Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Теоретические основы электротехники-2

.pdf
Скачиваний:
93
Добавлен:
05.04.2018
Размер:
5.97 Mб
Скачать

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 83

òî

2k h

!k 1 AÔk 1 A exp(A )d .

0

Тогда Ôk+1 Ôk(2 1 + k).

При малых значениях Ah для достаточно точного представления !0 è Ô0 можно ограничиться малым числом членов в разложении

 

 

(Ah)

2

 

(Ah)

Α

 

 

 

 

Ah

 

(Ah)

Α 1

 

 

 

!0

1 Ah

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ô0 b,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

!

 

Α !

è

Ô0

h

1

2

Α !

 

; g

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приняв Α 1 ... 4.

Путем последовательного перемножения матриц !k è Ôk можно определить матрицы !N , ÔN è gN, соответствующие шагу интегрирования H 2Nh. Напри-

ìåð, ïðè N 10 H 210h 1024h.

Рассмотрим метод последовательного увеличения шагов для решения уравнения состояния линейных пассивных цепей при наличии в них источников постоянных токов и ЭДС. Уравнения таких цепей имеют вид

d

 

uC

A

uC

B

E

èëè

dx

Ax b,

x, b Β R

m

, x(0) x

 

.

dt

 

i L

i L

=

dt

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение этого уравнения, выраженное через свободные и принужденные составляющие, имеет вид

t

x(t) exp(At)õ 0 exp(A )d b.

0

Ранее отмечалось, что интегрирование и численное представление его результатов следует производить с укрупненными шагами H, определяющими наблюдаемые, выводимые на печать или изображаемые графически величины. Пусть tn nH. Считая значение xn в момент времени tn начальным для следующего интервала H, запишем разностное уравнение в виде

 

H

õ(tn H) õ n 1 exp(AH)õ n exp(A )d b.

 

0

Учитывая, что exp (AH) = !N , !N

1 + N , а интеграл равен gN ÔN b,

можно записать

 

x n 1 !N x n ÔN b, x n 1 (1 ÀÔN )x n ÔN b x n ÔN (Àx n b);

x n 1 x n ÔN x n ;

x n 1 !N x n g N .

Эффективность использования компьютера наибольшая в случае применения последнего уравнения. Следует заметить, что при системном методе решения уравнений состояния матричное разностное уравнение xn+1 xn + ÔN x n ÿâ-

ляется аналогом разностного уравнения метода Эйлера, где вместо шага h

84 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

используется матрица ÔN. Уравнения xn+1 xn + ÔN x n , xn+1 ! xn + gN описывают системные методы первой степени. По аналогии с традиционными разностными методами можно построить системные методы более высоких степеней.

Ценность системных методов в том, что подбором N можно достичь заданную

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

m

 

0,5

точность интегрирования. Так как норма матрицы

À

 

 

 

 

 

(a )2

 

îïðå-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

деляет

 

, а при малых (порядка 10–1) значениях ñ

 

 

 

 

 

 

 

h сходимость экспонен-

max

 

 

À

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

òû ec обеспечивается с высокой степенью точности относительно небольшим

 

 

 

 

 

 

 

 

L

Α

(2 ... 5) числом членов ряда ec

c

 

, то для практических задач достаточно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Α 0 Α !

чтобы h c

 

 

 

A

 

 

 

(c 0,1). Подбором N можно достичь желаемой степени укрупне-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния первоначального шага интегрирования в 2N раз. Дальнейший расчет производится с шагом H 2Nh, а при необходимости в любой момент можно произвести увеличение и этого шага.

Для такого укрупнения шага интегрирования может быть использована фор-

ìóëà !

k 1

!2

, Ô

k 1

Ô

k

(1

!

k

), g

k 1

Ô

k 1

b, но уже относительно !

N

è g

 

,

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

рассматриваемых в качеств аналогов !0

è g0. Пусть, начиная с некоторого числа

шагов k, следует еще более укрупнить шаг H, теперь уже в 2M раз, тогда !

M

è g

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

должны быть определены из соотношений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

0

!

N

, !

1

 

!2 ϑ ϑ

!

M

!2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

M 1

 

 

 

 

 

 

g 0 g N , g N 1 (1 !i )g i , Ôi 1 Ôi (2 1 ÀÔi ) Ôi 1(1 !i ).

