Теоретические основы электротехники-2

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 25

Из полученного решения вытекает, что ток станет равным нулю теоретически через бесконечный промежуток времени. Практически ток становится весьма малым по сравнению с начальным током обычно спустя малый промежуток времени, равный нескольким значениям . Кроме того, следует заметить, что данное решение описывает ток в цепи только до тех пор, пока определяемое из него зна- чение тока не становится сравнимым с весьма малыми флюктуационными токами, определяемыми тепловыми процессами и носящими случайный характер (см. § 12.4). Это замечание относится и ко всем последующим случаям.

Постоянная времени равна длине подкасательной в любой точке кривой i(t) (ðèñ. 9.3), òàê êàê di/dt –i/ .

Энергия, выделяемая в виде теплоты в сопротивлении цепи, равна энергии, запасенной в магнитном поле цепи в начальный момент времени. Действительно,

Постоянная времени индуктивных катушек зависит от их размеров. Для геометрически подобных катушек она изменяется пропорционально квадрату их линейных размеров l. Действительно, индуктивность L геометрически подобных катушек увеличивается пропорционально квадрату чисел их витков w и их линейным размерам l, ò. å. L k1w2l. Последнее вытекает из размерности индуктивности: [L] [ [l]. Так как в настоящей главе рассматриваем только цепи с постоянными параметрами, то сердечник должен быть из неферромагнитного материала, т. е. должно быть 0.

Сопротивление r геометрически подобных катушек увеличивается пропорционально квадрату чисел их витков и уменьшается обратно пропорционально линейным размерам l катушек. Действительно, длина проволоки таких катушек увеличивается пропорционально их числам витков w и линейным размерам l, се- чение же проволоки убывает обратно пропорционально w и возрастает пропорционально l 2. Поэтому

Таким образом, для постоянной времени получаем

Интересно отметить, что величина для геометрически подобных катушек не зависит от числа витков w, если при изменении w коэффициент заполнения сечения обмотки медью не изменяется, т. е. не изменяется соотношение частей сечения обмотки, занятых медью проволоки и изоляцией.

Для оценки порядка величины укажем, что круглая катушка из медной проволоки без сердечника с размерами, указанными на рис. 9.4, и массой 17 кг имеет

26 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

L 0,218 Ãí, r 4, 4 Ом и 0,0495 с. Подобные ей катушки меньших размеров будут иметь меньшее значение , катушки же бóльших размеров — большее зна- чение , причем будет изменяться пропорционально квадрату линейных размеров, например квадрату диаметра D катушки.

Внесение сердечника из ферромагнитного материала значительно увеличивает постоянную времени катушки, так как увеличивается L вследствие увеличе- ния . Однако при этом цепь становится нелинейной и зависимость тока от времени, строго говоря, будет отличаться от только что полученной, так что понятие о постоянной времени становится условным. Если в магнитной цепи сердечника из ферромагнитного материала имеется достаточный воздушный зазор, то практически L мало зависит от тока i и полученные в настоящем параграфе соотношения остаются справедливыми с большой точностью для таких катушек. При этом постоянная времени при той же затрате меди, как, например, в приведенном конкретном случае, может быть увеличена по сравнению со зна- чением катушки без сердечника в несколько десятков раз.

Из сказанного видно, что постоянные времени больших катушек, магнитные цепи которых содержат участки из ферромагнитных материалов, могут быть весьма значительны. Например, постоянная времени обмотки возбуждения крупных гидрогенераторов может иметь значение 5 с.

Полученная выше зависимость постоянной времени от линейных размеров l геометрически подобных катушек значительно затрудняет моделирование переходных процессов, происходящих в мощных больших устройствах, с помощью малых лабораторных моделей, если при этом не изменять масштаб времени.

2. В качестве другого примера рассмотрим процесс отключения от источника постоянного напряжения цепи, состоящей из индуктивной катушки с индуктивностью L и сопротивлением r и параллельно с ней соединенной ветви с сопротивлением r0 (рис. 9.5). Переходный процесс

при этом описывается уравнением

До размыкания рубильника в катушке протекает ток iL(–0) U/r. Следовательно,

A iL ( 0) iL ( 0) Ur .

Таким образом,

i Ur e t .

Напряжение на участке с сопротивлением r0 до размыкания было равно U, а в первый момент после размыкания оно

Ðèñ. 9.6 окажется равным

r0 i( 0) U rr0 .

