Лекция 9 Операции над графами

План лекции

1. Подграфы

2. Операции над графами

Ключевые слова: подграф, стягивание ребра, дополнение графа, объединение, соединение, отождествление вершин, расщепление вершины.

1 Подграфы

Граф G₁ называется подграфом (или частью) графа G₂, если каждая вершина графа G₁ является вершиной графа G₂ и каждое ребро графа G₁ является ребром графа G₂. Про подграф G₁ можно также сказать, что он содержится в графе G₂.

Пример. Граф G₂ является подграфом графа G₁ (рисунки 11, 12).

Рисунок 11 – Граф G₁ Рисунок 12 – Граф G₂

2 Операции над графами

Пусть v — вершина графа G=(V,E). Графом, полученным из G удалением вершины v, называется граф G₁=(V₁,E₁), у которого V₁ = , а множество Е₁ получается из Е удалением всех ребер, инцидентных вершине v. Обозначение: G₁ = G — v.

Пример. Граф G₃ (рисунок 13) получен из графа G₁ (рисунок 11) удалением вершины 3.

Рисунок 13 – Граф G₃

Граф G₁=(V₁,E₁) называется подграфом графа G=(V, E), полученным удалением ребра , еслиV₁ = V и E₁ = Е\{r}. Обозначение: G₁=G- r.

Пример. Граф G₄ (рисунок 14) получен из графа G₁ (рисунок 11) удалением ребра (2,3).

Рисунок 14 – Граф G₄

При добавлении в граф G=(V, E) вершины получается графG₁=(V₁,E₁), у которого V₁ = и E₁ = Е. Обозначение: G₁ = G+v.

Пример. Граф G₆ (рисунок 16) получен добавлением вершины 2 из графа G₅ (рисунок 15).

Рисунок 15 – Граф G₅ Рисунок 16 – Граф G₆

Пусть r — ребро, не входящее в множество ребер графа G=(V, E), однако концы этого ребра принадлежат графу G. Говорят, что граф G₁=(V₁,E₁) получен из графа G G₁=(V₁,E₁) r, если V₁ = V и E₁ = . Обозначение: G₁ = G + r.

Пример. Граф G₇ (рисунок 17) получен из графа G₆ добавлением ребра (3,6).

Рисунок 17 Граф G₇

Множество всех вершин графа, смежных с вершиной v, называется окружением этой вершины и обозначается через N(v}.

Пусть v — одна из вершин графа G. Следующее преобразование графа G называется расщеплением вершины v:

1) окружение N(v) вершины v произвольным способом разбивается на два подмножества N₁ и N₂;

2) из графа G удаляется вершина v;

3) к полученному графу добавляются вершины v₁ и v₂ и ребро (v₁,v₂);

4) вершины из множества N₁ соединяются ребрами с вершиной v₁, а вершины из N₂ — с v₂.

Из этого определения следует, что расщеплением одной и той же вершины из одного графа можно, вообще говоря, получить несколько разных новых графов.

Пример. Графы G₉ и G₁₀ получены из графа G₈ расщеплением вершины v (рисунок 18).

Граф G₈ Граф G₉ Граф G₁₀

Рисунок 18 – Графы G₈, G₉, G₁₀

Пусть u и v — две вершины графа G, N₁ и N₂ — окружения этих вершин. Граф F называется графом, полученным из G отождествлением вершин u и v, если он получается из графа Н = G - {u, v} добавлением новой вершины и соединением этой вершины ребрами с каждой принадлежащей графу Н вершиной из множества (N₁N₂)\{u,v}.

Пример. Отождествим вершины v₁ и v₂ графа G₁₀. Окружение вершины v₁ состоит из вершин а и v₂. Окружение вершины v₂ образовано вершинами b, с, d, v₁. После удаления из G₁₀ вершин v₁ и v₂ получается граф G₁₁. Добавляя вершину е, получаем граф G₁₂. Соединяем ребрами вершину е с вершинами а, b, с, d, входившими в множество N (v₁) N(v₃) \ {v₁,v₃}, и получаем граф G₁₃ (рисунок 19).

Про граф, полученный из графа G отождествлением смежных вершин u и v, говорят, что он получен из G стягиванием ребра (u,v). Граф

Рисунок 19 – Графы G₁₁ (слева), G₁₂ (в центре), G₁₃ (справа)

G называется стягиваемым к графу G₁, если G₁ можно получить из G с помощью некоторой последовательности стягиваний ребер.

Пример. Стягиванием ребра (v₁, v₂) графа G₉ получается граф G₈. При стягивании ребра (v₁, v₂) графа G₁₀ также возникает граф G₈ (рисунок 18).

Если множество ребер подграфа G₁=(V₁,E₁) графа G совпадает с множеством всех тех ребер графа G, оба конца которых принадлежат V₁, то G₁ называется подграфом, порожденным множеством вершин V₁, и обозначается через G(V₁).

Если множество вершин подграфа G₁=(V₁,E₁) графа G совпадает с множеством концов всех его ребер, то G₁\ называется подграфом, порожденным множеством ребер E₁.

Граф Н называется дополнением графа G, если множества вершин этих графов совпадают и две вершины графа Н соединены ребром тогда и только тогда, когда они не являются смежными в графе G. Дополнение графа G обозначается через .

Граф G=(V, E) называется объединением двух графов G₁=(V₁,E₁) и G₂=(V₂,E₂), если

V= V₁ V₂ и Е= Е₁ Е₂.

Предположим, что графы G₁=(V₁,E₁) и G₂=(V₂,E₂) не имеют общих вершин. Говорят, что граф G=(V, E) получен соединением графов G₁ и G₂, если V = V₁ U V₂, a E состоит из всех ребер, принадлежащих графам G₁ и G₂, и всех ребер, соединяющих каждую вершину графа G₁ с каждой вершиной графа G₂.