 

 

 

 

 

Дальнейшее

применение

 

рекуррентных

формул

позволяет произвести

2N + M-кратное укрупнение первоначального шага h. Åñëè N 10, M 5, то новый шаг будет в 215 32 768 раз больше предыдущего.

Изложенным методом целесообразно производить укрупнение шага интегрирования жестких систем. Например, если имеются три группы сильно разли- чающихся между собой собственных чисел, то после прохождения первого пограничного слоя ïñ1 можно произвести N-кратное, а после прохождения второго пограничного слоя 2N2M-кратное увеличение шага.

В рассмотренном в § 9.16 уравнении второго порядка, где –2 1010, –10,

1

1

интервал наблюдения принят T 5 2 5 0,1 0,5 с. При числе наблюдаемых зна-

чений, равном 100, первоначальный шаг h 1 должен быть увеличен в H/h

5 10–3/5 10–12 109 раз. Для этого необходимо по формуле !k 1

!k2 произве-

сти 30-кратное последовательное удвоение первоначального шага h.

Заметим, что для увеличения шага интегрирования можно применять и неявные методы. Однако при этом шаг не может быть больше значений, ограниченных допустимой погрешностью. Например, при неявном методе Эйлера приемлем, с точки зрения обеспечения численной устойчивости, практически любой шаг. Однако сделать шаг h больше значения, определенного погрешностью и нормой матрицы A, нельзя.

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 85

Примерный алгоритм решения линейных с постоянной функцией воздействия уравнений состояния x Ax + b, x(0) x0, согласно Ю. В. Ракитскому, выглядит следующим образом.

1.Вводят матрицу A, начальные значения переменных состояния (вектор x0, вектор b), желаемый интервал интегрирования T, константу c (c 0,1), шаг наблюдения H.

2.Вычисляют норму матрицы A.

3.

Находят h è H из выражений N (ln H

 

 

 

A

 

 

 

c) ln2, h c

 

 

 

A

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Определяют

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

1 + Ah + … +(Ah)Α/Α! è g

0

Ô

b h>1 + Ah/2 + … +(Ah )Α-1/Α! b.

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Рассчитывают !

k 1

 

!2

è g

i+1

(1 !

)g

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Считают i i + 1; åñëè i < N, переходят к п. 5.

7.

Вычисляют xñâ n+1 !N xn

è xn+1 xñâ n+1 + gN .

8.Åñëè (n + 1)H < T, переходят к п. 5 и печатают результат. Если (n + 1)H > T, то вычисление заканчивают.

Рассмотренный алгоритм можно использовать и при решении линейных уравнений состояния более общего вида: x Ax f, x x(t) Β Rm, f f(t) Β Rm, x(0) x0, а также нелинейных уравнений состояния x f(t, x), x, f Β Rm, x(0) x0, если применяется последовательная подынтегральная аппроксимация этих уравнений линейными уравнениями вида x n Anxn + bn, xn(tn) x0n, t Β [tn , tn+1]

Заметим, такие методы интегрирования по сути являются численно-анали- тическими методами решения уравнений состояния. Разностное уравнение системного метода xn+1 xn + ÔN f(tn, xn) обладает формальным сходством с разностным уравнением явного метода Эйлера xn+1 xn + hf(tn, xn). Ïðè ýòîì ðîëü øàãà h играет матрица ÔN . Используя другие методы аппроксимации функции f(t, x), можно получить аналоги и других классических методов интегрирования, например неявный системный метод (xn+1 xn + ÔN f(tn+1, xn+1)), соответствую-

щий неявному методу Эйлера (xn+1 xn + hf(tn+1, xn+1)).

