Страхование

такое значение и, при котором площадь под графиком плотности распределения будет больше или равна у.

График функции плотности распределения для случайной вели чины X представлен на рис. 26.1.

Функция

плотности

распределения

J и Сумма выплат х

С вероятностью у % сумма убытков

Необходимо по известному

(выплат) страховщика будет находиться в этих пределах закону распределения

и вероятности у % найти эту величину убытков (выплат) и

Рис. 26.1. График плотности распределения суммы выплат. Обший подход к определению необходимой величины страховою фонда

Существуют таблицы нормального распределения, по которым можно найти значения для функции распределения Ф(а) для цент рированной нормированной случайной величины

1

Ф(К )=—f

Случайная величина А называется центрированной и нормиро ванной, если ее математическое ожидание равно нулю, а среднеквад ратическое отклонение равно единице. Случайная величина X, ха рактеризующая сумму выплат страховщика, не является центриро ванной и нормированной, так как она, в общем случае, имеет отличные числовые характеристики т Л > 0 и а , * 1 , Однако ее можно выразить через центрированную нормированную случайную величи ну А следующим образом:

X = А а, +

Отсюда следует, что

А = Х т,

3. Методика расчета тарифных ставок по рисковым видам1 страхования 665

Тогда

В результате исходное неравенство примет вид:

Предположим, существует такое значение а, при котором

(а.) =у. Тогда

По определению функция распределения является неубываю щей, следовательно, можно записать следующее неравенство:

и > ms + а о,.

Параметры распределения тх и о, нам известны. Остается опре делить значение а, которое с вероятностью у гарантировало бы пре вышение собранных премий над выплатами. Величина а называется

квантилем нормального распределения. Ее можно определить по табли це функции Ф(а). Значение а зависит от вероятности у: чем выше требуется гарантия безопасности, тем больше будет а. Для примера в табл. 26.3 приведены значения а для часто используемых значений гарантии безопасности у.

Та б л и ц а 26.3. Соотношении значений гарантии безопасности

истрахового фовда

Например, если величину гарантии безопасности у принять рав ной 98%, то для определения необходимой величины страхового фонда к ожидаемой величине убытков ту необходимо прибавить двойное среднеквадратическое отклонение суммы выплат а,:

666Глава 26. Тарификация риековьа видов страхования

•Графически данное выражение для определения необходимой ве личины страхового фонда проиллюстрировано на рис. 26.2.

Функция

плотности

распределения

f{x]

Необходмэя величина страхового фонда и равна сумме выплат, которая

с вероятностью у% не будет превышена

Рис. 26.2. Графическая интерпретация выражения для определения необходимой величины страхового фонда

Таким образом, для определения величины страхового фонда, ко торого с заданной степенью вероятности должно хватить на выплату всех возмещений, необходимо знать математическое ожидание тх и среднеквадратическое отклонение о, суммы выплат X по данному виду страхования. Рассмотрим подробнее эту случайную величину.

Определение числовых характеристик случайной величины суммы выплат страховщика

Сумма выплат страховщика по данному виду страхования X скла дывается из выплат Y, по всем договорам N данного вида:

Убыток страховщика по / му договору Y: представляет собой слу чайную величину, которая распределена следующим образом:

• если страховой случай не наступил, то выплата по / му догово ру равна О,

• если страховой случай наступил, то выплата по / му договору может принять любое значение на промежутке от 0 до Si: где .?. — страховая сумма по / му договору.

Такое распределение можно получить с помощью произведения двух независимых случайных величин J; и Z,

Y = 1 7

где /,. — дискретная случайная величина, принимающая значение О, если страховой случай не наступил, и значение 1, если страховой слу чай наступил; Z, — непрерывная случайная величина, распределен ная на промежутке от 0 до 5; по некоторому закону распределения.

Случайная величина Jt является индикатором наступления страхо вого случая по / му договору.

Будем полагать, что по одному договору может произойти не бо лее одного страхового случая, вероятность наступления которого одинакова для всех договоров и равна д. Тогда эта случайная величи на J t может принимать значения }Л — 0 — страховой случай не насту • пил — с вероятностью р, = 1 g;ja = 1 — страховой случай насту пил — с вероятностью рг = д.

