1.4.2 Метод узловых потенциалов

Режим любой электрической цепи практически полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа. Число уравнений в системе, составленных по этим законам можно сократить, используя метод узловых потенциалов. Этот метод основан на использовании первого закона Кирхгофа и закона Ома.

Метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа У=N_у-1, где N_у – количество узлов. Если узлы соединяются ветвями, содержащими только источники напряжения (их сопротивления равны нулю), то число уравнений уменьшится до У=N_у-N_н – 1, где N_y – число ветвей, содержащих только источники напряжения.

Сущность метода заключается в том, что составляется система уравнений:

,

(1.20)

где g₁₁ и g₂₂ – сумма проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлу 1 и узлу 2;

g₁₂ и g₂₁ – сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы;

∑Eg – алгебраическая сумма произведений ЭДС, примыкающих к узлу 1 или 2 на их проводимости.

Произведение Eg записывается с положительным знаком, если ЭДС направлена к узлу, и с отрицательным – если от узла. Произведение Eg составляется только для ветвей, в которых есть ЭДС.

∑J - алгебраическая сумма источников тока, присоединенных к узлу; со знаком «+» J, которые направлены к узлу, со знаком «–» – от узла.

Например, для схемы рисунка 1.11 определить токи в ветвях по методу узловых потенциалов.

Рисунок 1.11– Схема цепи для расчета токов по методу узловых потенциалов

Для расчета токов по методу узловых потенциалов необходимо составить только два уравнения, т.к. количество узлов равно трем, и поэтому, количество уравнений будет равно двум. Примем потенциал точки 3 равным нулю (φ₃=0). Тогда на основании уравнений (1.20) запишем систему уравнений для определения потенциалов точек 1 и 2:

(1.21)

g₁₁ и g₂₂ – сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлам 1и 2:

;

(1.22)

Сумма проводимостей, соединяющих 1 и 2 узлы:

(1.23)

Подставив числовые значения и решив систему уравнений (1.21), найдем потенциалы точек 1 и 2. После определения потенциалов в узлах, необходимо задаться условными направлениями токов в схеме рисунка 1.11.

Далее, применяя закон Ома для участка цепи, определяем токи:

(1.24)

1.5 Баланс активной мощности

При протекании тока по сопротивлению в нем выделяется тепло. На основании закона сохранения энергии: для любой электрической цепи сумма мощностей Р_и, развиваемая источниками электрической энергии, равна сумме мощностей Р_п, расходуемых в приемниках энергии:

,

(1.25)

где- алгебраическая сумма; положительна, если направления действия ЭДСЕ_k и тока I_k совпадают; - алгебраическая сумма; положительна, если напряжение на источнике токаU_k и его ток J_л совпадают по направлению; – арифметическая сумма всех сопротивлений на квадрат токов, по ним протекающим. При учете внутренних сопротивленийR_вн источников Р_и уменьшается на мощность потерь .