- •1. Определение первообразной и её свойства
- •2. Неопределённый интеграл,таблица основных интегралов
- •3. Инвариантность формул интегрирования
- •4.Непосредственное интегрирование
- •5,Интегрирование методом замены переменной(метод подстановки)
- •6. Метод интегрирования по частям
- •7.Примеры интегрирования рациональных функций
- •8 .Интегрирование рациональных дробей
- •Алгоритм интегрирования рациональной дроби
- •9.Разложение рациональных функций в сумму простейших дробей
- •10.Интегрирование иррациональных функций
- •14. Определенный интеграл
- •15.Методы вычисления определенного интеграла
- •17. Формула Ньютона Лейбница
- •20. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •21. Задача Коши.
- •22.Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- •23. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Уравнения вида
- •24. Ду с однородными функциями
- •25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Преобразованное уравнение является линейным относительно и . Решив его, найдем общий интеграл уравнения Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли
- •27.Уравнение в полных дифференциалах
- •Уравнение может быть записано в виде
- •28.Ду высших порядков…..
- •31.Свойства решений лоду
- •32. Определитель Вронского
- •33. Структура общего решения лоду
- •36. Метод вариации произвольных постоянных
- •38.Лнду 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
38.Лнду 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
Пусть в уравнении f(x) (6.1)
коэффициенты постоянны, т.е. уравнение имеет вид:
f(x) (7.1)
где .
Рассмотрим метод отыскания частного решения уравнения (7.1) в случае, когда правая часть f(x) имеет специальный вид. Это метод называется методом неопределенных коэффициентов и состоит в подборе частного решения в зависимости от вида правой части f(x). Рассмотрим правые части следующего вида:
f(x) , где – многочлен степени , причем некоторые коэффициенты, кроме , могут равняться нулю. Укажем вид, в котором надо брать частное решение в этом случае.
Если число не является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1), то частное решение записываем в виде: , где – неопределенные коэффициенты, которые подлежат определению методом неопределенных коэффициентов.
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Решение.
Для уравнения составляем характеристическое уравнение: . Откуда получаем , . Следовательно, общее решение однородного уравнения есть . Правая часть заданного уравнения f(x) имеет специальный вид (случай 1), причем не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде: , где – неопределенные коэффициенты. Найдем производные первого и второго порядков и подставим их в заданное уравнение:
.
Обе части сокращаем на и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства
Из полученной системы уравнений находим: . Тогда , а общее решение заданного уравнения есть:
.
Если является корнем кратности соответствующего характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:
,
где – неопределенные коэффициенты.
Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .
Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл:
Рассмотрим случай параметрического задания кривой:
где . В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:
Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах где . Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:
Приложения определенного интеграла.
1. Вычисление площади криволинейной трапеции.
11. ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО БИНОМА
Выражение вида, где m, n, p, a, b - постоянные числа, называемые дифференциальным биномом.
Теорема П. Л. Чебышева.
Интеграл может быть выражен через элементарные функции в следующих случаях:
1) p - есть целое число,
2) - целое число,
3) - целое число,