Теоретические основы электротехники-2

Добавил:

inmew Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сочинский Государственный Университет

Предмет:

Электрооборудование подстанций промышленных предприятий

Файл:

i dt uC (0) u(t).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.04.2018

Размер:

5.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 574 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 33

Максимальное значение напряжения uC в переходном процессе не превышает удвоенной амплитуды UCm Im /( C) напряжения на конденсаторе при установившемся режиме.

Применительно к данной задаче уравнение состояния должно быть составлено для единственной переменной состояния — напряжения конденсатора. Зна- чение тока в резисторе равно (u – uC )/r. Из первого закона Кирхгофа имеем

duC	1	u	1	U		sin( t .
dt	rC		rC
		C			m

Ïðè uC (+0) U0 общее решение этого уравнения будет иметь вид

U m

U 0

e rC

sin( t d U 0 e

) sin

rC sin

1 (r C)

)

(

9.7.Переходные процессы в цепи

ñпоследовательно соединенными участками r, L è Ñ

Рассмотрим переходные процессы в цепи, содержащей последовательно вклю- ченные участок с сопротивлением r, катушку с индуктивностью L и конденсатор с емкостью C (ðèñ. 9.14).

Ðèñ. 9.14

Уравнение этой цепи имеет вид

Дифференцируя обе части выражения (*), получим уравнение второго порядка для тока i â öåïè:

L	d 2 i	r	di	i	du	.
	dt2
			dt	C	dt

Соответствующее однородное уравнение, определяющее свободный ток i , после деления на L будет

34 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

d 2 i"	r di"	i"	0,

dt2	L dt	LC

или, обозначив r/L 2− è 1/(LC) 20 , получим

d 2 i"

2−

di"

2 i" 0.

dt2

Характеристическое уравнение

2 2−

имеет два корня:

− − / 2

;

− − / 2

èëè

r 2

4L2

Таким образом,

i A e 1t A

e 2t .

Для тока переходного процесса, следовательно, имеем

i i i i

A e 1t

e 2t .

(**)

Ток установившегося режима i можно найти, если известен вид функции è(t). Произвольные постоянные интегрирования A1 è A2 определяем из начальных физических условий неизменности тока в катушке и напряжения на зажимах конденсатора в момент коммутации: i(+0) i(–0), uC (+0) uC(–0). Для краткости в выражениях i (+0) è uC (+0) будем опускать знак «плюс», т. е. начальные значения переходных тока в цепи и напряжения на конденсаторе будем обозна-

÷àòü i(0) è uC (0).

Как было сказано в § 9.4, для определения постоянных A1 è A2 надо знать зна- чение тока и всех его производных до (ï – 1)-й включительно в начальный момент времени. Так как в данном случае имеем уравнение второго порядка (ï 2), то необходимо знать начальное значение тока и его первой производной. На- чальное значение тока в данном случае задано. Начальное значение первой производной тока находим из уравнения цепи, используя упомянутые выше физи- ческие начальные условия, а именно при t 0 из уравнения (*) имеем

	di
ri(0) L		uC (0) u(0),

dt t 0

ãäå è(0) — значение приложенного напряжения è(t) ïðè t 0. Отсюда

Из уравнения (**) для производной тока имеем

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 35

dtdi didt A1 1 e 1t A2 2 e 2t .

Подставляя в уравнение (**) для тока и в полученное выражение для его производной слева от знака равенства найденные начальные значения тока и его производной, а справа — t 0, получим

i(0) i' (0) A1 A2 ;

u(0) uC

(0) ri(0)

di'

(***)

A1 1

A2 2

t 0

di'

ãäå i (0) è

— значения тока установившегося режима и его производной

dt t 0

âначальный момент времени, известные из найденного ранее частного решения исходного дифференциального уравнения (*).

Из уравнений (***) определяем постоянные A1 è A2.

