Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Высшая математика ч2 (3.сем)

.pdf
Скачиваний:
68
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
3.94 Mб
Скачать

1.

Найти массу фигуры, ограниченной параболой

y

1

x2 и

осью Ox , если плотность

x, y

 

x2 y2 .

 

 

 

 

 

2.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

x2

y2 2x;

z x

2

y2; z

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

3. Вычислить

 

 

xdl по параболе

 

x2 от точки 1, 1

 

 

 

y

до точки

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2, 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

4.

Вычислить

 

 

2 x2

y2 dx

 

 

 

y 2 dy ,

 

 

 

 

 

x

 

применяя

формулу

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

Грина,

где

 

C

 

контур

треугольника с

вершинами

в

точках

A 1,1 , B 2, 2 ,C 1, 3 , пробегаемый против часовой стрелки.

 

5.

Вычислить

 

 

x2

y2

z2 dS ,

где S

– поверхность конуса

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

x2

y2 , ограниченного плоскостями z

h; z

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

й

 

 

 

 

6.

Найти rotF , если

F

y2i

x2 j

z2k .

 

 

 

 

 

координат,

лежащей

 

в области

 

y

0 , если плотность равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ва иант 4

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

R с центром в начале

Найти массу половины круга радиуса

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

квадрату полярного рад уса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Вычислить

 

 

объем

тела,

 

ограниченного

поверхностями

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 4 y2; y

 

зx ; x 0; z 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Вычислитьо

 

3x

 

5y

z

2 dl , где l – отрезок прямой между

Р

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точками A 4, 1, 6

 

 

и B 5, 3, 8 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Поле образовано силой

 

 

 

 

 

 

F

 

yi

aj . Определить работу при

перемещении

массы

m

по

контуру,

образованному

осями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

a cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координат и эллипсом

y

b sin t , лежащим в I четверти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

70

5.

Найти

 

площадь

поверхности

части

 

конуса

 

z

x2

y2 ,

заключенного внутри цилиндра x2

 

y2

2x .

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Найти div u, v , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

xi

2yj

zk

v

 

yi

2zj

 

xk .

У

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

Вариант 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Вычислить

 

 

 

a2

x2

 

 

y2 dxdy, где D – круг: x2

y2

 

ax .

2.

Вычислить

 

 

объем

 

 

тела,

 

 

ограниченного

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поверхностями

z x2; 3x

2y

 

12; z

0, y

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

3.

Вычислить

 

 

массу

 

одной

 

 

арки

циклоиды

 

x

a t

 

sin t ;

y a 1

cost ,

если

плотность

 

 

в

каждой

 

 

кривой

 

равна

 

 

 

 

 

 

точке

 

ординате точки.

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точки

 

Б

 

 

 

 

по кривой y

 

2

 

y2 dx

 

 

 

 

A 0, 0

до точки B 1, 2

4.

Вычислить

 

 

xy

 

xdy

от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

мулы Остроградского xdydz

Вычислить с пом щью ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ydxdz

zdxdy ,

 

и

внешняя сторона

поверхности

куба,

 

где

S

 

ограниченного плоскос ями x 0, x

1, y

1,

y

 

0, z

 

0, z

1.

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Найти

rot

 

 

, где

 

 

 

 

 

r

, a r

r

 

xi

yj

 

zk

; a

i

 

j

k .

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Вычислить

 

ln x2

 

y2

dxdy , где область D – кольцо между

 

 

x2

 

 

 

 

 

п

 

 

 

D

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окружностямие

радиусов e и 1 с центром в начале координат.

 

2.

Вычислить

 

массу

 

 

тела,

 

 

ограниченного

 

поверхностями

Р2x

2y

z

6

 

0;

x

0;

 

y

 

 

0;

z 0 , если плотность в каждой его

точке равна абсциссе этой точки.

71

 

3.

 

Вычислить

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x cos3 x dl ,

 

где

 

L

дуга

кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

ln cosx 0

 

x

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

Найти

 

функцию

 

z

 

 

по

 

ее

 

полному

 

дифференциалу

dz

 

 

sin x

y

 

dx

 

 

 

dy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

5.

 

Вычислить

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

z2

 

dxdy ,

где

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

верхняя

сторона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

поверхности z

 

a2

 

 

 

x2

, отсеченная плоскостями

b .

