Добавил:

inmew Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сочинский Государственный Университет

Предмет:

Электрооборудование подстанций промышленных предприятий

Файл:

Теоретические основы электротехники-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.04.2018

Размер:

5.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 576 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 53

ностью, но требование, чтобы после размыкания ключа токи в обеих катушках стали равными друг другу, отсутствует, так как есть путь для тока через вторую ветвь, в которой нет индуктивности и в которой ток может меняться скачком.

Для определения производных тока i1 в этом случае проще всего поступить следующим образом. Вычитая второе уравнение (*) из первого, получим уравнение согласно второму закону Кирхгофа по контуру, охватывающему оба источ- ника ЭДС:

r1i1 L1 didt1 C1 0 i2 dt uC (0) r2 i2 e1 e2 . Отсюда определим L1 didt1 ïðè t 0:

							di							e (0) e									r i (0) u (0) r i
					L						1									(0)																							(0).
					L															(0)																							(0).
						1	dt t 0							1					2						1 1								C								2	2
Продифференцировав последнее уравнение, получим
												e e r					di		L				d 2 i							i	2	r			di		2
																		1							1						2						2			.
																							dt2																	.
													1	2	1		dt					1	dt2							C			2		dt
В этом уравнении в момент t 0 неизвестны																											d 2 i							di		2
																															1		è			2		.
																												dt2					è					.
				di																								dt2						dt
				di			2
Определим							2		из второго контурного уравнения (*):
Определим									из второго контурного уравнения (*):
						dt			t 0
		di	2																																						di
L			2						e				(0) r [i (0) i									(0)] i						(0) r L													1			u	(0).
L									e				(0) r [i (0) i									(0)] i						(0) r L																u	(0).
	3 dt t 0											2		3 1							2					2							2						3 dt t 0						C
				di			2
Подставляя							2		в предыдущее выражение, получим значение второй про-
Подставляя									в предыдущее выражение, получим значение второй про-
						dt			t 0
изводной тока i1 ïðè t 0.
Таким образом, для определения постоянных имеем
											i (0) i				(0) A A A ;
												1		1					11					12					13
										di					di
											1				1									A								A									A ;
																							1	A							2	A							3		A ;
										dt t 0				dt t 0									1		11						2		12						3		13
										dt t 0				dt t 0
								d 2 i							d 2 i
											1					1									2 A								2 A						2 A ,
											2					2									2 A								2 A						2 A ,
								dt			2				dt	2									1 11								2 12								3 13
								dt				t 0			dt			t 0

где величины, стоящие слева, уже определены. Решая совместно эти три уравнения, найдем постоянные A11, A12, A13 .

Для определения тока i2, решение уравнения которого можно записать в виде

i	2	i	A	21	e 1t A	22	e 2t A	23	e 3t ,
	2	2		21		22		23

54 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

можно произвести аналогичные расчеты, причем выражение для (d2i2/dt2)t 0 легко определить по известной (d 2i1/dt 2)t 0 и по остальным величинам, определенным выше для i1.

2. В качестве примера расчета цепи со взаимной индукцией рассмотрим расчет цепи, представленной на рис. 9.30. Уравнения для этой цепи имеют вид

i r L				di1				M		di2		u;					M			di1				r i				L			di2					0.
i r L				dt				M		dt		u;					M			dt				r i				L		2 dt						0.
1 1			1	dt						dt										dt				2			2			2 dt
Обозначая d/dt D, решим систему относительно i1. Получим
	(r		L D)(r						L		2	D)i					M 2 D 2 i										(r		L			2	D)u
		1		1			2				2				1									1				2				2
èëè
(L L	2	M 2 )D 2 i							(r L				2		r L )Di										r r i					L		2	Du r u.
1	2						1				1		2				2	1					1	1			2 1					2						2
Учитывая, что Dni d ni/dt n, находим
		M 2 )					d 2 i		(r L						r L )							di			r r i				r u L									du
(L L							1																1																.		(**)
(L L								dt2																															.		(**)
1	2							dt2			1			2			2 1					dt				1 2 1				2							2	dt
Характеристическое уравнение имеет вид
			(L L		2		M 2 2 (r L											2	r L r r											0,
			1		2												1	2			2			1				1	2
откуда для двух его корней . è / получаем

