Высшая математика ч2 (3.сем)

1.

Найти массу фигуры, ограниченной параболой

y

1

x2 и

осью Ox , если плотность

x, y

x2 y2 .

2.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

x2

y2 2x;

z x

2

y2; z

0 .

У

3. Вычислить

xdl по параболе

x2 от точки 1, 1

y

до точки

L

Т

2, 4 .

Н

4.

Вычислить

2 x2

y2 dx

y 2 dy ,

x

применяя

формулу

C

Б

Грина,

где

C

–

контур

треугольника с

вершинами

в

точках

A 1,1 , B 2, 2 ,C 1, 3 , пробегаемый против часовой стрелки.

5.

Вычислить

x2

y2

z2 dS ,

где S

– поверхность конуса

S

и

z2

x2

y2 , ограниченного плоскостями z

h; z

0 .

р

й

6.

Найти rotF , если

F

y2i

x2 j

z2k .

координат,

лежащей

в области

y

0 , если плотность равна

Ва иант 4

1.

т

R с центром в начале

Найти массу половины круга радиуса

и

квадрату полярного рад уса.

2.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

поверхностями

2

z 4 y2; y

зx ; x 0; z 0.

п

2

е

3.

Вычислитьо

3x

5y

z

2 dl , где l – отрезок прямой между

Р

l

точками A 4, 1, 6

и B 5, 3, 8 .

4.

Поле образовано силой

F

yi

aj . Определить работу при

перемещении

массы

m

по

контуру,

образованному

осями

x

a cost

координат и эллипсом

y

b sin t , лежащим в I четверти.

70

5.

Найти

площадь

поверхности

части

конуса

z

x2

y2 ,

заключенного внутри цилиндра x2

y2

2x .

6.

Найти div u, v , где

;

u

xi

2yj

zk

v

yi

2zj

xk .

У

D

Вариант 5

1.

Вычислить

a2

x2

y2 dxdy, где D – круг: x2

y2

ax .

2.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

Н

поверхностями

z x2; 3x

2y

12; z

0, y

0.

Т

3.

Вычислить

массу

одной

арки

циклоиды

x

a t

sin t ;

y a 1

cost ,

если

плотность

в

каждой

кривой

равна

точке

ординате точки.

x .

точки

Б

по кривой y

2

y2 dx

A 0, 0

до точки B 1, 2

4.

Вычислить

xy

xdy

от

l

р

S

5.

о

мулы Остроградского xdydz

Вычислить с пом щью ф

т

ydxdz

zdxdy ,

и

–

внешняя сторона

поверхности

куба,

где

S

ограниченного плоскос ями x 0, x

1, y

1,

y

0, z

0, z

1.

з

6.

Найти

rot

, где

r

, a r

r

xi

yj

zk

; a

i

j

k .

о

Вариант 6

1.

Вычислить

ln x2

y2

dxdy , где область D – кольцо между

x2

п

D

y

2

окружностямие

радиусов e и 1 с центром в начале координат.

2.

Вычислить

массу

тела,

ограниченного

поверхностями

Р2x

2y

z

6

0;

x

0;

y

0;

z 0 , если плотность в каждой его

3.

Вычислить

sin2 x cos3 x dl ,

где

L

–

дуга

кривой

L

y

ln cosx 0

x

.

4

4.

Найти

функцию

z

по

ее

полному

дифференциалу

dz

sin x

y

dx

dy .

У

5.

Вычислить

y2

z2

dxdy ,

где

–

Т

S

верхняя

сторона

S

Н

поверхности z

a2

x2

, отсеченная плоскостями

b .

y

0, y

6.

Найти

циркуляцию

поля

по контуру

b cost,

F

yi

x

y

b

bsin t .

Б

й

Вариант 7

1.

Вычислить

e

x2

y2

dxdy, где область

D – круг радиуса r с

D

и

центром в начале координат.

поверхностями

2.

Вычислить

объем

тела,

ог аниченного

x2 4y2

z 1; z 0.

р

3.

и

Вычислить массу mодуги кривой L , заданной уравнениями

t 2

з

т

t3

x

2

,

y

t,

z

3

,

0

t

2 , если плотность в каждой ее точке

1

4x2

y2 .

п

xdx

dy

е

6

3

4.

