- •Лесосибирск 2012
- •Лекция 1 Основные понятия теории множеств
- •1 Понятие множества
- •2 Способы задания множеств
- •3 Сравнение множеств
- •Лекция 2 Операции над множествами
- •1 Операции над множествами
- •2 Свойства операций над множествами
- •Лекция 3 Соответствия и функции
- •1 Соответствия
- •2 Функции
- •Лекция 4 Бинарные отношения и операции над ними
- •1 Понятие бинарного отношения
- •2 Операции над бинарными отношениями
- •Лекция 5 Свойства и виды бинарных отношений
- •1 Свойства бинарных отношений
- •2 Виды бинарных отношений
- •Модуль II Основы комбинаторики Лекция 6 Основные понятия комбинаторики
- •1 Правила суммы и произведения
- •2 Выборки
- •Лекция 7 Методы решения задач комбинаторики
- •1 Метод включений и исключений
- •2 Метод рекуррентных соотношений
- •Модуль II Элементы теории графов Лекция 6 основные понятия теории графов
- •1 Понятие графа
- •2 Виды графов
- •3 Матрица смежности, инцидентности
- •4 Изоморфизм графов
- •Лекция 9 Операции над графами
- •1 Подграфы
- •2 Операции над графами
- •Лекция 10 Пути и связность в неориентированных графах
- •1 Основные определения
- •2 Обходы в графе
- •Лекция 9 Пути и связность в ориентированных графах
- •1 Виды связности
- •2 Выделение компонент сильной связности
- •Алгоритм выделения компонент сильной связности
- •Лекция 10 Расстояния в графах
- •1 Основные определения
- •2 Нахождение расстояний в графе
- •Алгоритм Дейкстры
- •Алгоритм Форда-Беллмана нахождения минимального пути в нагруженном ориентированном графе d из vнач в vкон.( vнач ≠ vкон)
- •Лекция 11 Деревья
- •1 Основные свойства деревьев
- •2 Нахождение центров дерева
- •3 Покрывающие деревья (остовы)
- •Алгоритм построения покрывающего дерева для произвольного невзвешенного графа g
- •Алгоритм выделения минимального остовного дерева в неориентированном взвешенном графе g
- •Лекция 12 Двудольные и планарные графы
- •1 Двудольные графы
- •2 Планарные графы
- •Лекция 13 Раскраски графов
- •1 Раскраски
- •2 Внешняя и внутренняя устойчивость. Покрытия
- •Лекция 14 Потоки в сетях
- •1 Постановка задачи нахождения максимального потока
- •2 Решение задачи
- •Заключение
- •Библиографический список
Модуль II Элементы теории графов Лекция 6 основные понятия теории графов
План лекции
Понятие графа
Виды графов
Матрица смежности, инцидентности
Изоморфизм графов
Ключевые слова: ориентированный, неориентированный граф, мультиграф, псевдограф, ребро, дуга, вершина, петля, изоморфизм, смежность, инцидентность.
1 Понятие графа
Графы являются существенным элементом математических моделей в самых разнообразных областях науки и практики. Они помогают наглядно представить взаимоотношения между объектами или событиями в сложных системах. Многие алгоритмические задачи дискретной математики могут быть сформулированы как задачи, так или иначе связанные с графами, например задачи, в которых требуется выяснить какие-либо особенности устройства графа, или найти в графе часть, удовлетворяющую некоторым требованиям, или построить граф с заданными свойствами.
Система, состоящая из непустого множества Vи бинарного отношенияЕ, определенного наV, называетсяграфом. Эту систему будем обозначать через G=(V,E). Элементы множестваVназываютсявершинами графаG=(V,E), а элементы отношенияЕ— егоребрами.
Вершины и ребра графа называются его элементами. Граф, содержащий конечное число элементов, называетсяконечным. Число вершин конечного графаGназывается егопорядком. Граф порядкап, имеющийтребер, называется (п,т)-графом.
Рисунок 5 - Пример графа
Пример.На рисунке 5 изображен граф порядка 6 с тремя ребрами, т.е. (6,3)-граф. Он образован множеством {1,2,3,4,5,6} вершин и множеством ребер {(4,5), (2,5), (5,6)}.
Если пара (u,v) является ребром графа, то вершиныии v называютсяконцамиэтогоребра, а про ребро говорят, что оносоединяет вершиныии v.
Ребро с совпадающими концами называется петлей.
2 Виды графов
Граф без петель называется простым.
Псевдографомназывается система, состоящая из непустого множестваV, элементы которого называются вершинами, и совокупностиЕ пар вершин, называемых ребрами. СовокупностьЕможет содержать одинаковые пары, а также пары с одинаковыми элементами, принадлежащимиV.
Таким образом, в псевдографе две вершины могут соединяться несколькими ребрами и, кроме того, могут встречаться петли (рисунок 6).
Рисунок 6 - Псевдограф
Псевдограф без петель называется мультиграфом( или графом с кратными ребрами) (рисунок 7).
Рисунок 7 - Мультиграф
То есть, в мультиграфе нет петель, а некоторые вершины могут быть соединены несколькими ребрами.
Граф G=(V,E) называется ориентированным, или орграфом, если принадлежащие множеству Е пары вершин являются упорядоченными. Ориентированные ребра называютсядугами. Ориентированность пары вершин, образующих дугу, означает, что одна из них считается началом, а другая — концом дуги. На рисунках направления от начала к концу дуг орграфа указываются стрелками (рисунок 8).
Иногда рассматриваются и смешанные графы, имеющие как дуги, так и неориентированные ребра. В таких графах неориентированное ребро (а, b) заменяет две дуги (а,b) и (b, а). Обычно направление дуги указывает, в какую сторону по ней возможно двигаться. Так как ребро не имеет ориентации, двигаться по нему можно в обе стороны (рисунок 9).
Рисунок 8 – Ориентированный граф
Рисунок 9 – Смешанный граф
Граф называется полным, если любые две его вершины соединены ребром. Граф, в котором нет ребер, называетсяпустым.