Это можно записать следующим образом:

|У,1 =° (Р, ^~Ф = 1 (р2 =?)

Случайная величина Z, характеризует размер выплаты при стра ховом случае. Эта величина может принимать любое значение на промежутке от 0 до S,, где 5, — страховая сумма по / му договору. За кон распределения случайной величины на указанном промежутке

Аналогичную структуру имеет и нетто премия: в ней также мож но выделить основную часть и рисковую надбавку. Сумма основных частей иетто премий обеспечивает 50% ную гарантию неразорения страховщика. Оставшиеся (у — 50)% покрывает рисковая надбавка.

Указанные положения иллюстрируются на графике, представлен ном на рис. 26.4.

Рис. 26.4. Графическая иллюстрация определения величины и составляющих страхового фонда

Кроме того, необходимо помнить о существовании небольшой вероятности того, что собранных нетто премий не хватит на все вы платы, так как величина гарантии безопасности всегда меньше 100%1.

Всю последовательность проведенных нами действий по выводу формулы для расчета нетто ставки по рисковым видам страхования можно • коротко представить следующим образом.

1.Страховщик предполагает сформировать страховой портфель, состоящий из большого количества договоров страхования.

2.Величина выплаты по каждому договору страхования является ^ случайной величиной. За редким исключением застрахованные объ

1 Причины того, почему гарантия безопасности не может быть равна 100%, pac ij сматривалисьв разделе, посвященном страховым премиям и страховым тарифам. —'I

Примеч. авт.

4. Практический расчет тарифных ставок по рисковым видан страхования 673

екты, а следовательно, и случайные величины выплат по ним явля ются независимыми один от другого.

3. Сумма выплат по всему портфелю договоров равна сумме вы плат по всем договорам. Следовательно, она также является случай ной величиной.

4.Согласно центральной предельной теореме, сумма большого количества независимых случайных величин распределена по нор мальному закону (закону распределения Гаусса). Теория вероятности позволяет определить параметры этого распределения на основе дан ных по случайным величинам, составляющим сумму. Таким обра зом, известен закон и параметры распределения суммы выплат стра ховщика.

5.Страховщик задает для себя уровень безопасности страховых операций у, представляющий собой вероятность, с которой он хо чет быть уверен в том, что собранных нетто прсмий хватит на все выплаты.

6.В соответствии с принятой степенью безопасности по закону распределения суммы убытков страховщик может найти величину выплат, которая с заданной вероятностью не будет превышена. В та ком размере и необходимо сформировать страховой фонд.

7.Исходя из требуемого размера страхового фонда, определяется величина нетто ставки, обеспечивающей его создание. Нетто ставка по рисковым видам страхования состоит из основной части и риско вой надбавки. Основная часть нетто ставки обеспечивает 50% ную вероятность неразорения страховщика, а оставшиеся (у 50)% веро ятности дает рисковая надбавка.

При выводе формулы для расчета нетто ставок по массовым рис ковым видам страхования мы использовали следующие допущения:

•имеется большое количество однородных независимых за страхованных рисков;

•разброс страховых сумм по всем застрахованным рискам невелик;

•псе договоры заключаются на одинаковый срок;

•по одному договору может произойти не более одного страхо вого случая.

4. Практический расчет тарифных ставок по рисковым видам страхования

Расчет тарифных ставок производится по группам страхуемых объектов в соответствии с разработанной тарификационной систе мой. В результате этого расчета страховщик должен получить для

каждой группы базовую тарифную (брутто ) ставку. Расчет брут то ставки по рисковым видам страхования, как. впрочем, и по оста льным видам, осуществляется по общей формуле:

г д е / — доля нагрузки в брутто ставке, задаваемая страхоыцико.м и выраженная в процентах брутто ставки.

Как правило, доля нагрузки принимается одинаковой для всех тарификационных групп в рамках одного страхового продукта. Для каждой'категории страхуемых объектов должна быть рассчитана своя нетто ставка.