1, 2			r L		2		r L										r L		2		r L							2							r r
			1		2		2 1								)		1		2				2 1				,								1 2					,
			2L L				(1 k2 )								)	2(1 k2 )L L											,			L L										,
			2L L			2	(1 k2 )									2(1 k2 )L L										2	+			L L				2		(1 k2 )
			1			2									(									1		2	+			1				2

принимая во внимание, что M 2 k2L1L2.

Пусть включение производится при нулевых начальных условиях под действие постоянного напряжения è U const. Тогда из уравнения (**), полагая в нем все производные и токов и напряжений равными нулю, получим ток установившегося режима i = U/r1, что непосредственно вытекает также из первого

уравнения.

Таким образом, для тока i1 имеем выражение

i i

A e 1t

A e 2t .

Произвольные постоянные определим, имея в виду, что

i1( 0) i1( 0) 0; i2 ( 0) i2 ( 0) 0.

Из второго уравнения для момента t 0 находим ri2(0) 0 è

èëè

dt t 0

t 0

dt t 0

L2 dt t 0

Подставив последнее в уравнение для первого контура, найдем при t 0

M 2

U èëè

L1(1 k

t 0

)

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 55

Таким образом, при t 0 имеем
												i (0) 0													U			A A ;
												i (0) 0																A A ;
												1													r1				11							12
																									r1
						di															U
								1																										A							A				,
																																1		A						2	A				,
						dt												L (1 k2 )														1			11					2				12
						dt					t	0						L (1 k2 )
											t	0					1
откуда, определив A11 è A12, äëÿ i1 получим
i	U						U												(e 1t e 2t )																			U								(		e 1t
i																			(e 1t e 2t )																											(	2	e 1t
1	r		L	(1 k		2 )(											)																r		(									)			2
	r		L	(1 k		2 )(			1							2	)																r		(		1					2		)
	1	1							1							2																		1			1					2
Èìåÿ â âèäó, ÷òî i							0, находим
				2
													i	2			A				21		e 1t					A		22		e 2t .
														2							21									22
Начальные условия при t 0:
								di				2											M				di																	UM
			i	(0) 0;								2																	1
			i	(0) 0;
		2								dt													L				dt												L L						(1 k2 )
										dt				t		0							L		2		dt				t		0						L L					2	(1 k2 )
														t		0									2						t		0							1				2
Следовательно,
				0 A21 A22 è																				UM										1A21								2 A22 ,

																				L L				2		(1 k2 )
																				L L						(1 k2 )
																					1
откуда																													UM
				A21				A22																					UM																;

																					L L					2	(1 k2 )(									1					2		)
																						1				2										1					2
				i																UM															(e 1t e 2t ).
				i	2					L L					(1 k2 )(																		)		(e 1t e 2t ).
					2
													2															1			2
											1		2															1			2

1 e 2t ).

Зависимости i1è i2 от времени приведены на рис. 9.31. Как видно из выражения для производной тока i1, в первый момент времени ток i1 растет быстрее по срав-

нению со случаем, когда вторичный контур разомкнут или когда k 0. Поскольку производная тока i2 знакопеременна, то убыстрение процесса нарастания тока i1 происходит не все время. Спустя некоторый промежуток времени, когда производная тока i2 меняет знак, наличие вторичного контура, наоборот, приводит к замед-

лению роста тока i1 в последующие моменты времени. Ðèñ. 9.31 Для сравнения на рис. 9.31 штриховой линией показана

зависимость i1(t) при отсутствии магнитной связи.