 

 

 

 

y

0, y

 

6.

 

Найти

 

циркуляцию

поля

 

 

 

по контуру

 

b cost,

 

 

 

F

 

yi

 

x

y

b

 

bsin t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

Вычислить

 

 

 

 

e

x2

y2

dxdy, где область

D – круг радиуса r с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

центром в начале координат.

 

 

 

 

 

 

 

поверхностями

 

2.

 

Вычислить

 

 

 

 

объем

 

 

тела,

ог аниченного

x2 4y2

 

 

z 1; z 0.

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить массу mодуги кривой L , заданной уравнениями

 

 

t 2

 

 

 

 

 

з

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

,

 

y

t,

z

 

 

3

,

0

 

t

 

2 , если плотность в каждой ее точке

 

 

 

1

4x2

 

y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

xdx

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

4.

 

Вычислитьо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по отрезку циклоиды x

a t sin t ;

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

y

 

y

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

cost

 

от точки t1

 

 

 

 

 

до точки t2

 

 

.

 

 

 

 

y

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

Вычислить

 

 

 

 

x dydz

 

y dxdz

 

z dxdy по верхней поверхности

части плоскости x

S

 

 

 

 

 

a , лежащей в первом октанте.

 

 

 

 

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

72

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Доказать, что поле

 

 

 

xi

yj

zk

 

 

 

является потенциальным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

z2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры,

ограниченной линиями y

ex ; y

e x ; y

2.

 

2

 

 

Н

 

 

2.

Вычислить объем той части шара

x2

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

z2

4R2

, котораяУ

лежит внутри цилиндра x2

 

y2

R2 .

 

 

 

 

Б

 

Т

 

3.

Найти

массу

 

дуги

 

кривой

x

 

t; y

 

1

t

2

0

 

t

1 ,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

плотность равна

2y .

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вычислить

xdx

ydy

 

x

y

1 dz , где L – отрезок прямой,

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соединяющий точки

А 1, 1, 1

и B 2, 3, 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

ора

 

 

 

 

 

 

x2

 

z2 ,

вырезанной

 

Найти площадь части п вехности

y

 

цилиндром

z2 x2

 

т

рл женной в первом октанте.

 

 

1 и расп

 

 

 

 

6.

Найти

поток

 

век

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через

плоскость

 

 

 

 

 

 

a

yi

zj

 

xk

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

z a , расположенную в первом октанте.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

Вариант 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

С м щью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

е

 

 

 

 

 

2 1

cos

;

 

 

 

2cos .

 

 

 

 

 

ограниченнойолиниями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2;

 

2.

пВычислить объем тела, ограниченного поверхностями y

y

z

2; z

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Найти массу дуги кривой y

2x x

 

от точки O 0, 0

до точки

 

 

 

B 4,163 , если плотность пропорциональна длине дуги.

73

 

4.

Вычислить

 

 

 

ydx

 

 

xdy

,

где

L

окружность

x

a cost ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

x

2

 

 

y

2

 

a sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

(в положительном направлении).

 

 

 

 

 

 

 

5.

С помощью формулы Остроградского вычислить

xdydz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

У

 

 

 

zdxdy ,

если S – внешняя сторона цилиндра x2

ydxdz

y2

4 с

основаниями z

0 и z

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Найти rotF , если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

y2zi

z2xj

x2 yk .

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

Т

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями

 

 

 

2x

x2

 

 

каждой

 

 

 

 

 

y

 

 

; y x2 .

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

a 2;

 

Найти массу тела, ограниченного поверхностями

x

y

z

x2

 

y2

a2; z

0,

 

если

 

 

 

р

 

 

 

 

его

точке

равна

 

 

 

плотность в

 

 

 

x2

 

y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Вычислить

 

 

x2

 

 

 

где

 

L – дуга винтовой линии

 

 

 

 

y2

 

z

2 dl ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a cost; y

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

a sin t; z

 

bt, 0

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти

 

 

функц ю

 

 

z

 

по

 

ее

полному

дифференциалу

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

exy 1

xy dx

 

x

2dy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3dydz

y3dxdz

 

Применяя ф рмулу Остроградского, вычислить

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

z2

a2 .

z3dxdy, где S – внешняя сторона поверхности сферы x2

 

 

6.

