобразования позволяет рассчитать переходный процесс в электрической цепи и без использования разностных уравнений.

Пусть на входе цепи действует периодическая последовательность прямо-

Входящая в это соотношение функция H è (z) представляет z-изображение реакции электрической цепи на действие сигнала, z-изображение которого равно единице:

H è (z) X âûõ (z) ïðè X âõ (z) 1.

150 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Сигналом, z-изображение которого равно единице, является одиночный импульс с интенсивностью, равной 1, приложенный к цепи при t 0. Действительно, одиночный импульс единичной интенсивности, приложенный к цепи в момент времени t 0, описывается решетчатой функцией xâõ [0] 1è xâõ [n] 0 ïðè

n 1,2, . Тогда в соответствии с определением прямого z-преобразования имеем

X âõ (z) xâõ [n]z n xâõ [0] 1.

n 0

Реакция цепи hè (t) на одиночный импульс единичной интенсивности определяется как разность переходных характеристик:

hè (t) h(t) h(t Tè ).

В частном случае, когда искомой величиной является ток на входе цепи, имеем hè (t) Y(t) Y(t Tè ). Решетчатая функция hè [n] соответствует реакции цепи hè (t) и представляет собой последовательность значений этой функции hè [n] hè (nT) в дискретные моменты времени nT, n 1, 2, Ο . Функция H è (z) ÿâ-

ляется z-изображением решетчатой функции hè [n], таким образом, имеем

H è (z) hè [n]z n .

n0

Учитывая, что hè [0] hè (0) 0, и, следовательно, первое слагаемое суммы равно нулю, суммирование можно начать с n 1, тогда

H è (z) hè [n]z n .

n1

Получим рассмотренным способом z-изображение тока I(z) в цепи при действии на ее входе периодических импульсов напряжения длительностью Tè и постоянной амплитудой U 0 (см. рис. 12.11). Реакция цепи hè (t) на одиночный импульс единичной интенсивности определяется следующим образом:

Используя выражение для H è (z), получаем z-изображение искомого тока

которое совпадает с найденным в начале параграфа.

Рассчитаем соответствующую решетчатую функцию. Введем обозначение

что также совпадает с полученным ранее решением.

12.10. О случайных процессах в электрических цепях

Нередко процессы в электрических цепях носят случайный характер, т. е. слу- чайный характер имеют мгновенные ЭДС, токи и напряжения. Такие ЭДС, токи и напряжения не могут быть описаны при помощи рассмотренных ранее определенных функций. Эти мгновенные ЭДС, токи и напряжения в тот или иной момент времени можно определить лишь с той или иной вероятностью. Например, при передаче по проводам телеграфных импульсов или колебаний, модуляция которых осуществляется для воспроизведения речи или изображений, наперед не известны ни значение, ни длительность этих импульсов, ни амплитуда и фаза модулированных колебаний. Точно так же токи и напряжения при переходных процессах, возникающие в энергетических системах при наличии многочисленных приемников, включения и отключения которых возможны в любые моменты времени, не могут быть наперед определенно указаны вследствие невозможности однозначного предсказания очередности этих коммутаций.

При наличии усилителей с очень большими коэффициентами усиления необходимо принимать во внимание так называемый тепловой шум сопротивлений цепи и дробовой эффект в лампах. В проводниках электроны находятся в тепловом хаотическом движении. Существует некоторая вероятность того, что на фоне общего хаотического движения определенное число электронов в тот или иной момент времени будет иметь направленное в одну сторону движение, которое, действуя как ток на участке с сопротивлением, приведет к появлению разности потенциалов на концах этого участка. Значение этого напряжения

152 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

и его знак являются случайными величинами. Частотный спектр этого теплового шума вследствие чрезвычайно большого числа электронов и их хаотического движения является равномерным до весьма высоких частот.

Электронный ток в лампах представляет собой движение отдельных электронов, испускаемых катодом и доходящих до анода. Несмотря на то, что средний анодный ток может быть величиной постоянной в зависимости от числа одновременно достигших анода электронов, анодный ток будет меняться во времени. Причем эти изменения будут носить случайный характер. Этот эффект носит название дробового эффекта.

Во всех перечисленных и аналогичных им случаях можно говорить лишь о вероятности того или иного процесса, того или иного значения ЭДС, тока и напряжения.

Расчет случайных процессов в электрических цепях связан с проблемой определения вероятностных характеристик источников возмущений в цепи, например действующих в цепи ЭДС или изменений параметров цепи, и с проблемой определения вероятностных характеристик токов и напряжений, возникающих в цепи под воздействием этих возмущений.

Первая проблема решается при помощи статистических исследований свойств источников возмущений, т. е. путем сбора и обработки соответствующих статистических данных.

Для отыскания вероятностных характеристик искомых токов и напряжений существует ряд разработанных методов. Рассмотрение этих методов представляет собой специальную задачу. Отметим здесь только, что при этом может быть использован ряд известных нам понятий, например понятия об импульсной переходной функции, о комплексной передаточной функции, о среднем квадрати- ческом значении функции и т. д. Отдельные понятия видоизменяются в соответствии со спецификой задачи.

Вероятностные и статистические методы имеют существенное значение во многих областях электротехники, в частности в области передачи сигналов, в области автоматического регулирования и т. д.