Теоретические основы электротехники-2

114 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

видим, что первое есть частный случай второго при ð j . Иными словами, одностороннее преобразование Фурье получается из преобразования по Лапласу предельным переходом, когда в последнем вещественная часть комплексной переменной p стремится к нулю.

Благодаря этому можно не производить интегрирования для вычисления F(j ), а, воспользовавшись готовыми таблицами для F(ð) [èëè äëÿ Ô(p) pF(ð)], имеющимися в справочниках, заменить в выражениях F(ð) величину ð íà j .

Рассмотрим сначала примеры для функций f(t), для которых возможно прямое преобразование Фурье.

Пусть напряжение изменяется во времени по закону u(t) U0e–−t. Согласно таблице из § 10.2,

и, следовательно, частотная характеристика функции U0e–−t имеет вид

Обозначение U( ) и индекс u у означают, что эти величины относятся к напряжению. Величины, относящиеся к току, будем обозначать, соответственно, I( ) è i( ).

Ðèñ. 11.1

Íà ðèñ. 11.1, à è á соответственно, показаны амплитудно-частотная и фазоча- стотная характеристики функции u(t) U0e–−t, на рис. 11.2 — соответственно, вещественная частотная и мнимая частотная характеристики, которые определяются формулами

В качестве другого примера возьмем функцию

Íà ðèñ. 11.3, à, á показаны частотные характеристики этой функции при − 0,5 0.

Ðèñ. 11.3

На рис. 11.5 приведена амплитудно-частотная характеристика этой функции. Величина u( ) изменяется скачком на # при каждом изменении знака величи- ны (sin a )/ .

Глава 11. Спектральное представление непериодических функций 117

I( j ) U( j ) I( )ej i ( ,

Z( j )

причем

Z( j ) z( )ej!( r( ) jx( ).

Искомый переходный ток находится с помощью обратного преобразования Фурье:

i(t) 1 I( j ) ej t d

2#

или с помощью того же преобразования в тригонометрической форме:

i(t) 1# 0 I( )cos[ t i ( ]d .

Сам по себе этот путь расчета не дает каких-либо существенных преимуществ по сравнению с изложенным в предыдущих параграфах операторным методом. Существенное преимущество метода интеграла Фурье обнаруживается при нахождении тока i(t) по заданному напряжению è(t), когда имеем практически осуществленную сложную линейную электрическую цепь или вообще какое-ли- бо сложное устройство с линейными электрическими элементами и располагаем возможностью снять экспериментально зависимость входного комплексного сопротивления цепи от частоты, т. е. получить экспериментально зависимости z( ) è !( ) или, соответственно, r( ) è õ( ).

Вычислив с помощью прямого преобразования Фурье спектральную характеристику U(j ) U( ) ej u ( ) заданной функции è(t) и пользуясь опытными данными для z( ) è !( ), можно определить спектральную характеристику тока:

I( ) Uz(( )) ; i ( ) u ( ) !( ).

Искомый ток i(t) можно тогда определить из последнего интегрального выражения, выполняя интегрирование хотя бы тем или иным приближенным методом.

Из этого же выражения можно установить связь между вещественной частотной I1( ) и мнимой частотной I2( ) характеристиками. Так как

I( j ) I( )ej i ( ) I( )cos i ( ) jI( )sin i ( ) I1( ) jI 2 ( ),

Принимая во внимание, что при t < 0 имеем i(t) 0, подставим в только что написанное выражение i(t) значение t –t:

118 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

0 [I1( )cos t I 2 ( )sin t]d

0

èëè

I1( )cos t d I 2 ( )sin t d ,

что и выражает связь между вещественной I1( ) и мнимой I2( ) частотными характеристиками.

Заметим, что эта связь существует для частотных характеристик тех функций i(t), для которых справедливо прямое преобразование Фурье.

Используя полученное соотношение для тока i(t), имеем

т. е. можем определить функцию i(t) либо по вещественной частотной, либо по мнимой частотной характеристике.

Так как между вещественной и мнимой составляющими частотной характеристики I(j ) существует связь, то, соответственно, в тех же случаях есть связь и между амплитудно-частотными и фазочастотными характеристиками.

Если в соответствии со сказанным имеется связь между U( ) è u( ), а также между I( ) è i( ), то должна быть связь и между Z( ) è !( ) или соответственно между r( ) è x( ). Для ряда систем оказывается возможной и разработана методика определения !( ) ïî z( ). В таком случае достаточно снять экспериментально только характеристику z( ), что значительно проще экспериментального получения характеристики !( ).

Так как экспериментальная зависимость z( ) может быть получена только при изменении частоты от нуля до определенного значения , то необходимо быть уверенным, что мы не допускаем заметной ошибки, вычисляя i(t) по формуле обратного преобразования Фурье в этом ограниченном диапазоне вместо всего диапазона 0 < < . Некоторой оценкой достаточности верхнего предела частоты в случае экспериментального получения частотных характеристик может служить условие, чтобы модули y( ) 1/z( при этой частоте приближались к нулю, при дополнительном условии, что на основе каких-либо соображений можно быть уверенным, что с дальнейшим увеличением они не будут вновь возрастать.