Основным достоинством системных методов является их универсальность, так как они позволяют решать системы дифференциальных уравнений произвольной жесткости. Особенно эффективны эти методы при решении достаточно жестких систем уравнений. При решении же нежестких систем уравнений применение системных методов не дает каких-либо существенных преимуществ по сравнению с использованием классических методов интегрирования. Это происходит потому, что решение уравнений последнего типа не налагает больших ограничений на шаг интегрирования по условиям устойчивости метода. Шаг интегрирования нежестких систем выбирают в основном с учетом обеспечения заданной точности и часто принимают равным шагу интерполяции. Поэтому при решении заведомо нежестких систем уравнений предпочтительней использовать такие методы интегрирования, вычислительные процедуры которых наиболее просты, например явный метод Эйлера. Кроме того, представляет интерес такой подход к численному решению уравнений состояния произвольной жесткости, в основу которого положены методы преобразования исходных систем

86 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

уравнений, обеспечивающие возможность интегрирования систем явным методом Эйлера с шагом дискретизации, близким к шагу интерполяции решения.

9.18. Расчет переходных процессов в электрических цепях методом синтетических схем

В § 9.13 был рассмотрен один из общих методов расчета переходных процессов в электрических цепях, ориентированный на использование компьютеров, — метод переменных состояния. В этом параграфе рассматривается более современный подход к компьютерному анализу электрических схем — метод синтетиче- ских схем.

Расчет переходных процессов в электрических цепях методом переменных состояния предполагает формирование системы уравнений состояния, аппроксимацию уравнений состояния разностными уравнениями, численное решение полученной системы разностных уравнений на каждом шаге расчета по времени.

Такая последовательность расчета эффективна для цепей с небольшим числом реактивных и нелинейных элементов. Уравнения состояния таких цепей могут быть сформированы вручную или с помощью компьютера по сравнительно простым алгоритмам, рассмотренным в § 9.13. При этом на точность получаемого решения будет влиять только выбор метода численного интегрирования. С ростом сложности цепей получение уравнений состояния вручную становится практически невозможным, и вопросы эффективности автоматического формирования уравнений начинают играть не меньшую роль, чем вопросы последующего их решения. Это происходит потому, что для цепей с большим числом реактивных элементов и с многополюсными нелинейными элементами отсутствуют универсальные алгоритмы формирования уравнений состояния. Разработка же для каждой новой цепи специального алгоритма представляет собой довольно сложную задачу. К тому же реализация подобных алгоритмов требует существенных вычислительных затрат. Поэтому при компьютерном расчете сложных электрических цепей предпочтение отдается такому пути, в котором процедура формирования уравнений наиболее проста, универсальна и согласована с последующим численным решением. Такой путь предполагает иную последовательность этапов расчета.

Сначала выполняется аппроксимация дифференциальных уравнений отдельных элементов цепей разностными уравнениями. Полученным разностным уравнениям ставятся в соответствие активные резистивные схемы замещения. В результате строится схема замещения всей цепи, содержащая только источники тока или напряжения и резистивные элементы. Затем для фиксированного момента времени формируется система алгебраических уравнений, описывающая процесс в активной резистивной схеме замещения цепи. После этого решается полученная система алгебраических уравнений. Для определения значений переменных в последующие моменты времени следует заново рассчитать параметры системы алгебраических уравнений и решить ее.

Подобный путь можно интерпретировать как преобразование задачи расчета переходных процессов в электрических цепях к последовательности задач рас- чета по постоянному току резистивных цепей той же топологической структуры.

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 87

При таком подходе для расчета переходных процессов могут быть использованы методы анализа чисто резистивных цепей, отличающиеся простотой алгоритмов формирования системы уравнений.

Замена элементов исходной цепи активными резистивными двухполюсниками позволяет сохранить топологию цепи и применить все известные методы расчета сложных электрических цепей постоянного тока. Поэтому метод, объединяющий методы численного решения дифференциального уравнения цепи с методами расчета резистивных цепей, далее будем называть методом синтетических схем, а активную резистивную модель элемента — его синтетической схемой. Наряду с этими в литературе используют также названия «метод дискретных схем» и «дискретная схема».

Определим параметры двухполюсной синтетической схемы (рис. 9.41, â) катушки и конденсатора (рис. 9.41, à è á).

