2.4 Закон Ома в комплексной форме для цепей синусоидального тока

Составными элементами цепей синусоидального тока являются активное сопротивление, индуктивность и емкость. Термин сопротивление для цепей синусоидального тока не полный, т. к. сопротивление переменному току оказывают не только элементы цепи, в которых выделяется энергия в виде тепла (активные сопротивления), но и элементы, в которых энергия запасается в электрическом и магнитном полях. Такие элементы называются реактивными сопротивлениями и ими обладают индуктивность и емкость.

Синусоидальный ток в активном сопротивлении

Рассмотрим случай, когда начальные фазы отличаются от нуля. Ток и напряжение определены формулами

; ,

(2.20)

а начальные фазы тока и напряжения равны , т. е. ток и напряжение совпадают по фазе.

В комплексном виде ток и напряжение на резистивном элементе:

и

(2.21)

т. к. начальные фазы равны, то закон Ома для действующих величин в комплексной форме для резистивного элемента будет:

(2.22)

Рисунок 2.6 – Изменение мгновенных значений тока и напряжения на активном сопротивлении и векторная диаграмма при наличии начальной фазы

Индуктивность в цепи синусоидального тока

Любая обмотка (катушка) обладает индуктивностью L и активным сопротивлением R.. На схеме замещения катушку представляют в виде последовательно соединенных индуктивности и сопротивления.

Выделим из схемы одну индуктивность, удалив активное сопротивление. Если в индуктивном элементе течет ток:

,

(2.23)

то в катушке наводится ЭДС самоиндукции и появляется напряжение:

(2.24)

При этом амплитуды тока и напряжения соотносятся как:

,

(2.25)

где величина – индуктивное сопротивление [Ом].

Разность фаз показывает, что ток отстает по фазе от напряжения на угол .

,

(2.26)

Комплексные величины тока и напряжения равны:

и

(2.27)

Закон Ома в комплексной форме для индуктивного элемента

,

(2.28)

где – комплексное сопротивление индуктивного элемента.

Если начальный угол тока равен нулю, то графики мгновенных значений и векторная диаграмма выглядят следующим образом (рисунок 2.7). Но для реальной катушки индуктивности падение напряжение равно сумме напряжений на индуктивности () и на активном сопротивлении (). Тогда суммарный вектор напряжениябудет опережать ток на угол. Причем, гдеQ – добротность катушки.

Рисунок 2.7 – Изменение мгновенных значений тока и напряжения на индуктивном элементе и векторная диаграмма при начальном угле тока

Конденсатор в цепи синусоидального тока

Если приложенное к конденсатору напряжение не меняется во времени, то заряды на его обкладках неизменны и ток через конденсатор не проходит (). При изменении напряжения по синусоидальному закону

(2.29)

по этому же закону будет изменяться и заряд q конденсатора, который будет периодически перезаряжаться. Периодическая перезарядка конденсатора сопровождается протеканием через него зарядного тока:

(2.30)

Отсюда видно, что ток на конденсаторе опережает по фазе напряжение на 90⁰, т. е. разность фаз между током и напряжением

.

(2.31)

Амплитуды тока и напряжения связаны соотношением:

,

(2.32)

разделив которые на , получим соотношение для действующих значений:

(2.33)

где – емкостное сопротивление [Ом].

Закон Ома в комплексной форме записи:

,

(2.34)

где – комплексное емкостное сопротивление.

При прохождении синусоидального тока через конденсатор предполагается, что диэлектрик, разделяющий его пластины, является идеальным. Однако в реальном диэлектрике всегда имеются потери энергии, связанные c вязким трением при повороте дипольных молекул, а также наличием небольшой проводимости. Эти потери относительно малы, но если их требуется учесть, то составляют схему замещения, где параллельно емкости включают активное сопротивление, потери в котором имитируют потери энергии в реальном диэлектрике.

Тогда суммарный ток через конденсатор равен геометрической сумме двух токов: – через емкость и– через активное сопротивление.

Рисунок 2.8 – Схема замещения (а) и векторная диаграмма (б)

конденсатора, заполненного диэлектриком

В конденсаторе с диэлектриком ток опережает напряжение на угол (90⁰- δ), где δ называется углом диэлектрических потерь. Для реальных конденсаторов он выражается через tgδ и указывается в таблицах.