Уравнения состояния должны быть составлены относительно двух перемен-

ных состояния iL i è èC. В этой цепи ток и напряжение на резистивном элементе непосредственно определяются через одну из переменных состояния — ток в индуктивной катушке iL i. Имеем ir iL i è ur irr ri. В графе электрической схемы (см. рис. 9.14, à) каждый элемент представим в виде ветви. Отнесем ветвь с катушкой индуктивности к связям, а остальные ветви — к ветвям дерева (см. рис. 9.14, á). Из уравнений для сечения 2 и из единственного уравнения для контура, образованного связью 4, вытекает

duC	i	;	di	uC	ir	e	.
dt	C		dt	L	L
						L

Можно представить эти уравнения в матричной форме:


	uC	0		1		uC	0		0	0	0	e
												e
d												0
				C
			1	C			1		0	0	0		.
dt	i				r	i	1					0
dt	i				r	i		L				0
			L		L							0
			L		L							0

В соответствии с обозначениями, введенными в § 9.2, имеем

	uC		0		1			0	0	0	0		e
													e
													0
X		; A			C		; B					; V
X		; A		1	C		; B	1	0	0	0	; V		.
	i	1		1		r	1		0	0	0		0
								L
				L		L							0
				L		L							0

Заметим, что матрица B1 имеет столько столбцов, сколько ветвей имеется в графе схемы, и столько строк, сколько переменных состояния. Нумерация ветвей графа схемы подчинена такой последовательности. Сначала к ветвям дерева отнесена ветвь с ЭДС, затем ветвь, содержащая конденсатор, и дерево дополнено ветвью, содержащей резистор. Ветвь, содержащая индуктивную катушку, отнесена к связи графа схемы.

36 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Общее решение этой системы уравнений согласно формулам, приведенным в § 9.2, будет

		4				2					1						1				1										0
		4									1										1										0
		2																													2
		2									C														C						2
		2									C														C						2
		5					1			r									1				r								1
u		2					L			L			2						L				L				1				2	u	(0)
C		2													e 1t														e	2t	2	C
C																														2t		C
							1 2													2 1
i		6					1 2													2 1											3	i(0)
	4		2						1							1					1											0
	4								1												1											0
	2																															2
	2								C															C								2
	2								C															C								2
	5			1				r										1				r										1
	5			1				r										1				r										1
t	2										2			t												1				t		2	0
t	2			L				L			2			t				L				L				1				t		2	0
	2											e	1															e 2				2		e(	d .
													1

	6				1 2														2 1													3
0	6																																	L
0																																		L

Несмотря на громоздкость подынтегрального выражения, интегрировать сле-

дует функции вида e t e( d .

Åñëè å( ) 0, i(0) 0 è èC (0) U0, то имеем
								4			2						1													1									1									0
								4									1																						1									0
	uC				1			2																U 0																		U 0						2
	uC				1			2										C						U 0			e	1t										C				U 0				e	2t	2
								5																																								1
		i						5					r			r									0							1			r									0				1
				1			2	2													2																				1							2
				1			2	2					L								2												L	L							1							2
								6					L			L																	L	L														3
			1		4						U				t						U					0			U										e 1t						e 2t
					4						U										U					0													e 1t						e 2t
					2					2		0								1		0			t 2						0						2						1				.
					5			1						e 1						1			e 2			1					0			1						t		1			t
		1	2		5			1			U			e 1						1	U		e 2			1			1	2				1						t		1			t
					2							0										0				2													e		1				e	2
					2				L			0								L		0				2									L				e			L			e
					6				L											L						3									L							L
Здесь 1 è 2 — корни уравнения
																									1
																									1
																														r							1
																								C

						det(A1 1)											1																								0.
						det(A1 1)																								L						LC					0.
																							r							L						LC

																			L				L

9.8. Разряд конденсатора на цепь r, L

Рассмотрим важный случай разряда конденсатора с емкостью C на цепь, обладающую активным сопротивлением r и индуктивностью L. В данном случае при-

Ðèñ. 9.15

Ðèñ. 9.16

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 37

ложенное напряжение, а также ток установившегося режима равны нулю, т. е. è(t) = 0 è i (t) = 0.

Для определения произвольных постоянных в уравнениях (***) предыдуще-

го параграфа мы должны принять i (0) 0, i (0) 0, è(0)

di'

0. Обозна-

dt t 0

÷àÿ uC (0) U0, получим

0 A1 A2 ; U 0 L 1A1 2 A2 ,

откуда

A1 A2

U 0

L( 1

2 )

Окончательно для тока i имеем

U 0

(e 1t e 2t )

L( 1 2 )

и, соответственно, для напряжений на катушке и на конденсаторе

U 0

(

e 1t

e 2t );

t i dt U

U 0

(

e 1t

e 2t ).

При выводе последнего выражения для uC следует принять во внимание, что 1 2 20 1/(LC).

Характер процессов при разряде конденсатора оказывается существенно различным в зависимости от того, будут ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными, что определяется соотношениями между параметрами r, L è C.

Исследуем различные возможные случаи.