9.13. Расчет переходных процессов методом переменных состояния

Приведенные в предыдущем параграфе примеры показывают, что формирование и решение уравнений, описывающих переходные процессы, даже для сравнительно простых цепей оказываются весьма трудоемкими. В связи с этим боль-

56 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

шое значение имеет разработка компьютерных методов решения этих задач. В настоящем параграфе будет рассмотрен метод переменных состояния, который исторически явился первым методом, позволившим алгоритмизировать формирование уравнений для электрических цепей достаточно общего вида.

Понятие переменных состояния было введено в § 9.3. Энергия магнитного поля Wì катушки с индуктивностью L может быть выражена через ток iL катушки или ее потокосцепление <:

		< 2	Li	2
W			L		.
	ì	2L
			2

Энергия электрического поля Wý конденсатора с емкостью C аналогичным образом может быть выражена через напряжение uC на обкладках конденсатора или его заряд q:

q2 Cu2

Wý 2C 2C .

Таким образом, энергетическое состояние электрической цепи может быть однозначно определено указанием значений потокосцеплений или токов всех катушек индуктивности и зарядов или напряжений всех конденсаторов. Для определенности, будем использовать далее в качестве переменных состояния токи катушек индуктивностей iL и напряжения конденсаторов uC.

Метод переменных состояния позволяет формировать систему дифференциальных уравнений относительно переменных состояния x1, x2, ..., xn в так называемой нормальной форме:

dx1

a x

(t);

dx2

a x

(t);

dxn

a x

(t),

ãäå aij (i, j 1, 2, …, n) — элементы квадратной матрицы, определяемой топологией анализируемой цепи и параметрами ее элементов, fi (i 1, 2, …, n) — элементы вектора, также определяемые топологией цепи и параметрами действующих в ней источников электромагнитной энергии.

Чтобы каждое уравнение, написанное согласно первому и второму законам Кирхгофа, было дифференциальным уравнением первого порядка относительно iL è uC, каждый контур и сечение должны содержать только один реактивный элемент.

При составлении уравнений согласно первому закону Кирхгофа в графе цепи следует выделить ветвь дерева, через которую проходит сечение. При этом поверхность, которая разделяет цепь на две части, пересечет некоторое число связей (õîðä) и только одну ветвь дерева.

Уравнение баланса токов для такого r-го сечения является дифференциальным уравнением первого порядка относительно одной переменой, если j-я ветвь

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 57

дерева содержит конденсатор. В такой ветви ток связан с напряжением конденсатора следующим образом:

iCj Ñj dudtCj .

Такое r-е уравнение в матричной форме записи Di 0 системы уравнений первого закона Кирхгофа можно представить в виде

d C		duCj	d		i ,
			l
rj	j			rk	k
rj	j	dt	k 1	rk	k
		dt	k 1
			k j

ãäå l — число ветвей цепи; dr1, dr2, …, drl — элементы r-й строки матрицы сечений D. Уравнение баланса напряжений в s-м контуре является дифференциальным уравнением первого порядка относительно одной переменной, если связь (хорда), образующая контур, содержит катушку индуктивности. В такой p-й ветви

uLp L didtLp .

Тогда s-е уравнение в матричной записи Cu 0 системы уравнений второго закона Кирхгофа можно записать так:

c L		dip	c		u ,
			l
sp	p			sk	k
sp	p	dt	k 1	sk	k
		dt	k 1
			k p

ãäå cs1, cs2, …, csl — элементы s-й строки матрицы контуров C.

Таким образом, чтобы составить систему уравнений в нормальной форме, следует в качестве переменных брать напряжения конденсаторов, относя ветви, содержащие эти элементы, к ветвям дерева, а также токи катушек индуктивности, относя ветви, содержащие эти элементы, к связям.

