Добавил:

inmew Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сочинский Государственный Университет

Предмет:

Электрооборудование подстанций промышленных предприятий

Файл:

Теоретические основы электротехники-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.04.2018

Размер:

5.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 5711 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 10.

Расчет переходных процессов операторным методом 103

(p)

22 (p)

(p)

Z12

(p)

22 (p);

D(p)

2 (p)

Z 21(p)

11(p)

Z11

(p)

22 (p);

D(p)

D(p) Z11(p)Z 22 (p) [Z12 (p)]2 .

Рассмотрим вид этих функций, когда å1 Å0 const è å2 Em sin t. Соответственно,

E1	(p)	E	0	è	E 2 (p)	E m	.
		p				p2 2

Подставляя значения Z11(p), Z22(p), Z12(p), а также E11(p) è E22(p) äëÿ òîêà

I1(p), например, получим
		I	(p)		E 0G1(p)							E m G2 (p)										uC 2 (0)G3 (p)
		I	(p)
		1			pH1(p)					(p2 2 )H1(p)													pH1(p)
					pH1(p)					(p2 2 )H1(p)													pH1(p)
			L1i1L (0)G4 (p)						L3 i3L (0)G5 (p)														G(p)						,
																													,
				H1(p)								H1(p)								p(p2 2 )H1(p)
ãäå
H	1	(p) a p3		a p2			a p a							L L		3	p3 [L				3	(r	r	) L				(r		r )]p2
	1	3		2			1	0						1		3					3	1	2				1	2		3
															L		1	L	3				r r
				)r1(r2 r3 ) r2 r3													1		3	, p			1		3	;
				)r1(r2 r3 ) r2 r3														C2		, p			C2			;
				(														C2		+			C2
		G (p) G				4	(p) pZ				22		(p) (r r )p 1 C											2	L		3	p2 ;
			1			4					22							2	3					2			3

G2 (p) G3 (p) pZ12 (p) p(r3 pL3 ); G5 (p) pZ 2 (p) r2 p 1C2 .

В полученном выражении I1(p) первые два члена определяют ток в переходном процессе при включении цепи под действие ЭДС e1 è e2. Последние три члена определяют ток переходного процесса, возникающего в цепи за счет ненулевых на- чальных значений токов в катушках L1 è L3 и напряжения на конденсаторе C2. Если до размыкания ключа ток в катушке L3 отсутствовал, то i3L(0) 0 и член, содержащий этот ток, отсутствует. Из полученных выражений вытекает также возможность расчета переходного процесса наложением переходных процессов, рас- считанных отдельно от каждой ЭДС, начальных токов и напряжений.

Как видно из данного примера, операторное изображение тока представляет собой рациональную дробь, где и числитель, и знаменатель являются полиномами оператора p. В следующем параграфе будет рассмотрен способ перехода от изображения к оригиналу, в котором используются некоторые свойства рациональных дробей. В некоторых случаях эти дроби можно привести к виду, представленному в таблицах, в которых даны соответствующие им оригиналы. Однако в этих таблицах (например, Диткин В. А., Кузнецов П. И. Справочник по операционному исчислению) такие формулы приведены для полиномов H1(p) относительно низкого порядка.

104 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

10.5. Переход от изображений к оригиналу. Теорема разложения

Для нахождения оригинала представим изображение, полученное в виде рациональной дроби, простейшими слагаемыми, для которых известны оригиналы. С этой целью воспользуемся теоремой разложения. Пусть имеется изображение в виде

X(p) G(p) ,

H(p)

ãäå G(ð) è Í(ð) — полиномы от ð. Здесь будем предполагать, что степень m полинома в числителе меньше степени ï полинома в знаменателе (ò < ï). В дальнейшем, в гл. 12, снимем это ограничение и увидим, что при ò ; ï появляются ЭДС, токи и напряжения, имеющие импульсный характер, т. е. принимающие бесконечно большие значения в течение бесконечно малых интервалов времени. Не рассматривая здесь таких импульсных функций, являющихся, по сути дела, результатом идеализации реальных ЭДС, токов и напряжений, будем полагать ò < ï.