Ðèñ. 9.41

Выполним разностную аппроксимацию дифференциальных уравнений катушки индуктивности и конденсатора на основе неявного метода Эйлера. Для этого применим разностное уравнение неявного метода Эйлера xn+1 xn + hfn+1, fn+1 f(tn+1, xn+1) (подробнее см. § 9.14) к уравнениям, связывающим ток и напряжение на катушке индуктивности и конденсаторе:

diL

 

uL (t)

;

duC

 

iC (t)

.

dt

L

dt

 

 

 

 

C

В результате получим рекуррентные соотношения, связывающие токи и напряжения в этих элементах в дискретные моменты времени t nh, n 0, 1, 2, …:

для катушки

 

i

 

 

 

h

u

 

i

 

; для конденсатора

u

u

 

h

i

è

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

C

L,n 1

 

L

L,n 1

 

L,n

 

C ,n 1

C ,n

 

C C ,n 1

 

i

 

u

 

 

u

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C ,n 1

 

h

C ,n 1

 

h

 

C ,n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рекуррентные соотношения и для катушки индуктивности и для конденсато-

ра можно записать в общей для обоих элементов форме

 

in 1 gun 1 = n ,

(*)

ãäå g h/L è =n iL,n для катушки индуктивности, g C/h è n (–C/h)uC,n для конденсатора.

Уравнение (*) может быть интерпретировано как уравнение первого закона Кирхгофа для узла k цепи, изображенной на рис. 9.41, â, а величины g è =n имеют размерности, соответственно, в сименсах и амперах. Таким образом, реактивный элемент заменяется двухполюсником, состоящим из параллельно соединенных проводимости g и источника тока =n с соответствующими значениями парамет-

88 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

ров. Схема, изображенная на рис. 9.41, â, представляет собой синтетическую, или дискретную, схему реактивного элемента.

При использовании метода трапеций для разностной аппроксимации компонентных дифференциальных уравнений катушки индуктивности и конденсатора получим для катушки индуктивности:

 

 

h

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

in 1

 

 

un 1

in

 

 

un , тогда g

 

 

 

, = n

in

 

 

 

un

,

 

 

 

 

 

2L

2L

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2C

 

 

 

 

2C

 

 

 

 

 

 

 

 

2C

 

 

2C

 

и для конденсатора: in 1

 

 

un 1

in

 

 

 

un

,

тогда

g

 

 

,

= n in

 

un .

h

 

h

 

h

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, вид синтетической схемы реактивного элемента не изменился при использовании иного метода численного интегрирования. Изменились лишь параметры синтетической схемы. Отметим, что параметр g дискретной модели при использовании любого неявного метода численного интегрирования определяется только параметрами элемента и величиной шага интегрирования h. Параметр n зависит также от значений тока или (и) напряжения, полученных на n-м шаге интегрирования для методов Эйлера и трапеций, и также от значе- ний переменных в более ранние моменты времени при использовании методов численного интегрирования более высокого порядка.

Ðèñ. 9.42

Ðèñ. 9.43

Применим метод синтетических схем для расчета переходного процесса в электрической цепи, показанной на рис. 9.42. Заменим входящие в цепь реактивные двухполюсники их синтетическими схемами и изобразим ее в представленном на рис. 9.43 виде. Параметры синтетических схем при использовании неявного метода Эйлера имеют вид:

g

 

 

h

; g

 

 

 

h

; g

C

2

;

=

 

 

i

; =

 

 

i

 

; =

 

 

 

C2uC

,n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

L

 

L

 

 

 

 

L

,n

L

,n

3,n

C

,n

 

 

 

 

 

 

3

 

 

C

2

 

 

 

 

1,n

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

L1

 

 

 

L3

 

h

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построенная таким образом синтетическая схема представляет собой схему постоянного тока и может быть рассчитана любым из известных методов расче- та электрических цепей (методом контурных токов, узловых напряжений и другими). В современных программах, основанных на методе синтетических схем, чаще используется метод узловых напряжений, поскольку именно в рамках этого метода созданы весьма эффективные алгоритмы формирования уравнений цепи.

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 89

Система уравнений для определения узловых напряжений

U0, n+1 (u10, n+1; u20, n+1; u30, n+1; u40, n+1)t

âпроизвольный момент времени t (n + 1)h, n 0, 1, 2, …) в синтетической схеме, изображенной на рис. 9.43, по значениям источников тока, рассчитанным

âмомент времени t nh, имеет вид

g

1

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

u10

, n 1

 

= L

 

 

e

(nh)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L1

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

r1

0

 

g

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

L3

,n

 

 

 

 

 

 

 

 

r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r3

 

 

 

 

 

, n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=C2 ,n

 

 

e2 (nh)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

gC

2

 

 

 

 

 

 

 

u

30

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

, n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1(nh)

 

e2 (nh)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

r2

r1

 

 

r3

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1 r2

 

r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

, n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или в матричной форме:

GU0,n 1 = n .