Матрично-топологический метод составления системы уравнений для расче- та установившихся режимов, как правило, связан с введением понятия обобщенной ветви, содержащей наряду с пассивными элементами в ветви (r, L, C) также источник ЭДС, последовательно соединенный с пассивной частью ветви, и источник тока, включенный параллельно ветви с ЭДС. Введение этого понятия при возможности эквивалентных преобразований источников ЭДС в источники тока и наоборот позволяет составить наиболее экономные (в смысле числа неизвестных) системы уравнений. Сокращение числа узлов и ветвей в таком случае упрощает и описание цепи.

При составлении уравнений состояния введение обобщенных ветвей осложняет последующие преобразования. Поэтому целесообразно за счет выделения каждого элемента электрической цепи в отдельную ветвь упростить составление системы дифференциальных уравнений. Если каждый элемент электрической цепи выделяется в качестве ветви, то отнесение ветвей к дереву или к связям следует производить с учетом следующего. К ветвям дерева должны быть последовательно отнесены сначала ветви с источниками ЭДС, затем ветви с конденсаторами. Если такое дерево не связывает все узлы, то должны быть добавлены

58 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

ветви с резисторами и только в последнюю очередь ветви с катушками индуктивности. Дерево, составленное согласно этому правилу, называют нормальным. Соответственно в качестве связей (хорд) сначала должны быть выделены источники тока, затем индуктивные элементы и резистивные ветви и в последнюю очередь ветви с конденсаторами. Подграф, составленный согласно этому правилу, называют нормальным подграфом связей (õîðä). Граф электриче- ской цепи, содержащий нормальное дерево и нормальный подграф связей, счи- тают нормальным èëè правильным.

Согласно условиям составления нормального дерева и дополнения его до полного графа, токи и напряжения электрической цепи можно записать в виде

i ät i ct

t ,

i Et ä iÑt ä i Rt ä i Lt ä i =t c i Lt c iGt c iCt c

u ät u ct

t ,

u Et ä uÑt ä u Rt ä u Lt ä u =t c u Lt c uGt c uCt c

ãäå iEä, uEä — токи и напряжения ветвей дерева с источниками ЭДС; iCä, uCä — токи и напряжения конденсаторов, входящих в состав ветвей дерева; iRä, uRä — токи и напряжения резисторов, составляющих ветви дерева; iLä, uLä — токи и напряжения катушек индуктивностей, входящих в ветви дерева, i ñ, u c — токи и напряжения источников тока, отнесенных к подграфу связей; iLñ, uLc — токи и напряжения катушек индуктивностей, включенных в подграф связей, iRñ, uRc — токи и напряжения резисторов, входящих в подграф связей; iCñ, uCc — токи и напряжения конденсаторов, входящих в подграф связей.

Возможны случаи, когда в электрической цепи имеются контуры, состоящие только из конденсаторов и (или) источников ЭДС, или сечения, содержащие только катушки индуктивности и (или) источники тока. Задачи расчета таких цепей рассмотрены в § 9.11.

В соответствии с таким разбиением ветвей можно выделить четыре подмат- рицы-строки в матрице контуров C, соответствующие: 1) ветвям-связям, содержащим источники тока; 2) ветвям-связям, содержащим катушки индуктивности; 3) ветвям-связям, содержащим резистивные элементы; 4) ветвям-связям, содержащим конденсаторы. Следовательно,

E ä

Cä

rä

Lä

= c Lc gc Cc

= c

F=E F=C F=R F=L 1 0

FLE

FLC

FLR

FLL

1 0

FCE FCC

По приоритету отнесения конденсаторов к подграфу связей в контур, образованный звеном (конденсатором), не могут войти резистивная и индуктивная ветви дерева, т. е. равны нулю подматрицы FCR è FCL. Действительно, емкостная ветвь может быть отнесена к категории связей, если она образует контур, содержащий источник ЭДС и конденсаторы. Если некоторый узел соединен с другими узлами индуктивными элементами, то ветвь с одной из них должна войти

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 59

в состав дерева. Тогда ветвь Lä может войти в сечения, образованные Lc-связями. Таким образом, в сечения, образованные из gc резистивных ветвей-связей, ветви дерева Lä не входят. Следовательно, равен нулю и элемент FGL.

