Теоретические основы электротехники-2

234 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Ðèñ. 15.7 Ðèñ. 15.8 Ðèñ. 15.9

Заметим, что в некоторых частных случаях при отрицательном коэффициенте Ai возможна реализация с помощью приведенного ранее разложения F(p),

ется в случае F(p) Z(p) в виде участка цепи, состоящего из параллельно соединен-

лизуется в виде участка цепи с последовательно соединенными резистором с сопро-

Рассмотрим пример реализации заданной функции F(p) Z(p). Принято, чтобы не иметь дела с цифрами слишком большого или слишком малого порядка, оперировать с относительными сопротивлениями r*, *L* è 1/( *C*) и относительной частотой *, которые являются отношениями действительных сопротивлений и частоты к базисному сопротивлению Rá и базисной частоте á. Последние выбирают так, чтобы относительные величины в их рабочем диапазоне изменения были близки к единице. Будем опускать звездочку (*), понимая во

а поэтому отсутствуют простые дроби вида Ai /(p + −i). Кроме того, в данном примере A0 0, в чем легко убедиться, приняв p 0. Определим коэффициенты

Рассмотрим теперь реализацию функции Y(p) 1/Z(p), ãäå Z(p) — òà æå ñà-

Обе схемы на рис. 15.10 и 15.11 соответствуют одной и той же функции Z(p). Точно так же они соответствуют одной и той же обратной функции Y(p). Это означает, что обе эти схемы имеют совершенно одинаковые частотные характеристики Z(j ). Структура же этих схем и числовые значения параметров различны. Это иллюстрирует высказанное ранее положе-

ние о многозначности решения задачи синтеза электрической цепи по заданной функции F(p).

236 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

15.5. Реализация входных функций двухполюсника, имеющих только мнимые корни знаменателя, при помощи представления этих функций в виде цепных дробей

Наличие только мнимых корней у входных функций Z(p) è Y(p) означает, что цепь, имеющая такие входные сопротивление и проводимость, не обладает затуханием, т. е. состоит только из реактивных элементов. Поэтому в разложении входных функций на простые дроби должны отсутствовать член A0, а также члены вида Ai/(p + −i), так как при их реализации, как было видно в предыдущем параграфе, должны быть использованы активные сопротивления. Таким образом, функция F(p), имеющая только мнимые корни и реализуемая при помощи только реактивных элементов, должна иметь вид

Величина в скобках является функцией от p2. Соответственно, после приведения к общему знаменателю получим в знаменателе полный полином Q(p) от четных степеней p, åñëè âñå k не равны нулю, т. е. полином, содержащий все, без пропусков, четные показатели от нуля до m. При этом числитель будет полным полиномом G(p) нечетных степеней p. Степень G(p) на единицу выше степени Q(p). Следовательно, F(p) будет иметь вид

F(p) G(p) am 1 pm 1 am 1 pm 1 a1 p, Q(p) bm pm bm 2 pm 2 b0

ãäå m — четное.

В этом случае значение p 0 является нулем функции F(p). Если один из корней k полинома Q(p) равен нулю, то b0 0, и, сокращая числитель и знаменатель на p, получим в числителе полином четных степеней, а в знаменателе — полином нечетных степеней от p. При этом значение p 0 является полюсом F(p).

Для возможности реализации функции F(p) в виде электрической цепи, состоящей из реактивных элементов, необходимо, чтобы она удовлетворяла основным свойствам входных функции такой цепи, изложенным в § 6.6, а именно: степени полиномов G(p) è Q(p) должны отличаться друг от друга на единицу; нули и полюсы функции F(p) должны чередоваться. В соответствии с первым свойством в написанном выше выражении степень числителя превышает степень знаменателя на единицу. Может быть также случай am+1 0, когда степень знаменателя превышает степень числителя на единицу. Второе свойство — чередование нулей и полюсов F(p) — означает, что чередуются корни числителя и знаменателя вдоль мнимой оси. Соответственно, если, разлагая на множители и числитель, и знаменатель, запишем F(p) â âèäå

то условие чередования нулей и полюсов можно записать так: 0 9 1 9 2 9 3 9 9 m .

В § 6.6 было показано, что свойство чередования полюсов и нулей вытекает из того, что для любой цепи, содержащей только реактивные элементы, входное реактивное сопротивление всегда растет с частотой, т. е. dxâõ/d > 0. Условие dxâõ/d > 0 не было доказано в § 6.6. Докажем его здесь. Входное сопротивление является функцией сопротивлении всех ветвей цепи:

Остается показать, что также dxâõ/dxi > 0. С этой целью будем рассматривать ветвь xi как приемник на выходе четырехполюсника. Этим четырехполюсником явится вся остальная цепь. Реактивное сопротивление на входе этого четырех-

В цепи, состоящей из одних реактивных элементов, напряжения на всех ветвях находятся друг с другом в фазе или в противофазе, а все токи в ветвях сдвинуты по отношению к этим напряжениям на угол #/2, т. е. угол сдвига фаз между двумя любыми токами равен нулю или #. Эти положения справедливы при любом значении xi. В частности, при xi 0 имеемU 2 0 è I1 DI 2 , следовательно,

D — вещественное число. При xi имеем I 2 0 è I1 CU 2 , следовательно, C — мнимое число. Отсюда ясно, что (Cjxi + D)2 > 0 è

Таким образом, dxâõ/d > 0, что и требовалось доказать.

