Высшая математика ч2 (3.сем)

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

У

Кафедра высшей математики № 1

Т

Н

и

Б

ВЫСШАЯй

р

Сборник заданий

МАТЕМАТИКА

т

и

з

о

Ч а с т ь 2

п

е

Р

Кафедра высшей математики № 1

У

Т

ВЫСШАЯ

Н

й

МАТЕМАТИКАБ

р

Сборник задан

для аудиторной и самостоятельной работы

о

специальностей

студентов инженерно-техническихи

т

В 2 частях

з

Издание 2-е

о

и

Ч а с т ь 2

п

е

Р

СОДЕРЖАНИЕ

I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. . . . . . . . . .

. . .

. .

. . . .

. 5

Занятие 1. Методы исследования сходимости знакоположительных

числовых рядов. Достаточные признаки. . . . . .

. . .

. .

. . . .

. 5

Занятие 2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная

У

сходимость. Знакочередующиеся ряды.

Т

Признак Лейбница

. . . . .

. . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

. 7

Занятие 3. Функциональные ряды. Область сходимости.

Степенные ряды

Н

9

. . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . . .

Занятие 4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена

. . . .

11

Б

Занятие 5. Разложение функций в степенные ряды. Применение

степенных рядов к приближенным вычислениям .

;.

. . . .

14

Занятие 6. Разложение функций в ряд Фурье на интервале

,

й

17

четных и нечетных функций . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

и

Занятие 7. Вычисление двойных и тро ных интегралов

в декартовых координатах . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

21

Занятие 8. Вычисление кратных нтег алов в криволинейных

координатах

го

23

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

Занятие 9. Вычисление крив линейных и поверхностных

т

рода

26

интегралов перв

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

Занятие 10. Вычисление крив линейных и поверхностных

и

28

интегралов в орого рода . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

з

31

Занятие 11. Приложен я кратных интегралов .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

о

Занятие 12. Приложен я криволинейных и поверхностных

интегралов . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

34

п

36

Занятие 13. Элементы теории поля

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

Занятие 14. Функция комплексной переменной. Предел.

47

Занятие17. Изолированные особые точки . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

Производная. Условия Коши–Римана . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

39

Занятие 15. Интеграл от функции комплексной переменной .

.

. . . .

41

Р

43

Занятие 16. Ряды Тейлора и Лорана . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

Занятие 18. Вычеты. Основная теорема о вычетах . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

49

Типовой расчет № 1. Ряды . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

.

. . . .

53

II. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. . . .

. . . . .

. . .

. 87

Занятие 1. Преобразование Лапласа. Изображение элементарных

функций. Основные теоремы. . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . .

.

87

Занятие 2. Дифференцирование и интегрирование оригиналов

и изображений. Свертка функций . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . .

.

89

Занятие 3. Применение операционного исчисления к решению

линейных дифференциальных уравнений и систем

дифференциальных уравнений . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . .

.

93

Занятие 4. Элементы комбинаторики. .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

У. . . . 96

Н

Занятие 5. Классическое и статистическое определение

вероятности события. Теоремы сложения

Т

и умножения вероятностей.

. . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . .

.

99

Занятие 6. Формулы полной вероятности и айеса .

. . . . .

. . . . .

. .

105

й

Занятие 7. Последовательность независимых испытаний. Схема

Бернулли. Предельные теоремы ЛапласаБи Пуассона

. .

108

диск

Занятие 8. Функция распределен я плотность распределения

вероятностей случайных велич н . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. .

110

р

Занятие 9. Математическое ожидан е

сперсия .

. . . . .

. . . . .

. .

114

о

Занятие 10. Законы распределения

етных случайных величин. .

117

Занятие 11. Законы распределения неп е ывных случайных величин. 120

т

Занятие 12. Двумерные случайные величины.

и

Законы распределения. Числовые характеристики

двумерных случайных величин . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. .

124

з

Занятие 13. Закон больш х чисел

. . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. .

131

о

Занятие 14. Эмп р ческая функция распределения. Полигон.

Гист грамма . . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. .

134

Занятие 15. Выб р чная средняя, дисперсия, начальные

и центральные эмпирические моменты распределения .

144

Занятие

по методу наименьших квадратов . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. .

149

16. Точечные и интервальные оценки параметров

Р

праспределения. . . .

. . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. .

145

17. Нахождение параметров линейной регрессии

Занятие 18. Проверка статистических гипотез . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. .

151

Типовой расчет № 3 «Операционное исчисление» . .

. . . . .

. . . . .

. .

154

З а н я т и е

1

Методы исследования сходимости знакоположительных

числовых рядов. Достаточные признаки

У

Аудиторная работа

Т

Н

1.1. Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы:

а.

1

.

б.

1

.

n 1

n n 1

n 1

3n 2 3n 5

в.

3n 5n .

г.

9n 2n .

n

1

15n

n

1

18nБ

1.2.

Исследовать

сходимость

следующих

рядов

с

положительными членами:

р

й

а.

n 1

.

о

иб.

n

1

.

13n

2

n

n

110n

1

в.

1

.

и

г.

1

.

n 1

n 3n

n 2

ln n

д.

n

.

т

е.

2n 1

.

n 1

n 1

3

n 12n2 1

о

3n n

n

5

n

1

ж.

з.

з.

.

n

125

n3

n

1

5n

n

n

1

и.

п2n 3 !.

к.

.

n !

Р

n

1

n

1

е

3n2

n

1

n

n

.

sin

.

л.

м.

n

1

7n2

3n

4

5n

1

1

n

1

n2

1

n

1

n2

н.

.

о.

.

n

13n

n

n

12n

n

5

п.

1

.

р.

1

.

10n

5 ln2

10n 5

n 2 n ln n

n 1

с.

1

. т.

3n

1 sin

.

n

1 n

3 ln n

3 ln ln n

3

n

1

4n

n3

.

n

3

n

у.

ф.

arcsin

.

n

1

2n

!

n

1

2n

5

Т

х.

1

.

Н

У

n 1

5n 8 ln3 5n 8

Домашнее задание

Б

й

1.3. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:

1

7

n

n

а.

.

б.

3 .

2n

1 2n 3

n 0

р

n 1

21n

а.

n

1

5n

1.

n

2

n2

1.

сходимостьб.

рядов

с

1.4. Исследовать

иследующих

положительными членами:

3n

2

т

1

з

3n n

2 !

1

.

в.

г.

.

n 1n2

2n 5и

n 1

n5

п

n2

1

д.

2n

1

.

е.

.

е

о

3

1

9

n

4 ln

2

9

n

4

n

1

n

Р

2n

Отв ты

1.1. а. б.

1

. в.

. г.

7 .

1.2. а. Расходится. б. Расходится.

15

4

8

З а н я т и е

2

У

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Аудиторная работа

Б

Т

2.1. Исследовать

следующие

случае

ряды на сходимостьН. В

й

сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость:

cosn

n n 1

а.

.

б.

1

2

n .

n

1

n

2