Лекция 4 Бинарные отношения и операции над ними

План лекции

1. Понятие бинарного отношения

2. Операции над бинарными отношениями

Ключевые слова: бинарное отношение, пересечение, объединение, произведение бинарных отношений.

1 Понятие бинарного отношения

В математике для обозначения связи между предметами или понятиями используют термин «отношение». Например, отношение «меньше» в множестве действительных чисел, отношение подобия треугольников, отношения родства и старшинства в множестве людей и др. Это примеры отношений между двумя элементами (понятиями) так называемых бинарных отношений.

Определение. Бинарным отношением, определенным на паре множеств А и В, называется любое подмножество их декартова произведения А × В.

Если — бинарное отношение, а упорядоченная пара (а, b), где , ,принадлежит R, то это записывают либо (согласно определе­нию), либоR(а, b), либо aRb. Обозначение aRb исхо­дит из обозначений вида а = b, а < b, и др.

Если — бинарное отношение и А = В, то R называют бинарным отношением, определенным на множестве А.

Два бинарных отношения R₁ и R₂ равны тогда и только тогда, когда любая пара (а, b) из R₁ принадлежит вместе с тем и R₂, и обратно: любая пара (а, b) из R₂ принадлежит и R₁. Аналогично, тогда и только тогда, когда любая пара (а, b) из R₁ принадлежит вместе с тем и R₂.

Определение. Пусть — бинарное отношение, определенное на паре множеств А, В. Областью определения отношения R называется совокупность всех таких , чтохотя бы для одного.Областью значений отношения R называют множество всех таких , чтохотя бы для одного элемента.

Пусть А — произвольное множество. Множество А×A называют универсальным отношением, определенным на множестве А; любая пара (a₁, a₂), где , находится в этом отношении, поэтому его называют иногдавсюду истинным отношением. Пустое подмножество множества А² называют пустым отношением; ни одна из пар множества А² не находится в этом отношении, поэтому оно называется еще всюду ложным отношением. Отношение равенства, определенное на множестве А, совпадает с множеством так называемых диагональных пар: (а, а), где , и обозначаетсяе_A или просто е, если ясно, какое множество А рассматривается.

По аналогии с понятием бинарного отношения вводится и понятие n-арного (n-местного) отношения.

Определение. Пусть A₁, …, A_n — непустые множества. Всякое подмножество R их декартового произведения А₁×A_n называется отношением, определен­ным на системе множеств A₁, …, A_n.

Если A₁ = … = A_n = А, то отношение R, определен­ное на системе множеств A₁, …, A_n, называют n-арным (n-местным) отношением, определенным на множестве А.

2 Операции над бинарными отношениями

Так как бинарные отношения, определенные на фиксированной паре множеств А, В, являются подмножествами А×В, то над ними можно производить операции объединения, пересечения и дополнения (в множестве А×В). Так, если R, S — два бинарных отношения, опре­деленных па паре множеств А, В, то для любых , тогда и только тогда, когда aRb или aSb; тогда и только тогда, когдаaRb и aSb; тогда и только тогда, когда неaRb.

Помимо теоретико-множественных операций над отношениями важное значение имеют еще две операции над ними: обращение и умножение отношений.

Определение. Пусть — бинарное отношение, определенное на паре множеств А, В. Отношением, обратным к бинарному отношению R, называется отношение, определенное на паре множеств В и А и состоящее из всех тех и только тех пар (b, а), для ко­торых (, ).

Бинарное отношение, обратное к отношению R, обозначается R^–1. Таким образом, .

Если R — бинарное отношение «х является родителем у», то R^–1 — отношение «х является ребенком (сыном или дочерью) у».

Определение. Пусть — бинарное отношение, определенное на паре множеств А, В, а — бинарное отношение, определенное на паре множеств В, С. Произведением отношений R и S называется бинарное отношение, определенное на паре множеств А и С и состоящее из всех тех и только тех пар (а, с) (, ), для которых существует элемент х из В такой, что aRx и xSc.

Произведение бинарных отношений и обозначим черезRS. Таким образом, иa(RS)c тогда и только тогда, когда существует элемент такой, что aRx и xSc.

Теорема 1. Пусть ,,— бинарные отношения. Тогда произведения (RS)T и R(ST) определены и (RS)T = R(ST). То есть умножение бинарных отношений ассоциативно.

Теорема 2. Пусть ,— бинарные отношения. Тогда выражения (RS)^–1 и S^–1R^–1 определены и имеет место равенство (RS)^–1 = S^–1R^–1.