1. Пусть корни характеристического уравнения вещественны и отличны друг от друга. Этî èмеет место ïðè условии − > 0, ò. å. r/(2L) > 1/LC èëè r > 2 LC.

Òàê êàê 1 < 0 è 2 < 0 и, кроме того, 2 > 1 ,

то при изменении t от 0 до величины e 1t è e 2t убывают от 1 до 0 и притом разность e 1t e 2t всегда положительна (рис. 9.15). Следовательно, ток i не меняет своего направления, т. е. конденсатор все время разряжается; в частности, при uC(0) U0 > 0 ток все время отрицателен. Такой односторонний разряд конденсатора называют а п е р и о д и ч е с к и м р а з р я д о м.

На рис. 9.16 изображены зависимости i(t), ri(t), uC(t) è uL(t). В интервале времени 0 < t < tm ток по абсолютному значению возрастает и достигает максимума

38 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

			2
ïðè t tm			2	( 1 2 ). Значение tm находится из условия di/dt uL /L 0,
ïðè t tm	ln	1		( 1 2 ). Значение tm находится из условия di/dt uL /L 0,
		1

т. е. из условия 1e 1tm – 2e 2tm 0. В интервале времени tm < t < ток по абсолютному значению убывает, стремясь к нулю.

Напряжение на конденсаторе монотонно убывает, также стремясь к нулю. На рис. 9.14 показаны принятые ранее всюду, и в частности при составлении

уравнений в настоящем параграфе, взаимоотношения между условным положительным направлением тока и условными положительными напряжениями на конденсаторе, на катушке и участке с сопротивлением. При uC > 0 è iC > 0 конденсатор заряжается.

В рассматриваемом случае апериодического разряда мы получили, естественно, i < 0 ïðè uC > 0. Действительное направление тока при разряде конденсатора показано штриховой стрелкой на рис. 9.17. На этом же рисунке действительные направления напряжений показаны знаками «+» и «–». Из уравнения

		di
uC	L		ri
uC	L	dt	ri
		dt

следует, что напряжение на зажимах конденсатора в любой момент времени уравновешивается суммой напряжения на зажимах катушки самоиндукции и напряжения на участке с сопротивлением. В первый момент времени, когда ri 0, напряжение на зажимах конденсатора полностью уравновешивается напряжением на зажимах катушки. Ток начинает возрастать по абсолютному зна- чению именно с такой скоростью, чтобы наступило такое равновесие. В интервале времени 0 < t < tm (рис. 9.16) напряжение uC частично уравновешивается напряжением на катушке и частично напряжением на участке с сопротивлением. С возрастанием t на долю катушки приходится все меньшее напряжение и, соответственно, скорость нарастания тока уменьшается. В момент tm величи- ны uC è ri оказываются равными и противоположными по знаку (uC – ri), т. е. оставшееся к этому моменту времени напряжение на конденсаторе полностью уравновешивается напряжением на участке с сопротивлением. Поэтому ток дальше возрастать не может. В этот момент он достигает максимума, так как после этого момента он должен убывать вследствие того, что конденсатор продолжает разряжаться.

Ðèñ. 9.17

На рис. 9.17 показаны знаки напряжений на катушке и на участке с сопротивлением в интервале времени 0 < t < tm, а также стрелкой с хвостовым оперением показано действительное направление потока энергии в этот промежуток времени. Напряжение на конденсаторе и ток в нем разных знаков, и, следовательно,

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 39

мощность pC uCi отрицательна, т. е. энергия отдается конденсатором из его электрического поля. Напряжения на катушке и на участке с сопротивлением одного знака с током, и, следовательно, pL uLi > 0 è pr ri2 > 0, т. е. энергия поступает в катушку, запасаясь в ее магнитном поле, и выделяется в виде теплоты

âсопротивлении.

Âинтервале времени tm < t < напряжение на катушке, так же как и напряжение на конденсаторе, положительно — они совместно преодолевают сопротивление цепи, что легко видеть из рассмотрения знаков напряжений, показанных

на рис. 9.17. Теперь мощность pL uLi отрицательна, и катушка, так же как и конденсатор, отдает запасенную в ней энергию. Вся эта энергия превращается в теплоту, что показано стрелками с хвостовым оперением.

Представляет интерес сопоставить кривые на рис. 9.16 с кривыми на рис. 9.9, полученными при рассмотрении разряда конденсатора на сопротивление r в предположении, что L 0. При таком предположении в начальный момент ток скач- ком принимает значение, определяемое отношением начального значения напряжения на конденсаторе к сопротивлению. При L 0 (рис. 9.16) ток увеличи- вается постепенно от нулевого начального значения. Соответственно, скорость спадания напряжения на конденсаторе в начальный период разряда при L 0 получается меньше, чем при L 0.

2. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения вещесòâåííû и равны друг другу. Это имеет место при условии − 0, ò. å. ïðè r 2LC. Имеем 1 2 –−. При этом выражения для тока и напряжений ста-

новятся неопределенными из-за равенства нулю и числителя, и знаменателя. Раскроем эти неопределенности по правилу Лопиталя, считая, что 1 — переменная и стремится к 2 –−. Для тока получим

U 0

lim

e 1t

e 2t

U 0

te 2t

U 0

te−t .

1 2

Для напряжений соответственно

	u			L	di	U		(−t 1) e−t ;
	u		L	L		U	0	(−t 1) e−t ;
			L		dt		0
					dt
		1		t
uC		1		i dt U 0 U 0 (−t 1) e−t .
uC		C		i dt U 0 U 0 (−t 1) e−t .
		C		0
				0

Характер процессов в этом случае не отличается от рассмотренного выше, когда − > 0. Процесс также апериодический. Момент достижения током максимума абсолютного значения теперь равен tm 1/−. Данный случай при − 0 является предельным случаем апериîäè÷еского разряда, так как при дальнейшем уменьшении r ниже значения 2 LC разряд становится колебательным.

3. Пусть корни характеристического уравнения явлÿþòñÿ комплексными. Это имеет место при условии − < 0, ò. å. ïðè r < 2 LC. Введем обозначение

40 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

2 − 2 '. Корни характеристического уравнения при этом можем записать

â âèäå

ej7;

− − 2 2

− j ' =

e j7,

− − 2 2

− j ' =

ãäå 7 arctg ( / –−). Óãîë 7 лежит в пределах #/2 < 7 < #, òàê êàê

sin7 ' 0 8 0

cos7 − 0 9 0.

Для тока имеем выражение

U 0

(e 1t

e 2t )

U 0

(e −t ej ' t e−t e j ' t )

( 1 2 )L

2 j ' L

U 0

e −t

sin' t Ie−t

sin' t.

' L

Äëÿ èL è èC имеем

U 0

(

e 1t

e 2t )

U 0

(

ej7e−t ej ' t

e j7e−t

e j ' t )

( 1

2 )

2 j'

j ' t7

e−t

e−t sin( ' t 7;

2 j '

U 0

(

e 1t

e 2t )

U 0

(

e j7e−t ej ' t

ej7e−t

e j ' t )

( 1

2 j'

e−t

j ' t 7

e−t sin( ' t 7.

2 j '

На рис. 9.18 изображены в функции от t величины ri, èL è èC . Кривая тока i подобна кривой ri. Из полученных аналитических выражений, а также из рисун-

ка видно, что процесс в этом случае является

ê î ë å á à ò å ë ü í û ì. Òîê

и напряжения на

всех участках периодически меняют знак. Ам-

плитуда колебаний убывает по показательно-

му закону, следовательно, в цепи соверша-

þòñÿ ç à ò ó õ à þ ù è å

ê î ë å á à í è ÿ òîêà è

напряжений. Угловая частота затухающих ко-

лебаний

r 2

' = 2

− 2

4L2

Соответственно п е р и о д з а т у х а ю щ и х

к о л е б а н и й определяется из формулы

Ðèñ. 9.18

r 2

4L2

Ðèñ. 9.19

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 41

В предельном случае r 0 имеем − 0, 0, è Ò Ò0 2# LC В этом слу- чае колебания будут н е з а т у х а ю щ и м и, так как энергия полей не рассеива-

ется. Величину Ò0 называют п е р и о д о м н е з а т у х а ю щ и х к о л е б а н и й и выражающую его формулу

T0 2#LC

формулой Томсона. Угловая частота незатухающих колебаний 0 1LC , как видим, равна резонансной частоте контура. Принимая во внимание, что при − 0

имеем 7 #/2, в этом случае получаем i U 0 sin 0 t, uL –U0 sin ( 0t + #/2)

0 L

è uC –U0 sin ( 0t – #/2). Кривые i, uL è uC для этого предельного случая изображены на рис. 9.19. Они полностью

соответствуют характеру этих кривых при установившемся процессе в случае резонанса.

Ïðè r 0 èìååì < 0 è Ò > Ò0. В предельном случае, когда r 2LC, ò. å. − 0, получаем 0 и Ò . Ïðè

этом колебательный разряд переходит в апериодический. Этот предельный случай был рассмотрен ранее.