В предыдущем параграфе была получена формула для расчета та рифных ставок по рисковым видам страхования. Согласно этой фор муле, нетто ставка состоит из основной части и рисковой надбавки. Перед началом расчета страховщик должен выбрать приемлемую для себя величину гарантии безопасности. Кроме того, для расчета со ставляющих нетто ставки необходимо знать

•вероятность наступления страхового случая q;

•математическое ожидание величины страховой суммы S;

•математическое ожидание величины выплаты по одному стра ховому случаю 5П;

•дисперсию величины выплаты по одному страховому слу чаю ЛЕг.

Указанные величины являются параметрами теоретического рас пределения убытков, они объективно характеризуют риск страховщика и, следовательно, определяют величину страхового тарифа. Однако в реальной жизни страховщик не знает параметров теоретического рас пределения. Все, что может наблюдать страховщик, это конкретные ре ализации случайных величин, т.е. конкретные страховые суммы и ущербы. Возникает необходимость оценки объективных показателей, которыми являются вероятность наступления, математическое ожида ние и дисперсия ущерба, с помощью имеющихся статистических дан ных о страховых случаях. Точность такой оценки зависит от количества и достоверности располагаемых данных. Указанные данные страхов щик может получить из:

• внутренних источников, прежде всего из данных бухгалтерско го учета и автоматизированной системы учета договоров;

• внешних источников, к которым относятся федеральные и ре гиональные органы статистики, ассоциации страховщиков и создан ные ими специальные статистические и технические организации, а также статистические управления городских и районных админист

4. Практический растет тарифных ставок по рисковым вилам страхования 675

раций или различных ведомств (управления государстиенной пожар ной службы, Госавтоинснекнии. бюро медицинской статистики

и т.д.).

Информация, полученная из различных источников, имеет свои достоинства и недостатки. В частности, внутренняя статистика по договорам страхования позволяет оценить не только частоту страхо вых случаев, средний размер страховой суммы и выплат, но и дис персию этих показателей. Однако объем выборки, на основе которой получаются данные, ограничен количеством договоров, заключен ных данной страховой компанией по интересующему виду страхова ния. Поэтому весьма вероятны отклонения характеристик, обуслов ленные недостаточным объемом и нерепрезентативностью выборок. Напротив, оценки показателей, полученные из внешних источников, как правило, более надежны, поскольку основаны на данных по все му городу или району. Но среди них практически никогда не удается найти информацию о типично страховых показателях, например та ких, как отношение ущерба к стоимости пострадавшего имущества. Исключение из этого правила составляют данные национальных ассоциаций страховых компаний и специальных технических орга низаций, созданных при участии страховщиков (в частности, евро пейской Пленарной ассамблеи страховых обществ по страхованию ущерба — Assamblee pleniere dei, societes d'assurances dommages). В России до настоящего времени нет подобных организаций, а суще ствующие союзы страховщиков еще не подошли к решению проблем сбора и анализа данных, необходимых для надежной тарификации страховых продуктов. Таким образом, страховой компании, по воз можности, приходится комбинировать внешние и внутренние источ ники. Далее мы рассмотрим подход к определению тарифных ставок на основе собственных данных страховой компании по закончив шимся договорам страхования и особенности расчета нетто ставок при разработке нового страхового продукта.

Расчет тарифных ставок на основе данных по закончившимся договорам страхования

Рассмотрим порядок расчета тарифной ставки по массовому рис ковому виду страхования на основе данных, собранных страховой компанией в процессе проведения данного вида страхования. Для расчета выбирается некоторая совокупность договоров страхования. При выборе этих договоров необходимо, чтобы:

•все застрахованные объекты были достаточно однородны (го

могенны);

676Глава 26. Тарификация рисковых видов мраховйния

1 • количество договоров в совокупности должно быть как можно больше;

•все договоры были заключены на один и тот же срок (напри мер, на один гол);

•к моменту расчета полностью истек срок их действия.