Рассмотрим далее алгоритм расчета переходного процесса в цепи, основанный на последовательном решении этой системы уравнений для дискретных моментов времени t nh, n 0, 1, 2, ….

В начальный момент времени (n 0, t 0) токи катушек и напряжение на кон-

денсаторе известны: i1,0 i3,0

 

e1(0)

, uC2 ,0 e2 (0). Следовательно, могут быть вы-

r1 r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числены значения = L ,0 i1,0

, = L

,0

i3,0 , =C

,0 C2uC

,0 h

всех источников тока

 

 

 

 

1

 

3

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

синтетической схемы в момент времени t 0. После решения системы уравнений

GU

0,1

=

0

и определения узловых напряжений U

0,1

(u

10, 1

; u

20, 1

; u

30, 1

; u

40, 1

)t ìî-

жем рассчитать токи и напряжения всех ветвей анализируемой цепи в момент времени t h. В частности, для токов катушек индуктивности и напряжения на конденсаторе имеем:

i11,

gL u10,1

= L ,0 ,

i3,1

gL ( u

30,1)

= L ,0

,uC

,1 u30,1,

 

1

1

 

3

 

3

2

 

следовательно, для t h могут быть рассчитаны значения источников тока синтетических схем реактивных элементов:

= L ,1 i11,,

= L ,1 i3,1,

=C

,1

C2uC

,1 h,

1

3

2

 

2

 

которые используются для определения вектора источников тока !1:

 

 

 

 

e1

(h)

 

 

e2

(h)

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

= L1,1

 

 

 

; = L3,1; =C2 ,1

 

 

 

;

 

r1

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

(h)

 

e2

 

t

 

 

(h)

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

r1

 

r2

После решаем уравнение GU0,2 =1, определяем узловые напряжения

U0,2 (u10,2; u20,2; u30,2; u40,2)t для момента времени t 2h, затем рассчитываем токи и напряжения всех ветвей цепи для этого момента времени и т. д. Действуя

90 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

таким образом, мы получим численное решение задачи, то есть напряжения и токи всех ветвей схемы в дискретные моменты времени t nh, n 0, 1, 2, ….

Отметим, что при выполнении расчета можно вычислять по узловым напряжениям не все переменные, а только те, которые определяют значения элементов вектора источников тока !1 . Расчет остальных токов и напряжений не является обязательным. В рассмотренном примере на каждом шаге расчета вы- числялись токи катушек индуктивности и напряжения на конденсаторе, то есть переменные состояния цепи. Однако в общем случае в качестве переменных, расчет которых обязателен на каждом шаге, могут выступать и иные токи или напряжения, взаимно-однозначно связанные с переменными состояния. Использование этой особенности метода синтетических схем позволяет за счет некоторой свободы в выборе переменных повышать эффективность анализа процессов в электрических цепях.

Важной особенностью метода синтетических схем является неизменность в ходе расчета матрицы G системы уравнений GU0,n 1 = n при постоянном шаге

интегрирования h. Это обстоятельство позволяет значительно ускорить процесс расчета. Если предварительно выполнить обращение (или триангуляцию) матрицы G, то затем для получения решения достаточно на каждом шаге умножать обратную матрицу на вектор-столбец источников тока = n .

Эффективность расчета переходных процессов изложенным методом можно повысить за счет уменьшения порядка системы уравнений, составленной по методу узловых напряжений для синтетической схемы всей цепи. Этого можно достичь построением синтетической схемы участка цепи, содержащего несколько элементов. Алгоритмы определения параметров такой синтетической схемы называют макромоделями.

В рамках макромодели участка цепи, содержащего несколько элементов, можно выделить макромодели высшего и низшего уровней. Макромодель высшего уровня представляет собой алгоритм определения величины проводимости g и источника тока =n синтетической схемы участка цепи. Макромодель низшего уровня реализует процедуру определения токов и напряжений на каждом из элементов участка цепи, для которого строится макромодель.