Во всех случаях, прежде чем выполнять реализацию функции F(p) в виде цепи из реактивных элементов, необходимо убедиться, что она удовлетворяет двум вышеуказанным основным свойствам.

Существуют различные методы реализации.

Один из них, разработанный Фостером, заключается в представлении функции F(p) в виде формулы (*). Цепи, реализующие каждое слагаемое в выражении (*), были рассмотрены в предыдущем параграфе. Неудобство этого метода состоит в необходимости отыскания корней знаменателя, что при высокой степени полинома Q(p) является трудной задачей.

Есть метод, предложенный Кауером, при использовании которого отсутствует необходимость в отыскании корней. Суть его заключается в поочередном выделении частей вида Ap èëè B/p сначала из функции F(p), а затем из остатков

238 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

после выделения предыдущей части, с последовательной реализацией выделяемых частей в виде индуктивной катушки или конденсатора. Пусть функция F(p) имеет полюс p . Это означает, что степень полинома числителя больше степени полинома знаменателя на единицу. Для определенности положим F(p) Z(p). Разделив числитель на знаменатель, выделяем целую часть A1p, соответствующую этому полюсу Z(p). Получаем

Z(p) A1(p) Z1(p),

ãäå Z1(p) — остаток от деления, представляющий собой правильную рациональную дробь, степень полинома в знаменателе которой на единицу больше степени полинома числителя. Это является следствием того, что показатели членов полиномов G(p) è Q(p) убывают от предыдущего к последующему на две единицы. Следовательно, обратная функция Y1(p) 1/Z1(p) имеет степень числителя, на единицу большую степени знаменателя; производя с ней аналогичную операцию выделения целой части A2p, соответствующей ее полюсу p , получим

Продолжая действовать таким же образом, найдем

Z 2 (p) 1 A3 (p) Z 3 (p).

Y2 (p)

Эту процедуру продолжаем до тех пор, пока остаток не будет равен нулю. Соответственно такой последовательности операций функцию Z(p) можно представить в виде цепной дроби:

Ðèñ. 15.12

Из изложенного видно, что функцию F(p) Z(p) можно реализовать с помощью схемы (рис. 15.12), в которой первым элементом, включенным последовательно остальной части схемы, является катушка с индуктивностью L1 A1; вторым элементом, включенным параллельно остальной за ним части схемы, —

конденсатор с емкостью C2 A2; следующим элементом является вновь последовательно включенная катушка L3 A3, далее — параллельно включенная емкость C4 A4, è ò. ä. Åñëè k — четное, то схема завершится конденсатором с емкостью Ck Ak. Åñëè k — нечетное, то последним элементом будет катушка с индуктивностью Lk Ak. Нетрудно заметить, что в данном случае k n, ò. å. k равно степени числителя.

Для рассмотренного случая, когда степень полинома числителя G(p) больше степени знаменателя Q(p), при делении слагаемые полиномов следует располагать по убывающим степеням и выделяемые целые части Ap получаются как результат деления первого члена числителя на первый член знаменателя. При этих же условиях, если бы мы приняли F(p) Y(p), получили бы первый член Ap как операторную емкостную проводимость C1p, т. е. схема начиналась бы с приключенного параллельно ко всей остальной цепи конденсатора C1 (рис. 15.13). При этом в случае k n — четного схема заканчивается катушкой (рис. 15.13, à) è ïðè k — нечетном — конденсатором (рис. 15.13, á)

Ðèñ. 15.13

Если степень числителя n меньше степени знаменателя на единицу, то можно воспользоваться тем же методом, формально добавив в полиноме числителя член an+2 pn+2 ñ an+2 0. Соответственно, получим в первой выделенной части Ai p коэффициент A1 0, т. е. в схемах на рис. 15.12 будем иметь L1 0, а на рис. 15.13 — соответственно, C1 0. Число реальных, отличных от нуля элементов в схеме будет равняться n + 2 – 1 m, т. е. степени знаменателя. Таким образом, число реальных элементов равно наивысшей степени полиномов в рациональной дроби.

Можно было бы и не прибегать к искусственному приему добавления в числителе F(p) слагаемого an+2 pn+2, имеющего an+2 0, а начать операции по отношению к обратной величине F(p).

Рассмотрим теперь случай, когда функция F(p) имеет полюс p 0. Это озна- чает, полином знаменателя нечетной степени, т. е. m — нечетное. В этом случае можно осуществить реализацию тем же способом построения цепной дроби, но в другом порядке, а именно выделяя части соответственно полюсам при p 0. Получаемая при этом цепная дробь имеет вид

240 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

×ëåí D1/p получается делением первого члена полинома в числителе на первый член полинома в знаменателе, если слагаемые этих полиномов расположить по возрастающим степеням. Если степень m знаменателя функции F(p) — четная, а степень n числителя — нечетная, то такой же порядок образования цепной дроби можно применить для функции 1/F(p).

Проиллюстрируем изложенное выше на том же примере, который был рассмотрен в конце предыдущего параграфа.

Пусть

F(p) Z(p) p5 6p3 8p. p4 4p2 3

Выделим часть Z(p), соответствующую ее полюсу p , т. е. представим Z(p) â âèäå F(p) A1p + Z1(p). Здесь

Обратная остатку Z1(p) функция

имеет полюс p . Выделяя соответствующую ему часть, получим