Найти циркуляцию вектора

 

 

y

2

по замкнутой кривой,

 

F

 

i

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a cost; y

bsin t и

составл нной из верхней половины эллипса x

отрезка оси Ox .

Вариант 11

74

 

1.

Найти

массу плоской фигуры, ограниченной линиями

y

3

; x2

y2

10, если плотность каждой ее точки равна абсциссе

 

x

 

 

 

 

 

этой точки.

 

 

2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

hz

 

x2

y2; z

h .

 

 

3.

Вычислить

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

a2 dl , где L – дуга спирали Архимеда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

r

 

a

 

 

a 0

между точками O 0,0 ; A a2,a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

2ln xdy ,

 

 

 

4.

Вычислить с помощью формулы Грина

C

x

dx

где

C

 

 

 

треугольник,

сторонами

 

которого

являютсяН

прямые

y

4 2x; x

1; y

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить

 

z2dS , где S

 

часть

плоскости

x

y z

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

расположенной в первом октанте.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

вдоль дуги

 

 

Найти линейный интег ал вектоиа a

i

y3 j

окружности x R cost; y

Rsin t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

оВариант 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

 

 

 

 

 

 

о

и

e

x

; y

e

2x

; x

1.

 

 

 

 

 

 

 

ограниченн й линиями

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Найти массу тела, ограниченного поверхностями 2az

x2

y2;

е

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

y

2

 

z

3a

, если плотность в каждой точке равна аппликате

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

этой точкип.

 

 

 

x2dl ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Вычислить

 

где

L

 

верхняя

половина

окружности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

a2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

75

 

4.

 

Выяснить, будет ли интеграл

 

 

2xy

 

5y3 dx

x2

 

15xy2

6y dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зависеть от пути интегрирования,

и вычислить его по линии

AB ,

соединяющей точки

 

0, 0 ,

2, 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

Вычислить

 

zdxdy

xdxdz

 

ydydz , где S

– внешняя сторона

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 и

треугольника, образованного пересечением плоскости x

 

y

 

z

 

координатными плоскостями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

Н

 

2

 

 

 

6.

 

Найти rota , если a

3x

 

y

 

z

 

3x

 

i

2x

 

 

yz

j

 

x

 

y

 

3zУk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 13

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

Двойным интегрированием найти объем тела, ограниченного

поверхностями x2

y2 R2; z

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0; z y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

Вычислить

 

 

y cos x

 

 

 

 

и

 

где

 

 

 

 

область,

 

 

 

 

 

z dxdydz,

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ограниченная

 

цилиндром

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

и

 

 

плоскостями

x

z

 

 

 

; y 0;

z

0 .

осями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

Вычислить

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x ,

заключенного

 

 

массу

 

резка прямой

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

, если линейная плотность в каждой

между координатными

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

его точке пропорц ональна квадрату абсциссы в этой точке, а в

точке

2, 0 равна 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 ydx

 

 

xy2dy ,

 

где

 

 

Применяя ф рмулу Грина, вычислить

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

y2

a2 (в положительном направлении).

 

 

C

– окружность x2

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

Найти площадь поверхности

z

 

 

 

 

 

2

 

, расположенной

над плоскостью xOy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через часть плоскости

 

 

Найти поток вектора a

 

 

yi

zj

xk

 

x

y

 

z a , расположенной в первом октанте.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 14

76

1.

Переменив

порядок

интегрирования,

записать

данное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x2

 

 

 

 

4

 

1

 

4

 

 

x

 

выражение в виде одного двойного интеграла

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

dx

 

dy

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dy .

Вычислить площадь фигуры.

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

2.

Вычислить

объем

тела,

 

ограниченного

 

 

поверхностями

z 6 x2

y2 ; z

x2

y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Найти

 

массу дуги

кривой y

ln x

3

 

x 2

 

 

 

2

,

 

 

 

 

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Вычислить

ydx

y

x2 dy , где L – дуга параболыТy 2x

x2 ,

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

расположенная над осью Ox , пробегаемая по ходу часовой стрелки.

5.

Применяя

формулу

 

Остроградского,

 

 

 

вычислить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdydz

ydxdz zdxdy ,

где

S

 

положительнаяБ

 

 

 

сторона

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поверхности,

 

 

 

 

огран ченной

 

 

 

 

 

плоскостями

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0; y 0; z 0; x y 2z 1.

