2 Свойства операций над множествами

Универсальным методом доказательства вышеприведенных равенств является доказательство, основанное на определении равенств двух множеств, т.е. два множества А и В равны тогда и только тогда, когда выполнены два включения: и .

Декартовым произведением двух множеств А и В является множество С, элементами которого являются все пары (a,b), . Порядок в паре очень важен, в общем виде.

Если А=В, то А×В называютдекартовым квадратом множества А и обозначаютА².

Определение. Декартовым произведением непустых множеств A₁, …, A_n называется совокупность всех n-ок вида (a₁, …, а_n), где (i = 1, …, n), и обозначается A₁ × … × A_n. Если хотя бы одно из множеств A₁, …, A_n пустое, то декартовым произведением множеств A₁, …, A_n будем называть пустое множество.

Если A₁ = … = A_n = А, то A₁ × … × A_n называют n-й декартовой степенью множества А и обозначают Аⁿ.

Лекция 3 Соответствия и функции

План лекции

1. Соответствия

2. Функции

Ключевые слова: область определения, область значений соответствия, всюду определенное, сюрьективное, инъективное, взаимно однозначное соответствие, функция, аргумент, значение функции.

1 Соответствия

Определение. Соответствием между множествами А и В наз. подмножество .

Определение. Если , то говорят, чтоb соответствует а при соответствии G.

Определение. Множество наз.областью определения соответствия, множество–областью значений соответствия.

Определение. Если , то то соответствие наз.всюду определенным или полностью определенным (в противном случае оно наз. частичным); если =А, то соответствие наз.сюрьективным.

Определение. Множество всех , соответствующих элементу, наз.образом b в А при соответствии G. Множество всех элементов а, которым соответствует элемент b, называется прообразом b в А при соответствии G.

Определение. Соответствие G наз. функциональным (или однозначным), если образом любого элемента из явл-ся единств. элемент из. СоответствиеG между А и В наз. взаимно однозначным, если оно всюду определено, сюрьективно, функционально, и кроме того, прообразом любого элемента из явл-ся единств. элемент из.

Пример. Круг G радиуса 1 с центром в точке (3, 2), т.е. множество пар действительных чисел (х, у), удовлетворяющих соотношению

,

задает соответствие между R и R (осью абсцисс и осью ординат)..

Рисунок 4 – Пример соответствия

Образом числа 4 при этом соответствии является единств. число 2, образом числа 3 – отрезок оси ординат. Этот же отрезокявл-ся отрезка оси абсцисс. Этот же отрезок явл-ся прообразом числа 2. Данное соответствие не является функциональным. Примером функционального соответствия между действительными числами служит дуга АВС.

2 Функции

Определение. Функцией наз. функциональное соответствие. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция f имеет тип (обозначение ).

Каждому элементу а из своей области определения функция f ставит в соответствие единств. элемент b из области значений. Это обозначается известной записью f(a)=b.

Определение. Элемент а наз. аргументом функции, b – значением функции на а.

Определение. Полностью определенная функция наз.отображением А в В.

Образ А при отображении f обозначается f(A).

Определение. Отображение типа часто наз.преобразованием множества А.

Определение. Функции f и g равны, если их область определения – одно и то же множество А и для любого f(a)=g(a).

Пример. 1) Функция f(x)=2^х является отображением множества R всех действ. чисел на множество R⁺ всех положительных действ. чисел.

2) Функция f(x)=arctgx – отображение множества R на интервал .

Определение. Функция типа назn-местной функцией. В этом случае принято считать, что функция имеет n аргументов: f(а₁, а₂,…, а_n)=b, где ₁, ,…,,

Сложение, умножение, вычитание, деление является двухместными функциями на R, т.е. функциями типа R².

Определение. Пусть дано соответствие . Если соответствиеH таково, что т. и т.т., когда, то соответствиеH наз. обратным к G и обозначается G^-1.

Определение. Если соответствие, обратное к функции , явл-ся функциональным, то оно наз.функцией, обратной к f и обозначается f^-1.

Так как в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, то для существования функции, обратной к требуется, чтобы каждый элементb из области значений f имел единственный прообраз. Это означает, что для функции обратная функция сущ. т. и т.т., когдаF является взаимно однозначным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пример. 1) функция sinx имеет тип . Отрезокна отрезок. Поэтому на отрезкедля нее сущ. обратная функцияarcsinx.

2) Для кодирующей функции обратной будет декодирующая функция, которая каждому коду ставит в соответствие закодированный этим кодом объект.