1.4.1 Метод контурных токов

Метод контурных токов используется для расчета любой линейной цепи. Его применение позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений по сравнению с числом уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, так как количество уравнений равно количеству контуров-ячеек. Для контурных токов должен выполняться второй закон Кирхгофа.

В каждом из контуров произвольно выбирают «+» направление контурного тока. Контурный ток – это условный ток, протекающий во всех ветвях контура, обозначается по номеру контура с двойным индексом .

Токи в общих для контуров ветвях определяются как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов (); алгебраическая сумма ЭДС всех ветвей входящих в контур, называется контурной ЭДС и обозначается двойным индексом; арифметическая сумма сопротивлений всех резистивных элементов, входящих в контур, называется собственным контурным сопротивлением и обозначается так же двойным индексом; арифметическая сумма сопротивлений резистивных элементов в общих ветвях двух контуров называется общим сопротивлением и обозначается.

Составим систему контурных уравнений для следующей схемы:

Рисунок 1.10 – Схема электрической цепи

Предположим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток , а в правом –. Для каждого из контуров составим уравнения по второму закону Кирхгофа. Учтем, что по смежной ветви с сопротивлениемтечет сверху вниз ток. Направления обхода контуров выбираем так же по часовой стрелке.

Для 1-го контура:

(1.13а)

или

(1.13б)

Для 2-го контура:

(1.14а)

или

(1.14б)

В уравнении (1.13 б) множитель при токе , который является суммой сопротивлений 1-го контура, обозначим через, а множитель при токе– это сопротивление смежной ветви, взятого со знаком «–», как .

Перепишем эти уравнения следующим образом:

(1.15)

где – собственное (или полное) сопротивление 1-го контура;– полное сопротивление 2-го контура;– сопротивление смежной ветви между 1-м и 2-м контурами, взятое со знаком «–»;– контурная ЭДС 1-го контура, в нее со знаком «+» входят те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура;– контурная ЭДС 2-го контура.

Если в схеме больше 2-х контуров, например, три, то система уравнений выглядит следующим образом:

(1.16)

Или в матричной форме:

=> ;;

(1.17)

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять по часовой стрелке.

Если в результате решения контурный ток окажется отрицательным, это означает, что в действительности направление его обратное принятому.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, ветви с исхемы) найденный контурный ток является истинным токам. В смежных ветвях (например, в ветви с сопротивлением) истинный ток равен разности контурных токов.

Общее решение системы «n» уравнений относительно тока :

,

(1.18)

где – определитель системы:

,

(1.19)

а – алгебраическое дополнение получается из определителя путем вычеркивания k-го столбца иn-й строки и уменьшением полученного определителя на .

Систему уравнений можно решить и способом подстановки.