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

о

 

x

3

 

y

3

z

3

 

3x

2

y

2

z

2

.

Найти дивергенцию градиента функции u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ями

Вариант 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью двойноготинтеграла вычислить площадь фигуры,

 

 

о

 

y2

16 8x; y2

24x

48.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ограниченной л н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

 

п

 

L

 

y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z x2

y

2

; z x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Вычислить

x2

y2 dl , где L – окружность x2

y2

 

ax .

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е4. С помощью формулы Грина вычислить

1 arctg

y

dx

 

 

arctg

x

dy ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C x

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

где C – замкнутый контур, составленный дугами двух окружностей

x2

y2

1; x2

y2

4

y

0

и

 

отрезками

прямых

 

 

 

 

y

 

 

x

 

 

 

 

и

y

3x y 0 , заключенных между этими окружностями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

77

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Найти

массу

 

полусферы

 

 

 

z

 

 

a2

x2

y2 ,

если

поверхностная плотность в каждой ее точке равна z 2 .

 

 

 

 

6.

 

 

 

, если

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти rotF

F

 

y2 i

 

 

2xyzj

 

k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Вычислить

 

 

x2

 

2xy dxdy,

 

 

где

область

D

 

ограничена

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

прямыми y

x; y

 

2x; x

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

2.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

 

 

 

поверхностями

x2

 

y2

a2; x2

z2

a2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

3.

Вычислить массу дуги кривой x

ln 1

 

 

 

t от

 

 

t 2 ; y

2arctgt

t

0 до t

1, если плотность равна

 

y

.

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Поле образовано силой

 

F

 

x

 

 

й

 

. Вычислить работу

 

 

 

 

 

y i

2xj

по

перемещению единицы

 

массыипо

окружности

x

a cost;

y

a sin t .

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить

массу

 

 

 

 

z2

 

 

x2

y2 ,

заключенной

 

 

п верхн сти

 

 

 

между плоскостями

z

о

если

поверхностная

плотность

 

0; z

 

1

,

пропорциональна

x

2

т2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

x

2

y

2

 

 

y

3

 

 

xz

3

 

 

 

 

 

 

 

Найти rotF если, F

 

i

 

 

zj

k .

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

Вариант 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

пС помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской

области, ограниченной линиями y2

 

 

4x, x

 

y

 

3, y 0.

 

 

е

 

 

 

массу

пирамиды,

 

образованной

плоскостями

 

2.

Определить

 

 

x

y

z

a; x

0; y

 

0; z

0, если плотность в каждой точке равна

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аппликате этой точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

78

3.

Вычислить y2dl , где L

– дуга кривой x

ln y между

 

L

 

 

точками A 0, 1 и B 1, e .

 

 

4.

Применяя формулу Грина,

вычислить y2dx

x y 2 dy по

 

 

C

 

контуру треугольника ABC с вершинами A a,0 ; B a, a ; C 0, a .

 

5.

Пользуясь формулой Остроградского,

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

вычислить

 

xdydz

 

 

 

 

zdxdy ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

где S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

ydxdz

 

 

– внешняя сторона поверхности пирамидыУ,

ограниченной плоскостями x

0; y

0; z

 

0; 2x

 

3y 4z

 

12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

6.

Найти

циркуляцию

вектора

F

 

yi

 

xj

 

по

окружности

x

2

y

1

2

1.

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Изменив

порядок

 

 

 

рован я,

 

 

записать

данное

 

 

 

 

 

 

 

 

го

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

y

 

 

2

2 y

выражение в виде одн

 

дв йн го интеграла

 

dy dx

 

dy

dx .

Вычислить площадь фигуры. интегр

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

1

0

 

2.

Вычислить

и

ела, ограниченного

 

 

поверхностями

 

объем

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

4y2

 

z 1; z

0 .т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Вычислить

массу дуги

кривой

x 3

 

y 3

 

a 3 ,

лежащей в

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

первой четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе

интегрирования. Вычислить его, если A 1, 6

; B 2;

4 .

 

 

 

 

этой точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Доказать,

что

 

tg y dx

x sec2 y dy

не

 

зависит

 

от

пути

Р

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти

массу

 

полусферы

 

 

x

 

R

2

y

2

z

2

,

если

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поверхностная плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до начала координат.

79

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.