Применим макромоделирование для расчета переходного процесса в изображенной на рис. 9.42 цепи, используя неявный метод Эйлера. Построим макромо-

дель ветви, содержащей резистор r3 и катушку индуктивности L3.

 

 

 

Выражая из уравнения u

 

L

 

 

di3

i

r

величину

di3

 

u3

i3 r3

и составляя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3 dt

 

 

3 3

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

L3

 

 

 

разностное уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

 

 

 

 

h

 

u

 

 

i

 

r ,

 

 

 

 

 

 

 

 

3,n 1

 

3,n

 

 

L3

 

3,n 1

 

 

3,n 1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перепишем его в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i3,n 1 g3u3,n 1 =

3,n ,

 

 

ãäå

 

g3

 

 

h

 

, = 3,n

 

 

L3

i3,n

.

 

 

 

hr3

L3

hr3

L

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 91

Соотношения для g3 è = 3,n представляют собой макромодель высшего уровня rL-ветви.

В макромодели низшего уровня определяются значения токов и напряжений на элементах участка цепи, для которого строится макромодель, необходимых для вычисления источника тока в синтетической схеме. Для rL-двухполюсника этой переменной является ток катушки индуктивности (переменная состояния),

èон может быть определен из соотношения i3, n+1 g3(–u20, n+1) + =3,n, которое

èпредставляет собой макромодель низшего уровня. Отметим, что в даном слу-

чае в макромодели низшего уровня возможно использование и другой переменной, однозначно связанной с переменной состояния, например напряжения на резисторе.

Построим макромодель участка цепи, состоящего из последовательно соединенных r2, C2 и источника ЭДС e2(t) (рис. 9.42). Алгебраизуя с помощью разностного уравнения неявного метода Эйлера компонентное уравнение конденсатора

C2, можем записать: uC2 ,n 1 uC2 ,n (hC2 ) i2,n 1. Уравнение второго закона Кирхгофа uC2 u2 i2 r2 e2 для контура «узел 0, C2, r2, óçåë 4, óçåë , запишем для

дискретных значений соответствующих величин на момент времени tn+1 (n+1)h, и в результате после простых преобразований получим макромодель высшего уровня:

g2

C2

,

= 2,n g2 (e2,n 1 e2,n u2,n r2 i2,n ).

h C2 r2

 

 

 

В макромодели низшего уровня определяются переменные, необходимые для вычисления источника тока =2,n на каждом шаге расчета. В данном случае это ток i2,n и напряжение u2,n участка цепи, для которого строится макромодель

u2,n+1 – u20,n+1, i2,n 1 g2u2,n 1 = 2,n .

Вместо тока i2,n+1 и напряжения u2,n+1 может использоваться и переменная состояния uC2 ,n 1 u2,n 1 r2 i2,n 1. В этом случае выражение для источника тока 2n

примет вид

= 2,n g2 (e2,n 1 e2,n uC2 ,n ).

В данном случае, использование вместо переменной состояния тока и напряжения rCe-ветви может быть оправдано тем, что эти величины так или иначе присутствуют в расчете и напряжение на конденсаторе может не определяться дополнительно. С другой стороны, использование переменной состояния позволяет упростить выражение для 2n, исключив операцию вычитания, что при определенных сочетаниях параметров rCe-ветви может повысить точность вы- числений. При построении макромоделей сложных многополюсных цепей отме- ченная свобода в выборе переменных может оказать решающее влияние на эффективность и точность модели.

Макромоделирование позволяет значительно упростить синтетическую схему анализируемой цепи. Так, в рассматриваемом примере при использовании полученных выше макромоделей синтетическая схема цепи принимает вид, по-

92 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

казанный на рис. 9.44. В результате число узлов сократилось, и порядок системы уравнений метода узловых напряжений стал равен двум. Нетрудно заметить, что узел 1 также можно исключить, если построить макромодель участка цепи с элементами e1, r1, L1 (ñì. ðèñ. 9.42).

Ðèñ. 9.44

Современные программы анализа переходных процессов в электрических цепях, использующие метод синтетических схем, имеют обширные библиотеки макромоделей различных характерных групп элементов электрических цепей. Входящие в библиотеки макромодели охватывают не только двухполюсные, но и многополюсные элементы.