В соответствии с известными соотношениями D

1 F t

, C

F 1

законы

Кирхгофа можно записать следующим образом:

E ä Ñä rä Lä

= c

E ä

– F t

1 0 0 0 – F=t

Cä

0 1 0 0 – F=t

– F t

i 0;

Rä

0 0 1 0 – F=t

– F t

Lä

0 0 0 1 – F=t L

– FLLt

1 F t

i ä

i ñ

= c Lc Gc Cc

E ä

Cä

rä

Lä

= c

F=E F=C F=R F=L 1 0 0 0

FLE

FLC

FLR

FLL 0 1 0 0

Cu g

0 0 0 1 0

;

FCE FCC

0 0 0 0 1

F 1

u ä

u ñ

ãäå 1 — единичные матрицы, размерности которых определяются числом строк в подматрицах Fij; Eä, Cä — номера ветвей, входящих в дерево и содержащих источники ЭДС, конденсаторы и т. д.; ñ, Lc — номера ветвей, входящих в подграф связей и содержащих источники тока, индуктивные элементы и др. Ранжирование ветвей и их нумерация подчинены правилам составления нормальных дерева и подграфа связей. При составлении нормального графа электрической цепи матрицу соединений A также следует упорядочить, расположив ветви таким образом, чтобы сначала были перечислены ветви нормального дерева, а затем уже и нормального подграфа связей: A Aä Ac . Для нормального графа справедливо равенство

Ai 0,	Aä Ac	i ä	0,

		i c

ãäå A — матрица соединений размерности (q – 1) l (q — число узлов, l — число ветвей); i — вектор-столбец токов (включая ветви с источниками тока) размерностью l. Из соотношений Aäiä —Añic, iä Ft iñ следует, что F t A–1ä Ac . Таким

образом, составление с помощью компьютера матриц C è D можно произвести

60 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

на основании матрицы соединений A, которая вводится в компьютер в качестве части исходных данных, представляющих описание топологии электрической цепи.

Рассмотрим формирование уравнений состояния для электрической цепи, представленной на рис. 9.32. Параметры цепи в системе СИ сведем в табл. 9.1. Эта таблица может быть заполнена в любой последовательности, по мере введения топологического описания в компьютер.

Ðèñ. 9.32

Таблица 9.1

Элемент	¹ ветви	Начальный узел	Конечный узел	Значения параметров

r	1	1	0	10–13
g	2	4	5	1,5 10–2
L	3	4	3	5 10–4
L	4	2	3	7 10–5
C	5	1	2	1,1 10–13
C	6	4	2	2,1 10–13
C	7	1	4	10–13
L	8	5	3	10–5
	9	1	5	10–1
E	10	0	5	1,2

В дальнейшем она может быть перестроена в соответствии с правилами составления нормального графа электрической цепи. Перестроенная табл. 9.2 и служит основой для составления матриц A, C è D и расчета матрицы F. Используя табл. 9.2, можно составить следующие матрицы:

				Глава 9.			Расчет переходных процессов классическим методом 61
Таблица 9.2

Элемент		¹ ветви		Начальный узел						Конечный узел								Значения параметров

E		10			0									5							1,2

C		5			1									2							1,1 10–13
C		6			4									2							2,1 10–13
r		1			1									0							10–13
L		4			2									3							7 10–5
=		9			1									5							10–1
L		3			4									3							5 10–4
L		8			4									3							10–5
g		2			5									5							1,5 10–2
C		7			1									4							10–13
			Ветви
	Óçëû		10	5	6		1	4	9				3		8		2	7
	1		0	1	0		1	0			1		0		0		0	1
		2	0 1 1 0 1								0 0 0 0 0
		3	0 0 0 0 1								0 1 1 0 0
		A 4	0 0		1 0 0						0		1 0				1 1		;
	5		1 0 0 0 0								1 0 1 1 0