Быстроту затухания тока принято характеризовать так называемым д е к р е - м е н т о м к о л е б а н и й , равным отношению двух последующих амплитуд одного знака:

Ie−t :Ie − t T' e−T' ,

àтакже л о г а р и ф м и ч е с к и м д е к р е м е н т о м к о л е б а н и й, равным

: ln −T' .

При малом затухании Ò Ò0 è

: −T' −T		r	2#		#r	L	#d.
	0			LC
		2L				C

При рассмотрении явления резонанса величина d была названа затуханием контура, так как при малом затухании она пропорциональна логарифмическому декременту колебаний.

Остановимся несколько подробнее на процессах, происходящих при затухающем колебательном разряде конденсатора.

Ðèñ. 9.20

В интервале времени 0 < t < t1 (ðèñ. 9.20, à), пока ток нарастает от нуля до максимального абсолютного значения, характер процесса такой же, как и при

42 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

апериодическом разряде в интервале 0 < t < tm. Это видно из тождественности рисунков 9.17, à è 9.20, à. Точно так же характер процесса при колебательном разряде в интервале t1 < t < t2 (ðèñ. 9.20, á) аналогичен характеру процесса при апериодическом разряде в интервале tm < t < (ñì. ðèñ. 9.17, á). При апериодиче- ском разряде напряжение на конденсаторе и ток уменьшаются до нуля при t . Но при колебательном разряде к моменту t2, когда конденсатор полностью разрядится, ток в катушке сохраняет еще конечное значение, что является результатом сравнительно небольших потерь энергии в предыдущем интервале времени.

Сохранившаяся к моменту t2 энергия в магнитном поле катушки и является причиной того, что процесс продолжается в последующее время. В интервале времени t2 < t < t3, ãäå t3 Ò /2, ток, поддерживаемый ЭДС самоиндукции, продолжает протекать в том же направлении и заряжает конденсатор, причем напряжение на конденсаторе уже будет другого знака (èC < 0). В этом промежутке времени (рис. 9.20, â) энергия из магнитного поля катушки частично переходит в энергию электрического поля конденсатора и частично превращается в теплоту в сопротивлении r. К моменту T /2 конденсатор заряжается до максимального абсолютного значения своего напряжения. В этот момент i 0 è èL –èC . В следующую половину периода энергетический процесс в точности повторяется, но знаки напряжений и тока будут противоположными их знакам в рассмотренном интервале 0 < t < T /2. Напряжение на конденсаторе в момент t Ò будет в раз меньше начального напряжения U0. Кривые на рис. 9.18 построены при 4, чему соответствуют : ln 1,4 è 7 102°55 .

9.9. Включение цепи r, L, Ñ под постоянное напряжение

Исследуем переходные процессы в цепи (r, L, Ñ) при включении ее под постоянное напряжение U const при нулевых начальных условиях, т. е. при i (–0) 0 è uC (–0) 0.

Уравнение для данной цепи

	di		1	t
L		ri		i dt uC (0) u(t),
	dt		C
				0

как было показано в § 9.7, имеет решение

ii A1e 1t A2 e 2t .

Âданном случае ток установившегося режима будет равен нулю, т. е. i 0. Следовательно,

iA1e 1t A2 e 2t ;

uL L dtdi L(A1 1e 1t A2 2 e 2t ).

Используя начальные условия для тока, имеем i(0) 0 A1 + A2. Из уравнения цепи и из выражения для uL, учитывая, что uC(0) 0 è è(t) U const, находим при t 0

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 574 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Электрооборудование подстанций промышленных предприятий

#
06.03.201934.96 Кб31ИНСТРУКЦИЯ ПО ОХРАНЕ ТРУДА ПРИ РАБОТЕ С МЕГАОММЕТРОМ.docx
#
03.04.2017771.01 Кб157Переключения в эл.установках.pdf
#
03.04.20171.13 Mб611ПРАВИЛА охраны труда при эксплуатации эл.установок.pdf
#
03.04.20172.17 Mб21ПРАВИЛА устройства эл.установок.pdf
#
05.04.20184.76 Mб84Теоретические основы электротехники-1.pdf
#
05.04.20185.97 Mб93Теоретические основы электротехники-2.pdf
#
05.04.20183.9 Mб77Теоретические основы электротехники-3.pdf
#
19.02.20177.58 Mб11Электрические нагрузки пром предпиятий_1964.djvu