Кроме того, желательно, чтобы все отобранные договоры действо вали в пределах одного и того же периода. Это требование связано с тем, что вследствие изменяющейся экономической ситуации показа тели страховых сумм и выплат, а иногда и частоты страховых событий существенно изменяются во времени. Поэтому рекомендуется рассчи тывать тарифы на основе данных по недавно закончившимся догово рам, например за прошлый год, несмотря на то что это входит в про тиворечие с требованием отбора максимально возможного количества договоров.

Еще одно требование состоит в том, чтобы условия договоров из рассматриваемой совокупности в части, касающейся страховых событий и расчета выплат, были идентичны условиям страхового продукта, для которого производится расчет тарифов. Разные способы расчета выплат {например, с применением франшизы и без нее) будут искажать реальную картину выплат и могут приве сти к недостаточности рассчитанных на их основе тарифных ста вок.

Итак, предположим, что все эти требования соблюдены и стра ховщик отобрал в качестве исходной совокупности N договоров. Страховые суммы по этим договорам составляли

5, , ... , $; , ... , SN (всего Л'договоров).

Поскольку эти договоры уже закончились, можно определить окончательное количество страховых случаев и сумм убытков. Следу ет еще раз подчеркнуть, что при расчете тарифов необходимо рас сматривать только закончившиеся договоры, заключенные на один и тот же срок, так как в противном случае рассчитанные на их основе оценки показателей могут оказаться неверными.

Допустим, по рассматриваемым /V договорам произошло М стра ховых случаев и выплаты составили

5,1 , ... , Sv , ... , ScM (всего М страховых случаев).

В качестве оценки вероятности наступления страхового случая q будет использоваться показатель частоты страховых случаев q (здесь и далее мы будем обозначать оценки параметров с помощью значка " над обозначением параметра). Частота страховых случаев может быть рассчитана как отношение количества страховых случаев, наступив

4. Практический..расчет тарифных ставок по рисковым видам страхования 677

ших по договорам из выделенной совокупности, к объему этой сово купности, т.е.

,М

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Использовать показатель частоты в качестве оценки вероятности ущерба можно лишь в том случае, когда частота меньше единицы, т.е. когда М меньше N. Это требование будет выполняться ,при условии, что по договору может произойти не более одного страхового случая. В других случаях этим соотношением можно пользоваться, если вероятность наступления ущерба существенно меньше единицы. Данная методика не применима, если изначально предполагается несколько страховых случаев за время действия договора. Рассмот рим, например, договор добровольного медицинского страхования сроком на один год. Допустим, страховым случаем считается визит к врачу. Поскольку можно с уверенностью утверждать, что в тече ние года средний гражданин обращается за медицинской помощью несколько раз, то и частота страховых случаев по данному догово ру будет больше единицы. В результате для тарификации такого страхового продукта рассматриваемую методику определения нетто ставок применять нельзя. В этом случае расчет тарифов мо жет быть проведен другими методами, например через убыточ ность страховых сумм.

Перейдем к определению оценок остальных параметров. Как известно из теории вероятностей и статистики, среднее значение является состоятельной несмещенной оценкой математического ожидания теоретического распределения. Поэтому в качестве оце нок математического ожидания величины убытка страховщика по одному страховому случаю SK можно использовать среднее значе ние выплаты по одному случаю 5В , которое рассчитывается по формуле

Согласно этому выражению, основную часть нетто ставки можно рассчитать как отношение суммы выплат по закончившимся догово рам данного вида к совокупной страховой сумме по этим договорам. В страховании такое отношение называется показателем убыточно

сти страховой суммы.

Таким образом, основная часть нетто ставки равна убыточности страховой суммы по данному виду договоров. Это отражает «физиче ский» смысл основной части нетто ставки и страховых тарифов во обще. Поскольку значение убыточности с течением времени может колебаться, то необходимо создать запас средств для покрытия воз можных отклонений показателя убыточности от расчетного значе ния. Этот запас устойчивости создается за счет введения в

нетто ставку рисковой надбавки, величина которой определяется по полученной ранее формуле в соответствии с выбранным уровнем га рантии безопасности.