Предположим, кроме того, что уравнение Í(ð) 0 не имеет кратных корней, а также не имеет корней, равных корням уравнения G(ð) 0. При указанных условиях рациональную дробь можно разложить на простейшие дроби:

G(p)

H(p)

p p

p p p p

k 1

ãäå p1, p2, ..., ðï — корни Í(ð). Для определения коэффициентов Ak можно воспользоваться одним из многих приемов, известных из алгебры. Умножив обе части равенства на (p – pk) и приняв ð ðk, получим справа Ak, а слева — неопределенность. Раскрывая эту неопределенность, находим

G(p)(p pk )

) lim

p pk

G(pk )

G(p

H(p)

p pk H(p)

H' (p

)

p pk

Таким образом,

k n

G(p)

G(pk )

X(p)

H(p)

p pk

H' (pk ) p pk

k 1

Òàê êàê

Λ A

epkt , то для искомой величины õ(t) имеем

p pk

k n

x(t)

G(pk )

epkt .

k 1 H' (pk )

Это равенство и называют т е о р е м о й р а з л о ж е н и я.

В частном случае, когда один из корней полинома Í(ð), допустим p1, равен нулю, то epkt 1 и соответствующий член в разложении обращается в постоянную величину. Выделяя этот член, напишем

	G(0)	k n	G(pk )
X(p) Λ x(t)				epkt .
	H' (0)		H' (pk )
		k 2

Полином Í(ð) может иметь корень, лежащий в начале координат (p1 0), когда в данной цепи имеются источники постоянной ЭДС (или источники посто-

Глава 10. Расчет переходных процессов операторным методом

105

янного тока). Выделенный постоянный член представляет собой установившиеся ток или напряжение в цепи.

Åñëè Í(ð) имеет пару сопряженных чисто мнимых корней, лежащих на оси мнимых p1 j , p2 –j , то можно записать

	G( j )		G( j )	k n	G(pk )
X(p) Λ x(t)		ej t		e j t		epkt .
	H' ( j )		H' ( j )		H' (pk )
				k 3

Полином Í(ð) может иметь пару чисто мнимых сопряженных корней в слу- чае, если рассматривается переходный процесс при наличии в цепи источников синусоидальных ЭДС или источников синусоидальных токов. Два первых выделенных члена определяют синусоидальный ток или напряжение установившегося режима.

Для иллюстрации применения теоремы разложения рассмотрим некоторые примеры.

В качестве первого примера решим задачу о разряде конденсатора на цепь (r, L), рассмотренную ранее классическим методом (см. § 9.8). Пусть начальное напряжение конденсатора uC(0) U0, a начальное значение тока в катушке i(0) 0. Операторное выражение тока имеет вид

U(p) Li(0)

u (0)

I(p)

U 0

Z(p)

r pL 1 (pC)

U 0 L

p2 2−p 02

p 1 (LC)

òàê êàê U(p) 0. Следовательно, в данном случае G(ð) –U0/L è Í(ð) p2 +

+ 2−p /. Корни уравнения Í(ð) 0 будут p

1,2

−

− 2 2

. Òàê êàê

H' (p) 2p 2−, òî

G(p)

U 0

H' (p)

2(p −

Пользуясь теоремой разложения, получаем

i(t)

U 0

ep1t

U 0

ep2t

U 0

(ep1t ep2t ).

2L(p1 −

2L(p2 −

2L − 2 2

Пусть корни p1 è p2 равны друг другу: p1 p2 – − è − 0, т. е. полином Í(ð) имеет кратные корни. Предположив сначала, что p1 p2, получим только что найденное решение, обращающееся при p1 p2 в неопределенность. Раскрывая эту неопределенность при p1 p2, получим, как это было сделано в § 9.8, искомое решение в виде

iUL0 te−t .