Наконец, заметим, что указанные приемы расчета переходных процессов пригодны для нулевых начальных условий. Это видно хотя бы из того, что соотношение I(j ) U(j )/Z(j ) соответствует соотношению I(p) U(p)/Z(p), справедливому только при нулевых начальных условиях (см. § 10.3). При ненулевых начальных условиях можно воспользоваться, так же, как и в операторном методе, методом наложения, рассчитав процесс при нулевых начальных условиях и наложив на него процессы, которые получаются только от действия одних на- чальных напряжений на конденсаторах и токов в катушках.

11.5. Связь преобразования Фурье с преобразованием Лапласа. Понятие о комплексной частоте

В § 11.3 были сопоставлены преобразование Лапласа F(p) f (t) e pt dt ñ ïðÿ-

0

мым односторонним преобразованием Фурье F( j ) f (t)e j t dt, откуда видно,

0

что второе есть частный случай первого при p j . В конце § 11.1 было отмечено, что преобразование Фурье возможно для ограниченного класса функций f(t). Было указано, что достаточным условием для этого является абсолютная интегрируемость функции f(t).

Преобразование Лапласа является более общим, так как p рассматривается как комплексная величина, имеющая положительную вещественную часть, достаточно большую, чтобы интеграл Лапласа имел конечное значение для весьма широкого класса функций f(t), практически охватывающих все функции, с которыми встречаемся в теории электрических цепей. Соответствующие условия, накладываемые на вещественную часть величины p, были сформулированы в начале § 10.1.

Можно обобщить преобразование Фурье так, что оно станет эквивалентно преобразованию Лапласа по широте охвата класса функций f(t), если ввести понятие к о м п л е к с н о й ч а с т о т ы c + j , содержащей положительную вещественную часть c, на которую налагаются те же самые требования, что и на вещественную часть Κ оператора p. Такое обобщенное преобразование Фурье имеет вид

F(c j ) f (t)e (c j )t dt.

0

Соответственно, обратное преобразование Фурье в обобщенной форме, если заменить в формуле (**) из § 11.1 всюду в выражении под знаком интеграла величину j на величину c j , принимает вид

Путь интегрирования в комплексной плоскости должен быть избран так, чтобы вещественная часть комплексной частоты была не меньше той, которая обеспечивает сходимость прямого обобщенного преобразования Фурье. В частности, можно интегрировать по прямой, отстоящей справа от оси мнимых на необходимую величину ñ > 0. С этим и связан выбор пределов интегрирования от ñ – j äî ñ + j .

Прямое преобразование Лапласа совпадает с обобщенным прямым преобразованием Фурье при замене p на Поэтому, пользуясь обратным преобразованием Фурье в обобщенной форме, можем записать обратное преобразование

120 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Лапласа, дающее возможность вычислить оригинал f(t) по его операторному изображению F (ð) â âèäå

Обозначение –1[F(p)] часто применяют для краткой записи этого преобразования. Формула носит название ф о р м у л ы Р и м а н а — М е л л и н а.

Глава двенадцатая

Расчет электрических цепей при воздействии импульсных ЭДС и ЭДС произвольной формы

12.1. Понятие об импульсных ЭДС и импульсных системах

Большой класс радиотехнических и вообще электротехнических задач связан

ñисследованием процессов в электрических цепях, протекающих под воздействием кратковременных внешних возмущений, длительность которых сравнима

ñдлительностью переходных процессов. Такие возмущения и процессы называют и м п у л ь с н ы м и. И м п у л ь с н ы м и с и с т е м а м и называют устройства, в которых формируются и действуют и м п у л ь с н ы е ЭДС и т о к и.

Передача и преобразование сигналов при помощи импульсов находит широкое применение для передачи информации, так как при этом влияние помех оказывается наименьшим. Благодаря кратковременности импульсного процесса появляется возможность получить импульсы очень большой мощности, во многие сотни раз превышающей возможную мощность соответствующего устройства при непрерывной его работе. Весьма широко используется импульсный метод в автоматике и телемеханике, в радиоэлектронике и т. д. Для исследования импульсных процессов применимы все изложенные в предыдущих главах методы анализа переходных процессов. При определенных формах импульсов и характере изменения интервалов между ними, зависящих от целей, для которых применяются импульсные системы, возможны те или иные специализированные методы анализа процессов в импульсных системах. Применяются импульсы разнообразной формы, например прямоугольные (рис. 12.1, à), трапецеидальные (рис. 12.1, á), треугольные (рис. 12.1, â), экспоненциальные (рис. 12.1, ã), радиоимпульсы, т. е. импульсы с высокочастотными колебаниями (рис. 12.1, ä) è äð.

Последовательность импульсов характеризуется временем Tï их повторения, длительностью Tèíò интервала (паузы) между ними и длительностью tèìï самого импульса (рис. 12.2).

В зависимости от значений tèìï, Tèíò, Tï, закона изменения этих величин и длительности переходного процесса могут быть применены различные методы анализа. При каждом воздействии импульса ЭДС в цепи происходит переходный процесс. По истечении времени tèìï воздействие импульса заканчивается и в цепи начинается другой переходный процесс, связанный с рассеиванием