3 Сравнение множеств

Иногда приходится рассматривать и множество, не содержащее ни одного элемента. Оно называется пустым и обозначается . При задании множества характеристическим свойством не всегда известно, существует ли элемент с таким свойством. Например, мы говорим о множестве решений какого-либо уравнения, которое может и не иметь решения, т.е. это множество решений уравнения пустое.

Определение. Пусть А и В — непустые множества. Если каждый элемент множества А является вместе с тем и элементом множества В, то А называют подмножеством множества В (или А содержится в В, или В содержит А, или А включено в В) и обозначают . Положим, по определению, что пустое множествоесть подмножество любого множестваВ, в том числе и пустого.

Пусть, например, С — множество всех комплексных чисел; R — множество всех действительных чисел; Q — множество всех рациональных чисел; Z — множество всех целых чисел; N — множество всех натуральных чисел. Тогда .

Понятие подмножества определяет отношение между двумя множествами — отношение включения. Отметим простейшие свойства введенного отношения включения:

1. , т. е. любое множество А является подмножеством самого себя (рефлексивность);

2. если ,, то(транзитивность).

Чтобы в множестве А выделить подмножество В, добавляют к характеристическому признаку множества А то или иное дополнительное свойство Р(х) и обозначают это так: B = {|P(x)}. Например, {|x>0} — множество всех положительных действительных чисел.

Введем наряду с отношением включения множеств еще одно отношение — отношение равенства множеств.

Определение. Пусть А и В — два множества. Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является вместе с тем и элементом множества В, и обратно, каждый элемент множества В является и элементом множества А. Другими словами, множества А и В называются равными, если выполняются два включения: и.

Отношение равенства двух множеств, очевидно, удовлетворяет следующим условиям:

1. А = А (рефлексивность);

2. если А = В и В = С, то А = С (транзитивность).

Если и, тоА называют собственным подмножеством множества В и обозначают . Введенное отношениеназываетсяотношением строгого включения. Например, . Отношение строгого включения удовлетворяет следующему свойству: если и, то(транзитивность).

Лекция 2 Операции над множествами

План лекции

1. Операции над множествами

2. Свойства операций над множествами

Ключевые слова: объединение, пересечение, разность, декартово произведение множеств, дополнение множества

1 Операции над множествами

Во всех рассуждениях о нескольких множествах будем предполагать, что они являются подмножествами некоторого фиксированного множества, которое назовем универсальным или универсумом и будем обозначать E.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам А и В.

Это определение символически можно записать так: . Например,;.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.

Это определение символически можно записать так: . Например,.

Отметим, что объединение множеств А и В называют иногда суммой и обозначают А+В, а их пересечение — произведением и обозначают АВ.

Определение. Разностью множеств А и В называют множество, обозначаемое А\В и состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В.

Определение. Пусть А — подмножество множества E. Дополнением множества А в множестве E называют множество, состоящее из всех тех и только тех элементов из E, которые не принадлежат А, и обозначают .

Например, если E — множество всех целых чисел, А — множество всех четных чисел, то — множество всех нечетных чисел.

Операции объединения, пересечения, разности и дополнения множеств допускают наглядное графическое истолкование с помощью так называемых кругов Эйлера (или диаграмм Венна). Универсальное множество Е изображается при этом множеством точек некоторого прямоугольника, а его подмножества — в виде круга (или какой-нибудь другой простой области внутри этого прямоугольника).

Если изобразить таким образом множества А и В, то множества (рисунок 1),(рисунок 2) и (рисунок 3) изображаются заштрихованными областями.

Рисунок 1 - Рисунок 2 –Рисунок 3 -