Особенности расчета тарифных ставок при подготовке нового страхового продукта

Мы рассмотрели случай, когда расчет тарифных ставок произво дился на основе статистических данных по договорам страхования. Такая постановка задачи предполагала, что страховая компания в те

4. Практический расчет тарифных ставок по рисковым вилам страхования 679

чение некоторого времени уже осуществляла данный вид страхова ния и у нее уже набралось достаточное количество закончившихся договоров, которые смогли дать необходимую информацию. Но рас чет тарифных ставок должен производиться и при подготовке нового вида страхования. Для получения лицензии на возможность осущест вления нового вида страхования страховая компания в числе прочих документов должна предоставить экономическое обоснование разме ра тарифных ставок. В подобных случаях также может применяться рассматриваемая методика, однако при этом расчет тарифов будет иметь ряд особенностей.

Как уже отмечалось выше, страховая компания при подготов ке нового вида страхования не имеет своих данных относительно вероятности и ожидаемой величины ущерба. Это заставляет стра ховщиков использовать внешние источники информации. Напри мер, при подготовке страхования автомобилей необходимые све дения о частоте и тяжести дорожных происшествий можно получить в управлениях Госавтоинспекции, для огневого страхо вания требуемые показатели могут быть рассчитаны на основе информации управлений Государственной пожарной службы и т.д. Однако, как правило, полученных из таких источников дан ных бывает недостаточно для оценки параметров величины вы плат и страховых сумм. Поэтому возникает необходимость упрос тить методику расчета.

В Методике расчета тарифных ставок по рисковым видам стра хования приводятся рекомендации относительно выбора величины отношения средней выплаты к средней страховой сумме. В частно сти, при страховании средств наземного транспорта значение дан ного отношения следует принимать не ниже 0,4; при страховании от несчастных случаев и болезней его величина не должна быть ниже 0,3 и т.д. Однако необходимо отметить, что такой способ оценки является очень приблизительным, поскольку соотношение выплат и страховых сумм в значительной степени зависит от вида риска и условий договора страхования, касающихся выплаты возме щения.

Еще одна особенность связана с определением рисковой надбав ки. Поскольку страховщик не располагает данными относительно ве личины дисперсии выплат R^, то используется упрощенная прибли зительная формула для расчета рисковой надбавки:

Содержание раздела VI

Глава 27. Суишость, формы и юридические основы перс страхования 1. Экономическое содержание Н история развития перестраховкигия •> 2. Участники

рынка перестрахования С 3. Формы перестрахования •* 4. Юридические основы пере

страхования

Глава 28. Техника перестрахования

1. Основные понятия техники перестрахования •> 2. Взаимные расчеты <• 3. Пропории

он&чьное перестрахование • 4. Непропорциональное перестрахование

Р а з д е л VI Перестрахование

Глава 27, Сущность, формы и юридические основы перестрахования

1. Экономическое содержание и история развития перестрахования

Экономическое содержание перестрахования

Перестрахование — это независимый вид страхования. Цель пе рестрахования заключается в защите страховщика от возможных фи нансовых потерь, которые ему придется нести по собственным дого ворам страхования, если он не защитится перестрахованием. Объем зашиты в каждом случае определяется договором перестрахования. С помощью перестрахования страховщик может увеличить емкость своего страхового портфеля посредством заключения договоров пря мого страхования по рискам, превышающим по своей полной стои мости его финансовые ресурсы. Благодаря перестрахованию страхо вая компания поддерживает необходимое равновесие в своей деятельности, которая постоянно находится под угрозой многих фак торов. К таким факторам относятся и случайные колебания в разви тии убыточности, и вероятность катастроф, способных причинить колоссальный убыток, особенно в ситуации кумуляции убытка, когда страховщик несет ответственность по многочисленным страховым полисам из за одного события.

Существует множество определений перестрахования. Классиче ское определение было дано в законодательстве Великобритании в XIX в., где перестрахование трактовалось как новое страхование уже застрахованного риска, предназначенное для того, чтобы обезопа сить страховщика от ранее принятых рисков. Самое краткое опреде ление дано в Немецком Торговом уставе (§ 779); «Перестрахование — это страхование риска, взятого на себя страховщиком».