Âболее общем случае, когда один из корней, допустим p1, полинома Í(ð) степени n имеет кратность q, рациональную дробь можно разложить на простейшие

ââèäå

106 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

G(p)

A11

A12

)

H(p)

(p p )q H

(p)

(p p )q

(p p )q 1

(

A1q

(p p )q s 1

p p

ãäå

d s 1 (p p )q G(p)

A1s

)

;

(s 1)

(dps 1

H(p)

+ p p

G(pk )

H(p

)

p )q

H (p

)

Оригинал функции

A1s

имеет вид

(p p )q s 1

A1s

t q s ep1t .

(p p )q s 1

(q s) !

Оригинал же функции

равен À

epkt .

p pk

Решим с помощью теоремы разложения задачу о включении цепи (r, L) под синусоидальное напряжение è Um sin ( t + u) при условии i(0) 0, рассмотренную ранее классическим методом (см. § 9.5). Изображение тока в цепи полу- чим, принимая во внимание, что Z(p) r + pL, а изображение синусоидальной функции имеет вид

u(t)

j t

U m e

j t

) Λ

1 U

U m

U(p).

(U m e

2 j

2 j p

p j

Операторное изображение тока в цепи определится из выражения

U(p)

U m

I(p)

1 )

U m

Z(p) 2 jL )(p j (p r L) (p j (p r L),

(

Применив теорему разложения, получим

U m

I(p)

)

U m

2 jL

)

j r L

p j

j r L

p r L

j r L p j

(

U m

j t

U m

j t

U m

t ,

)

j r L p r L ,

j L

r j L

2 j )r

j L

r j L

(

Глава 10. Расчет переходных процессов операторным методом

107

Группируя первый член с третьим и второй с четвертым и имея в виду, что ! arctg rL, находим

U m

i(t)

sin( t

!) sin(

!)e L .

r 2

)

2 L2 )

(

В качестве примера определения переходного тока в раз-

ветвленной цепи рассмотрим таковое при включении под

постоянное напряжение U0 цепи, приведенной на рис. 10.3,

при нулевых начальных условиях. Операторное сопротив-

ление такой цепи

Ðèñ. 10.3

Z(p) pL

p2 rLC pL r

1 (pC)

prC

Изображение приложенного напряжения U0 Λ U0/p.

Изображение тока представится в виде

U 0 (1 prC)

U 0

(1 prC)

U 0

(1 prC)

U 0 p

rLC

I(p)

Z(p)

p(p2 rLC pL r)

p(p2

2−p 02 )

p p

Таким образом,

G(p)

U 0

(1 prC);

rLC

H(p) p3 2−p2 2 p; H' (p)

3p2 4−p 2 ;

I(p)

G(p)

;

H(p)

p p p

p 0;

− −

2 2

;

− −

2 2 ;

U 0

(1 p rC)

A G(0)

U 0 ;

G(p2 )

rLC

;

(0)

H' (p2 )

p2 2(p2 −)

Тогда

i(t) U 0 r

A3 G(p3 ) H' (p3 )

rLC (1 p2 rC)

p2 2− 2 200

U 0	(1 p					rC)
rLC	(1 p				3	rC)
					3
								.
p3 2(p3				−)				.
		U 0				(1	p			rC)
		rLC				(1	p		3	rC)
ep2t									3		ep3t .


		p	3	2			− 2 2
			3							0

108 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Аналогично можно определить токи в остальных ветвях.

В заключение найдем оригинал изображения тока, полученного в предыдущем параграфе для цепи, приведенной на рис. 10.2, в виде

I(p)		G(p)			G(p)	,
I(p)	p(p2	2 )H		(p)	H(p)	,
	p(p2	2 )H		(p)	H(p)
		0	1

ãäå H 1(p) Ap3 + Bp2 + Cp + D A(p – p4 )(p – p5)(p – p6).