				Aä											Añ
																	9	3		8	2	7
	0 0 0 0 1													10			1 0 1 1 0
	0 1 1 1 0														5		0 0 1 1 1
1	0 0 0			1 0		;	F t		A 1			A	c		6		0	1 0
Aä	0 0 0			1 0					ä				c		6		0	1 0			1 1		;
	1 1 1 1 0														1		1 0 1 1 0
	0 0 1 0 0														4		0 1 1 0 0
					10			5	6			1		4
				9		1		0	0			1		0
				3		0		0	1			0	1
				F 8		1 1 0						1 1				.
				2		1		1	1			1		0
				7		0		1	1			0		0

62 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Из матрицы F следует, что

Приведенное описание электрической цепи в виде, удобном для ввода в компьютер, не является единственным. Так, табл. 9.1 содержит информацию лишь о характере элементов, числе ветвей, условно-положительных направлениях токов и напряжений (с помощью введения в таблицу понятий начального и конеч- ного узлов), значениях параметров и позволяет описать электрические цепи, состоящие только из двухполюсников. Описание электрических цепей, содержащих многополюсные элементы, следует выполнить иным способом — путем введения дополнительных столбцов, характеризующих число полюсов и номеров узлов, к которым они присоединены, и ссылки на дополнительные списки параметров, описывающие эти многополюсники или их эквивалентные электри- ческие схемы.

Переход от табл. 9.1 к табл. 9.2 производят с помощью последовательного перебора элементов. Сначала в табл. 9.1 выделяется строка с ветвью, содержащей ЭДС, в качестве первой строки табл. 9.2. После обработки ветвей с ЭДС в табл. 9.1 выбирают строки с емкостными элементами. При выделении каждой строки в табл. 9.1 проверяется соблюдение условия, при котором новый элемент не образует контур с уже помещенными в табл. 9.2 элементами. Для этого достаточно, чтобы хотя бы один из узлов нового элемента не содержался в списке узлов, перечисленных ранее. Если это условие не выполняется, то данный элемент записывается в конце табл. 9.2. Добавление ветвей с элементами C, r è L производят до тех пор, пока в список узлов не войдут все узлы электрической цепи. Если соблюдено правило проверки отсутствия контуров, то полная комплектация списка узлов свидетельствует о том, что список ветвей, образующих нормальное дерево (рис. 9.32, á), в табл. 9.2 заполнен. После этого формируется подграф связей, содержащий источники тока, индуктивные катушки, резисторы и уже записанные в конце табл. 9.2 конденсаторы.

Составление матрицы A на основе табл. 9.2 не составляет трудностей. Достаточно нумеровать строки матрицы A по номерам узлов, а столбцы — согласно номерам ветвей в табл. 9.2. Начальный узел в табл. 9.2 для данной ветви опреде-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 576 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Электрооборудование подстанций промышленных предприятий

#
06.03.201934.96 Кб31ИНСТРУКЦИЯ ПО ОХРАНЕ ТРУДА ПРИ РАБОТЕ С МЕГАОММЕТРОМ.docx
#
03.04.2017771.01 Кб157Переключения в эл.установках.pdf
#
03.04.20171.13 Mб611ПРАВИЛА охраны труда при эксплуатации эл.установок.pdf
#
03.04.20172.17 Mб21ПРАВИЛА устройства эл.установок.pdf
#
05.04.20184.76 Mб86Теоретические основы электротехники-1.pdf
#
05.04.20185.97 Mб93Теоретические основы электротехники-2.pdf
#
05.04.20183.9 Mб77Теоретические основы электротехники-3.pdf
#
19.02.20177.58 Mб11Электрические нагрузки пром предпиятий_1964.djvu