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 27

Åñëè r0 >> r, например, на зажимах катушки с малым сопротивлением r вклю- чен вольтметр с большим сопротивлением r0 (рис. 9.6), то при отключении цепи напряжение на вольтметре в первый момент повысится в r0/r ðàç.

Если энергия магнитного поля, запасенная в катушке, достаточно велика, то вольтметр может быть сожжен. Во избежание возникновения больших перенапряжений при отключении цепей постоянного тока, обладающих большой индуктивностью, например, обмоток возбуждения генераторов постоянного тока, эти цепи предварительно замыкают на малое сопротивление.

3. В качестве еще одного примера определим процесс при включении рассматриваемой цепи под постоянное напряжение u U const (рис. 9.7). Ток установившегося режима в данном случае равен i U/r. Следовательно,

Зависимости i(t) è uL (t) изображены на рис. 9.7.

4. Наконец, рассмотрим процесс при включении цепи под синусоидальное напряжение è Um sin ( t + ). Ток установившегося режима при этом будет равен (см. § 4.4)

28 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

На рис. 9.8 приведены кривые u (t), i t), i t), è i(t). Ïðè t 0 начальное значе- ние свободного тока i равно и противоположно току i è i 0. Начальное значе- ние свободного тока зависит от начальной фазы напряжения. Наибольшее на- чальное значение свободного тока, равное амплитуде Im установившегося тока, имеет место, если – ! #/2. Наибольшее значение результирующего тока, как видно из рис. 9.8, не превышает двойной амплитуды установившегося тока. Свободный ток вообще не возникает, и сразу наступает установившийся режим при условии !.

Произведя довольно простые, но многочисленные операции по интегрированию, подстановке пределов и ряд преобразований, получим

Это выражение при I 0 совпадает с полученным ранее классическим методом уравнением для тока i. Приведенный пример использования общего решения для метода уравнений состояния показывает, что непосредственное применение его сопряжено с выполнением большого числа аналитических операций по вычислению интеграла. В этом отношении классический метод, во всяком случае для таких простых случаев, более продуктивен.

9.6. Переходные процессы в цепи

с последовательно соединенными участками r è C

Рассмотрим переходные процессы в цепи, состоящей из последовательно вклю- ченных участка с сопротивлением r и конденсатора емкостью C. Обозначив напряжение на зажимах цепи через u, а напряжение на обкладках конденсатора и значение его заряда соответственно через uC è q, имеем

30 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Энергия, выделяемая в виде теплоты в сопротивлении цепи, равна энергии, запасенной в электрическом поле конденсатора в начальный момент времени. Действительно,

Постоянная времени rC в реальных устройствах может иметь самые различ- ные значения. Например, если конденсатор с емкостью C 100 мкФ разряжается через сопротивление r 100 Ом, то постоянная времени 100 10–6 100 0,01 с. Если тот же конденсатор оставить заряженным и отключенным от остальной цепи, то он будет медленно разряжаться через свое сопротивление утечки. Пусть это сопротивление r 109 Îì. Тогда 100 10–6 109 105 с 27,8 ч, т. е. конденсатор с такой хорошей изоляцией сохранит через сутки примерно одну треть своего начального заряда.

2. В качестве другого примера исследуем процесс при включении рассматриваемой цепи под постоянное напряжение è U const (рис. 9.10). Пусть конденсатор до включения не был заряжен, т. е. uC (–0) 0.

Установившееся напряжение на зажимах конденсатора после завершения переходного процесса

будет u U. Таким образом,

C

Постоянную интегрирования A определим из условия uC(+0) uC(–0) 0 и, полагая в последнем уравнении t 0, получим

Из выражения для èC видно, что напряжение на зажимах конденсатора и заряд его нарастают по тому же закону, что и ток в цепи (r, L) при включении ее под постоянное напряжение. Что же касается тока i (рис. 9.10), то при включе- нии цепи он сразу получает значение U/r, так как в момент t 0 напряжение на зажимах конденсатора равно нулю и ток в цепи определяется лишь напряжением U и сопротивлением r цепи. В дальнейшем напряжение на зажимах конденсатора постепенно возрастает и ток в цепи убывает по тому же показательному закону, что и при разряде конденсатора.

Определяя количество теплоты, выделившейся в цепи во время заряда конденсатора, получим то же значение 12 CU 2, что и при разряде конденсатора, и мо-