Для определения оригинала данной функции при помощи теоремы разложения необходимо прежде всего найти корни знаменателя рациональной дроби. В данном случае знаменатель Í(ð) имеет шесть корней: p1 0, p2 j , p3 – j , p4, p5, p6. Корни p4, p5 è p6 можно найти из уравнения третьей степени методами,

известными из курса математики. Оригинал искомого

тока запишется в виде

i(t)

G(0)

G( j )

ej t

G( j )

e j t

G(p4 )

ep4t

G(p5 )

ep5t

G(p6 )

ep6t .

H' (0) H' ( j )

H' ( j )

H' (p4 )

H' (p5 )

H' (p6 )

В этом выражении первый член определяет составляющую тока, постоянную во времени; второй и третий сопряженные члены — составляющую тока, изменяющуюся по синусоидальному закону. Эти три члена определяют установившийся режим в цепи. Последние три члена характеризуют затухающие составляющие тока. Они могут быть апериодическими, если корни p4, p5 è p6 вещественны, или колебательными, если два корня — комплексные сопряженные. Эти три последние члена определяют свободный ток в цепи. Как видно из приведенных примеров, пользуясь операторным методом, получаем полное решение, содержащее как установившуюся, так и свободную составляющие переходного процесса с учетом всех начальных условий.

10.6. Свойства корней характеристического уравнения

Рассмотрим любую сколь угодно сложную пассивную цепь, т. е. цепь, в которой отсутствуют источники энергии. В такой цепи может происходить только затухающий во времени свободный процесс, определяемый запасами энергии в магнитных и электрических полях в начальный момент времени. При использовании классического метода ток в любой k-й ветви в этом случае находится в результате решения однородного дифференциального уравнения.

Свойства корней i характеристического уравнения, соответствующего этому однородному дифференциальному уравнению, и рассмотрим в настоящем параграфе.

При использовании операторного метода сказанное относится к тем корням pi полинома Í(ð), которые определяют свободный процесс. Полином Í(ð) можно записать в виде произведения Í(ð) N(ð) Í1(ð), где корни уравнения N(ð) 0 определяются видом действующей в цепи ЭДС и характеризуют установившийся режим. Корни же уравнения Í1(ð) 0 определяют свободный процесс. Все это хорошо видно из примеров, приведенных в предыдущем параграфе.

Корни pi уравнения Í1(ð) 0 совпадают с корнями i характеристического уравнения, которое используется в классическом методе (pi i).

Глава 10. Расчет переходных процессов операторным методом

109

Первое свойство этих корней для пассивной электрической цепи заключается в том, что вещественные части всех корней должны быть отрицательными:

Re( j) 9 0.

Это свойство является прямым следствием того, что процесс должен быть затухающим.

Вторым свойством является то обстоятельство, что все комплексные корни должны быть попарно сопряженными, так как решения уравнения, определяющие действительные функции времени [ток i(t), напряжение è(t)], должны быть вещественными.

Третье свойство заключается в том, что чисто мнимые корни i j i è a* i – j i

должны быть простыми. Действительно, если бы такие корни имели каждый кратность ò > 1, то соответствующее им решение имело бы вид

(A0 A1t A2 t2 Am 1tm 1)sin i t.

Ïðè ò > 1 мы получили бы колебания с нарастающей до бесконечности амплитудой, чего не может быть, так как на рассматриваемую цепь не воздействуют источники энергии и первоначальный запас энергии в магнитных и электри- ческих полях цепи не может возрастать.

Ðèñ. 10.4

Ðèñ. 10.5

На рис. 10.4 показано расположение вещественных и сопряженных комплексных корней для реальной цепи, содержащей катушки, конденсаторы и резисторы.

Чисто мнимые корни могут быть только для цепей без потерь. На рис. 10.5 показано расположение сопряженных корней на мнимой оси для этого идеализированного случая.

