Высшая математика ч2 (3.сем)

14.1. Описать области, заданные следующими соотношениями:

а.

z

z0

R.

У

б.

1

z

i

2.

Записать

с

помощью

неравенств

следующие

открытые

множества точек комплексной плоскости:

Н

в. Первый квадрант.

Б

Т

г. Левая полуплоскость.

й

:

Найти действительную и мнимую части функции f z

д.

f

z

iz

2z

2

.

и

е. f z

Re z2

i

i Im z2

i .

2

р

точек

п

заданных отображениях:

Найти образы указанных

ж. z0 1 i,

z2

i .

1

i

т

з. z0

,

z i

2.

Вычислить следующ е пределы:

о

и3

и.

lim

z 2

4iz

к.

lim

cosz

.

.

п

i

z 0

ch i z

z

i

z

з

е

sin i z

e2iz

1

ish z .

м.

lim

eiz

i .

л.

limi ch z

z

4

z

2

14.2. Проверить выполнение условий Коши–Римана и в случае

их выполнения найти

f

z :

Ра. f z

e3z .

б.

f

z

sh z.

40

а. u x, y x3 3xy2 , 0

z

.

б. V x, y

2ex sin y, 0

z

.

Домашнее задание

14.3. Описать область, заданную соотношением

z

z

R.

0

У

14.4. Записать

с

помощью

неравенства

открытое

Тмножество

точек комплексной плоскости – полосу, состоящую из точек,

отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее трехН.

Найти действительную и мнимую части функции f

z

:

Б

14.5. f

z

2i

z

iz2 .

й

14.6. f

z

iz2

z.

и

lim

2

р

14.7. Вычислить

z

3zi

2 .

z

i

оz i

т

14.8. Провер ть выполнение условий Коши–Римана и в случае

их выполнения найтииf z :

f z

cosz.

з

14.9. Пр верить гармоничность функции в указанной области и

найти, когдаэтовозможно, аналитическую функцию по данной ее

д йствит льной части:

п

3, 0

z

.

u x, y

2xy

е

Ответы

14.1. а. Внутренность круга с центром в точке

z0

радиуса

R.

Р

б. Внутренность кольца между окружностями радиусов 1 и 2 с

центром

в

точке

z0

i.

в.

Re z 0,

Imz

0.

г.

Re z

0.

д. u y 2x2 2y2 , v x 4xy.

е. u x2

y2 , v 2xy 1.

ж. 3i.

41

з.

i

.

и.

2i.

к. 1.

л. .

м. 0.

14.2. а. 3e3z .

б. ch z.

2

iy 3

в. v x, y

3x2 y

y3

C, f z

x

Ci

z3

Ci.

г. u x, y

2ex cos y

C,

f

z

2ex

cos y

i sin y

C

2ez

C.

14.3.

Внешность

круга

У

радиуса

R

с

центром

в

точке

z0 . 14.4.

Re z

3.

14.5.

u x, y

x

2xy;

v x, y

2

y

x2

y2

. 14.6.

u x, y

x 1

2y ;v x, y

x2

y2

y.

Т

14.7.

i .

14.8.

Н

cos z

sin z.

14.9.

u

0; v x, y

x2

y2

c;

f

z

i x2

y2

2xyi

3

ci

iz2

3

ci .

Б

й

З а н я т и е

1 5

и

Интеграл от функции комплексной переменной

Аудиторная работа

l

р

15.1. Вычислить интегралы по заданным контурам:

о

а.

Imzdz,

l

x, y

y

2x2 , 0 x

1 .

т

б.

и

x, y y

2x2 , 0 x 1 .

l

в.

z 2

z

dz

l

z

z

1,

argz

2 .

l

о

г.

Im z

2

3

x, y

y 3x

2

, 0 x

1 .

Reзz dz, l

l

е

z2

Р

формулу

F z2

F z1

, вычислить

15.2.пПрименяя

f

d

интегралы:

z1

а.

e z dz, l

x, y

y x3,1 x 2 .

б.

l

sin zdz,

t 2

it, 1

3 .

l

z

z

t

l

2

2

42

в.

z2 cos zdz,

l

– отрезок прямой от точки z

0

i

до точки z

1.

1

l

15.3. Вычислить

интегралы, применив теорему Коши

интегральную формулу Коши, или формулу, получаемую

дифференцированием

интегральной

формулы

Коши

(обход

контуров – против часовой стрелки):

z2

У

z2

Т

а.

z

4 z 2i dz ;

б.

z

4 z 2i dz .

e2z

e2z

Н

в.

dz ;

г.

dz .

z

1 z i

z

1 z

i

sh

z

i

dz

2

д.

dz .

е.

й

dz .

z

3 z2 2z

z

1 z 2

Б2z

sin z sin z

1

и

sin z

ж.

dz .

з.

dz .

z

2

z2

z

р

z

i

1

z

i

3

т

Д машнее задание

стрелки

15.4.

z

zdz,

l

–

верхняяополуокружность

z

1 с

обходом

l

против часовой

.

о

п

z

1, 0

argz

.

15.5.

z dzз, l z

2

l

z