- •Лесосибирск 2012
- •Лекция 1 Основные понятия теории множеств
- •1 Понятие множества
- •2 Способы задания множеств
- •3 Сравнение множеств
- •Лекция 2 Операции над множествами
- •1 Операции над множествами
- •2 Свойства операций над множествами
- •Лекция 3 Соответствия и функции
- •1 Соответствия
- •2 Функции
- •Лекция 4 Бинарные отношения и операции над ними
- •1 Понятие бинарного отношения
- •2 Операции над бинарными отношениями
- •Лекция 5 Свойства и виды бинарных отношений
- •1 Свойства бинарных отношений
- •2 Виды бинарных отношений
- •Модуль II Основы комбинаторики Лекция 6 Основные понятия комбинаторики
- •1 Правила суммы и произведения
- •2 Выборки
- •Лекция 7 Методы решения задач комбинаторики
- •1 Метод включений и исключений
- •2 Метод рекуррентных соотношений
- •Модуль II Элементы теории графов Лекция 6 основные понятия теории графов
- •1 Понятие графа
- •2 Виды графов
- •3 Матрица смежности, инцидентности
- •4 Изоморфизм графов
- •Лекция 9 Операции над графами
- •1 Подграфы
- •2 Операции над графами
- •Лекция 10 Пути и связность в неориентированных графах
- •1 Основные определения
- •2 Обходы в графе
- •Лекция 9 Пути и связность в ориентированных графах
- •1 Виды связности
- •2 Выделение компонент сильной связности
- •Алгоритм выделения компонент сильной связности
- •Лекция 10 Расстояния в графах
- •1 Основные определения
- •2 Нахождение расстояний в графе
- •Алгоритм Дейкстры
- •Алгоритм Форда-Беллмана нахождения минимального пути в нагруженном ориентированном графе d из vнач в vкон.( vнач ≠ vкон)
- •Лекция 11 Деревья
- •1 Основные свойства деревьев
- •2 Нахождение центров дерева
- •3 Покрывающие деревья (остовы)
- •Алгоритм построения покрывающего дерева для произвольного невзвешенного графа g
- •Алгоритм выделения минимального остовного дерева в неориентированном взвешенном графе g
- •Лекция 12 Двудольные и планарные графы
- •1 Двудольные графы
- •2 Планарные графы
- •Лекция 13 Раскраски графов
- •1 Раскраски
- •2 Внешняя и внутренняя устойчивость. Покрытия
- •Лекция 14 Потоки в сетях
- •1 Постановка задачи нахождения максимального потока
- •2 Решение задачи
- •Заключение
- •Библиографический список
Лекция 5 Свойства и виды бинарных отношений
План лекции
Свойства бинарных отношений
Виды бинарных отношений
Ключевые слова: рефлексивное, симметричное, антирефлексивное, антисимметричное, транзитивное отношение, отношение эквивалентности, отношение порядка, разбиение множества.
1 Свойства бинарных отношений
Бинарное отношение R, определенное на множестве А, называется:
- рефлексивным, если для любого aRa;
- антирефлексивным, если для любого не выполняетсяaRa;
-симметричным, если для любых из аRb следует bRa;
- антисимметричным, если аRb и bRa влекут a=b.
- транзитивным, если для любых изaRb и bRс следует аRс.
Например, отношение ≤ на множестве R действительных чисел, а также отношение включения подмножеств некоторого множества являются рефлексивными и транзитивными, но не являются симметричными. Отношение < на множестве действительных чисел транзитивно, но не рефлексивно, не симметрично. Отношение «х является матерью у» не рефлексивно, не симметрично, не транзитивно.
2 Виды бинарных отношений
Определение. Бинарное отношение R, определенное на множестве А, называется отношением эквивалентности или просто эквивалентностью на множестве А, если R рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Примеры отношений эквивалентности:
отношение равенства в произвольной системе множеств;
отношение равночисленности, т.е. иметь одинаковое число элементов, в системе конечных множеств;
отношение «учиться в одной группе» в множестве студентов лесопромышленного факультета;
пусть F: A → B — отображение. Отношение σ, определяемое следующим образом: , является отношением эквивалентности наА. Оно называется ядерной эквивалентностью отображения F.
Пусть σ — отношение эквивалентности на множестве А, и пусть .
Определение. Множество всех таких элементов , чтохσа истинно, называют смежным классом множества А по эквивалентности σ, или классом эквивалентности, и обозначают [а]σ.
Теорема 1. Свойство I: . Свойство II: еслиaσb, то [а] = [b].
Лемма. Любые два смежных класса множества А по эквивалентности σ либо не пересекаются, либо совпадают.
Из леммы вытекает, что различные смежные классы не имеют общих элементов.
Определение. Совокупность всех различных смежных классов множества А по эквивалентности σ называется фактор-множеством множества А по эквивалентности σ и обозначается А/σ.