Глава одиннадцатая

Спектральное представление непериодических функций — интегральное преобразование Фурье. Расчет переходных процессов методом частотных характеристик

11.1. Представление непериодических функций времени с помощью интеграла Фурье

Наряду с рассмотренными ранее классическим и операторным методами анализа переходных процессов может быть применен метод, в котором используются выражения токов и напряжений, являющихся функциями времени, с помощью интеграла Фурье. Сущность этого метода заключается в представлении непериодических функций в виде суммы бесконечного множества синусоидальных функций с бесконечно малыми амплитудами и с частотами, имеющими все возможные значения от – до + . Соответственно, этот метод может быть назван м е т о д о м ч а с т о т н ы х х а р а к т е р и с т и к или, короче, ч а с т о т н ы м м е - т о д о м. Как будет видно из дальнейшего, такое разложение непериодических функций имеет много общего с разложением периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье. Смысл такого разложения, по сути дела, тот же, что и при анализе процессов в линейных цепях, находящихся под действием периодиче- ского несинусоидального напряжения. Осуществляя такое разложение непериодического напряжения на синусоидальные составляющие, получаем возможность, пользуясь хорошо известными приемами расчета токов в цепи при синусоидальных напряжениях, найти токи в цепи от действия отдельных составляющих напряжения, а затем получить результирующий ток, пользуясь методом наложения.

Представление непериодических функций времени в виде интеграла Фурье можно получить, исходя из уже известного нам разложения периодических функций в ряд Фурье, представленного в комплексной форме (см. § 8.7):

	1	q			0
f (t)	1	ejq 1t F( jq 1),			ãäå2
f (t)		ejq 1t F( jq 1),			ãäå2
	T q				2	(*)
	T 2				1	(*)
	T 2				2
F( jq 1) f (t)e			jq t	dt.	2
F( jq 1) f (t)e			1	dt.	2
	T 2				3

В отличие от § 8.7 здесь угловая частота первой гармоники обозначена 1, т. е. снабжена индексом 1. Это необходимо, чтобы отличить ее от непрерывно изменяющейся частоты , о которой дальше будет идти речь.

Два последних выражения можно рассматривать как взаимно обратные преобразования, устанавливающие соответствие между f(t) è F (jq 1). Функция F (jq 1) представляет собой д и с к р е т н ы й с п е к т р функции f(t).

Глава 11. Спектральное представление непериодических функций

111

Предположим теперь, что f(t) — н е п е р и о д и ч е с к а я ф у н к ц и я. Чтобы получить ее выражение, пригодное для любого значения t, на основании выражений (*) будем рассматривать данную непериодическую функцию f(t) как периодическую с бесконечно большим периодом.

При беспредельном возрастании T разность 2#/T 1 между угловыми частотами любых двух смежных гармоник, равная угловой частоте 1 первой гармоники, будет стремиться к нулю. Соответственно, дискретное множество зна- чений частот перейдет в непрерывно изменяющуюся частоту .

Переписав первое выражение (*) в виде

	1	q
f (t)	1	ejq 1t F( jq )
f (t)		ejq 1t F( jq )
		1
	2# q

и устремляя к нулю, получим

f (t) 1 ej t F(j )d , (**)

т. е. ряд Фурье переходит при этом в и н т е г р а л Ф у р ь е. При этом функция F(j ) определится на основании второго выражения (*) в виде


F( j ) f (t)e j t dt.	(***)

Соотношение (***) называют п р я м ы м п р е о б р а з о в а н и е м	Ô ó ð ü å,

позволяющим найти по заданной функции f(t) соответствующую ей F(j ). Соотношение (**) называют о б р а т н ы м п р е о б р а з о в а н и е м Ф у р ь е,

дающим возможность по известной функции F(j ) найти f(t).

