5,Интегрирование методом замены переменной(метод подстановки)

Пусть имеет первообразную, а непрерывна и дифференцируема, тогда . (4)

Пример. Найти .

Чтобы избавиться от корня, полагаем , отсюда . Найдем . Для этого продифференцируем равенство , получим ; тогда . Подставим в подынтегральное выражение; получим интеграл вида: .

Итак,

6. Метод интегрирования по частям

Пусть и - непрерывно дифференцируемые функции от . На основании формулы дифференциала произведения имеем .

Интегрируя, получим или . (5)

Полученная формула интегрирования по частям позволяет сводить интеграл к более простому .

Иногда формула интегрирования по частям применяется несколько раз.

Рекомендации по применению формулы интегрирования по частям приведены в таблице:

	Вид подынтегральной функции	Рекомендации	Ожидаемое упрощение подынтегрального выражения
	Произведение многочлена на показательную или тригонометрическую функцию		Под интегралом степень многочлена уменьшится на единицу
	Произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию		Под интегралом вместо трансцендентной функции появится алгебраическая функция

7.Примеры интегрирования рациональных функций

Пример = ;

− это неправильная рациональная дробь. Сначала выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель.

-

-

2

Тогда , где - целая часть дроби,

- правильная рациональная дробь, знаменатель которой разлагается на множители: .

Корни знаменателя: , а не имеет действительных корней.

Тогда разложение для данной дроби имеет вид:

.

Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:

.Приравнивая числители обеих дробей, получим уравнение: 2= .

Пусть , тогда 2=2 . Коэффициенты найдем из системы:

Откуда .

Тогда = = =

8 .Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены степени и соответственно. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя ( < ), в противном случае дробь называется неправильной.

Пример

, здесь

Алгоритм интегрирования рациональной дроби

1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде: , где многочлен, а правильная рациональная дробь.

2. Знаменатель разложим на простейшие сомножители:

, где многочлены не имеют действительных корней.

2. Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами , которые надо найти.

3. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.

4. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях .

5. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая равным действительным корням знаменателя.

6. Подставим найденные коэффициенты в разложение дроби.

7. Проинтегрируем простейшие дроби.