Определение. Каноническим отображением множества А на фактор-множестве А/σ по эквивалентности σ называется отображение, которое каждому элементу ставит в соответствие содержащий его смежный класс [a]σ.
Очевидно, это каноническое отображение сюръективно.
Отношения эквивалентности произвольного множества тесно связаны с понятием разбиения этого множества.
Определение. Разбиением (или расслоением) множества А называется система S непустых подмножеств множества А таких, что каждый элемент из А принадлежит одному и только одному подмножеству из системы S.
Подмножества из S называются смежными классами (или слоями) разбиения S.
Рассмотрим связи между отношениями эквивалентности некоторого множества и его разбиениями.
Теорема 2. Если σ — отношение эквивалентности на множестве А, то совокупность всех различных смежных классов множества А по эквивалентности σ является разбиением множества А.
Теорема 3. Пусть S — разбиение множества А, а σ — бинарное отношение на множестве А такое, что, по определению, хσу () истинно тогда и только тогда, когда вS есть подмножество М, для которого ,. Тогда σ — отношение эквивалентности на множествеА. Эта эквивалентность σ называется эквивалентностью, отвечающей разбиению S.
Теорема 4.Для любого множества А существует взаимно однозначное соответствие между множеством разбиений множества А и множеством отношений эквивалентности наА.
Определение. Бинарное отношение ρ, определенное на множестве А, называется частичным порядком, или отношением частичного порядка, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1) хρх для любого (рефлексивность);
2) из хρу и yρz следует xρz для любых (транзитивность);
3) из хρу и уρх следует х=у для любых (антисимметричность).
Множество А, на котором задан какой-нибудь частичный порядок, называется частично упорядоченным.
Примерами отношения частичного порядка являются: отношение включения на множестве подмножеств некоторого множества; отношение ≤ на множестве действительных чисел; отношение «х делит у» на множестве натуральных чисел.
Частичный порядок на множестве А будем обозначать символом ≤, и если a ≤ b для некоторых элементов , то будем говорить, чтоа меньше или равно b, а также, что а содержится в b или равно b. Если a ≤ b и а ≠ b, то будем писать а < b и говорить, что а строго меньше b или а строго содержится в b.
Определение. Элементы а, b множества А называются сравнимыми относительно частичного порядка ≤ на этом множестве, если a ≤ b или b ≤ a.
Определение. Пусть А — частично упорядоченное множество с частичным порядком ≤. Элемент называется наибольшим элементом, если х ≤ а для любого . Элемент называется наименьшим элементом, если b ≤ х для любого .
Частично упорядоченное множество может обладать или не обладать наименьшим или наибольшим элементом. Однако если частично упорядоченное множество обладает наибольшим (наименьшим) элементом, то он единственный.
Определение. Максимальным элементом частично упорядоченного множества А называется такой элемент , что каждый элементх из А либо не сравним с а, либо х ≤ а, т.е., другими словами, если А не содержит элементов, строго больших а. Минимальным элементом частично упорядоченного множества А называется такой элемент , что каждый элементx из А либо не сравним с b, либо b ≤ х, т.е. если А не содержит элементов, строго меньших b.
В отличие от наибольшего (наименьшего) элемента частично упорядоченное множество может содержать несколько максимальных (минимальных) элементов.
Лемма. Всякий наибольший элемент частично упорядоченного множества является максимальным, а всякий наименьший — минимальным.
Определение. Пусть а, b — элементы частично упорядоченного множества А. Элемент а называется непосредственно меньшим (непосредственно предшествующим) для элемента b, а b — непосредственно большим (непосредственно следующим) за а, если a < b и не существует элемента , который удовлетворял бы отношениюa < х < b.
Определение. Частичный порядок на множестве А называется линейным порядком, если любые два элемента из А сравнимы относительно ≤. Множество А, на котором задан какой-либо линейный порядок, называется линейно упорядоченным множеством, или цепью. Примером линейно упорядоченного множества может служить множество всех действительных чисел с обычным отношением ≤.
Отметим, что в случае линейно упорядоченного множества его максимальный (минимальный) элемент является также наибольшим (наименьшим).
Теорема 5. Следующие свойства частично упорядоченного множества А равносильны:
(условие минимальности). Всякое непустое подмножество множества А является частично упорядоченным множеством, содержащим минимальные элементы;
(условие индуктивности). Если все минимальные элементы множества А обладают некоторым свойством Р и из того, что все элементы х из А, удовлетворяющие условию х < а, обладают свойством Р, вытекает, что элемент а также обладает свойством Р, то свойством Р обладают все элементы
Определение. Линейно упорядоченное множество, удовлетворяющее условию минимальности (а следовательно, и остальным условиям теоремы), называется вполне упорядоченным множеством.
Определение. Элемент а вполне упорядоченного множества А, не имеющий непосредственно предшествующего, называется предельным.