Если рассматривать включение электрической цепи в момент t 0 под действие ЭДС å (t) f(t), то имеем условие f(t) 0 ïðè t < 0, следовательно, в этом случае соотношение (***) принимает вид

F( j ) f (t)e j t dt

и называется при этом о д н о с т о р о н н и м п р я м ы м п р е о б р а з о в а н и е м Ф у р ь е.

Следует сделать существенную оговорку, что прямое преобразование Фурье имеет смысл, если интеграл в его левой части имеет определенное конечное зна- чение. Для этого недостаточно, чтобы функция f(t) удовлетворяла условиям Дирихле. В дополнение к ним является достаточным, чтобы f(t) была абсолютно интегрируема в пределах от – до + , т. е. чтобы существовал интеграл

f (t) dt.

Это, как правило, означает, что f(t) должна стремиться к нулю при t è ïðè t – .

112 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

11.2. Частотные характеристики

Функция F(j ) F( ) ej ( ) называется с п е к т р а л ь н о й или ч а с т о т н о й х а р а к т е р и с т и к о й функции f(t), так как она представляет собой непрерывный спектр функции f(t).

Обозначения F( ) и ( ) показывают, что модуль F и аргумент величины F(j ) являются функциями угловой частоты .

Соотношение (**) показывает, что непериодическая функция, удовлетворяющая вышеуказанным условиям, может быть представлена как сумма бесконечно большого числа гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитуда-

ìè 21# F( ) d и с частотами, занимающими весь диапазон от – до + .

Величина F( ), характеризующая зависимость амплитуды от частоты, называется а м п л и т у д н о - ч а с т о т н о й х а р а к т е р и с т и к о й. Величина ( ), характеризующая зависимость начальной фазы #/2 + от частоты, называется ф а з о ч а с т о т н о й х а р а к т е р и с т и к о й.

Так как спектральная характеристика
	1	F( )ej ( ) d
F( j )	2#	F( )ej ( ) d
	2#


		d
		d
			2#

представляет собой деленную на j комплексную амплитуду гармонической составляющей, отнесенную к единице изменения частоты f /(2#), то ее называют также с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т ь ю функции f(t).

Представим частотную характеристику в виде

F( j ) F( )ej ( ) F1( ) jF2 ( ).

При этом величина F1( ) называется в е щ е с т в е н н о й ч а с т о т н о й х а р а к - т е р и с т и к о й, а величина F2( ) — ì í è ì î é ÷ à ñ ò î ò í î é õ à ð à ê ò å ð è - ñ ò è ê î é.

Замечая, что F(j ) è F(–j ) являются сопряженными комплексными величи- нами, можем написать для их модулей и фаз

F( ) F( ); ( ) ( ).

Следовательно, F() является четной функцией , а ( ) — нечетной функцией. Поэтому, представив подынтегральную величину в выражении (**) в виде

ej t F( j ) F( )cos[ t ( )] jF( )sin[ t ( )],

будем иметь

ej t F( j ) e j t F( j ) 2F( )cos[ t ( )],

и, следовательно, выражение (**) можно переписать в форме

f (t) 1# 0 F( )cos[ t ( )]d ,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 5711 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Электрооборудование подстанций промышленных предприятий

#
06.03.201934.96 Кб29ИНСТРУКЦИЯ ПО ОХРАНЕ ТРУДА ПРИ РАБОТЕ С МЕГАОММЕТРОМ.docx
#
03.04.2017771.01 Кб157Переключения в эл.установках.pdf
#
03.04.20171.13 Mб611ПРАВИЛА охраны труда при эксплуатации эл.установок.pdf
#
03.04.20172.17 Mб21ПРАВИЛА устройства эл.установок.pdf
#
05.04.20184.76 Mб84Теоретические основы электротехники-1.pdf
#
05.04.20185.97 Mб93Теоретические основы электротехники-2.pdf
#
05.04.20183.9 Mб77Теоретические основы электротехники-3.pdf
#
19.02.20177.58 Mб11Электрические нагрузки пром предпиятий_1964.djvu