1. Определение первообразной и её свойства

       ОП ределение:Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке I ,если для любого х из промежутка I выполняется равенство: 

Или Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной. Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играет признак постоянства функции:  Если 

 на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке. Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Основное свойство первообразных: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде 

F(x) + C, 

где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная. В этом утверждении сформулированы два свойства первообразной 1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I; 2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C.

Основная задача интегрирования: записать все первообразные для данной функции. Решить её - значит представить первообразную в таком общем виде:  F(x)+C

2. Неопределённый интеграл,таблица основных интегралов

Неопределённый интегра́л для функции   — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция   определена и непрерывна на промежутке   и   — её первообразная, то есть   при  , то

  ,

где С — произвольная постоянная.

 

 

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа   такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

3. Инвариантность формул интегрирования

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Свойство инвариантности формул интегрирования Всякая формула интегрирования (см. таблицу) сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции, то есть если   где  то  где   – любая дифференцируемая функция. Так, например, если  , то   где   – функция от

Пример

При интегрировании положим   а также используем равенство   где   – постоянная.

4.Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал а затем в таблице интегралов найти первообразную.

Пример .

Выражение заменили на . Получили интеграл который можно отыскать в таблице интегралов, где