Вычислитьо

по отрезку циклоиды x

a t sin t ;

Р

l

y

y

a

1

cost

от точки t1

до точки t2

.

y

a

5.

Вычислить

x dydz

y dxdz

z dxdy по верхней поверхности

части плоскости x

S

a , лежащей в первом октанте.

y

z

72

6.

Доказать, что поле

xi

yj

zk

является потенциальным.

F

x2

y2

z2

3

2

Вариант 8

1.

С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры,

ограниченной линиями y

ex ; y

e x ; y

2.

2

Н

2.

Вычислить объем той части шара

x2

y2

z2

4R2

, котораяУ

лежит внутри цилиндра x2

y2

R2 .

Б

Т

3.

Найти

массу

дуги

кривой

x

t; y

1

t

2

0

t

1 ,

если

плотность равна

2y .

й

4.

Вычислить

xdx

ydy

x

y

1 dz , где L – отрезок прямой,

L

соединяющий точки

А 1, 1, 1

и B 2, 3, 4 .

5.

ора

x2

z2 ,

вырезанной

Найти площадь части п вехности

y

цилиндром

z2 x2

т

рл женной в первом октанте.

1 и расп

6.

Найти

поток

век

через

плоскость

a

yi

zj

xk

з

x

y

z a , расположенную в первом октанте.

и

Вариант 9

1.

С м щью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

е

2 1

cos

;

2cos .

ограниченнойолиниями

Р

3

x2;

2.

пВычислить объем тела, ограниченного поверхностями y

y

z

2; z

0 .

3.

Найти массу дуги кривой y

2x x

от точки O 0, 0

до точки

4.

Вычислить

ydx

xdy

,

где

L

–

окружность

x

a cost ,

L

x

2

y

2

a sin t

y

(в положительном направлении).

5.

С помощью формулы Остроградского вычислить

xdydz

S

У

zdxdy ,

если S – внешняя сторона цилиндра x2

ydxdz

y2

4 с

основаниями z

0 и z

3.

6.

Найти rotF , если

F

y2zi

z2xj

x2 yk .

Н

Вариант 10

Б

Т

1.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями

2x

x2

каждой

y

; y x2 .

2.

и

a 2;

Найти массу тела, ограниченного поверхностями

x

y

z

x2

y2

a2; z

0,

если

р

его

точке

равна

плотность в

x2

y2 .

о

3.

Вычислить

x2

где

L – дуга винтовой линии

y2

z

2 dl ,

L

т

a cost; y

и

2 .

x

a sin t; z

bt, 0

t

4.

Найти

функц ю

z

по

ее

полному

дифференциалу

з

dz

exy 1

xy dx

x

2dy .

5.

о

x3dydz

y3dxdz

Применяя ф рмулу Остроградского, вычислить

п

S

е

y2

z2

a2 .

z3dxdy, где S – внешняя сторона поверхности сферы x2

6.

Найти циркуляцию вектора

y

2

по замкнутой кривой,

F

i

Р

a cost; y

bsin t и

составл нной из верхней половины эллипса x

1.

Найти

массу плоской фигуры, ограниченной линиями

y

3

; x2

y2

10, если плотность каждой ее точки равна абсциссе

x

этой точки.

2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

hz

x2

y2; z

h .

3.

Вычислить

x2

y2

Т

a2 dl , где L – дуга спирали Архимеда

L

У

r

a

a 0

между точками O 0,0 ; A a2,a .

y

Б

2ln xdy ,

4.

Вычислить с помощью формулы Грина

C

x

dx

где

C

–

треугольник,

сторонами

которого

являютсяН

прямые

y

4 2x; x

1; y

0 .

й

5.

Вычислить

z2dS , где S

–

часть

плоскости

x

y z

1,

S

р

расположенной в первом октанте.

6.

x3

вдоль дуги

Найти линейный интег ал вектоиа a

i

y3 j

окружности x R cost; y

Rsin t .

т

з

оВариант 12

1.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

о

и

e

x

; y

e

2x

; x

1.

ограниченн й линиями

y

2.

Найти массу тела, ограниченного поверхностями 2az

x2

y2;

е

2

2

x

2

y

2

z

3a

, если плотность в каждой точке равна аппликате

Р

этой точкип.

x2dl ,

3.

Вычислить

где

L

–

верхняя

половина

окружности

L

x2

y2

a2 .

4.

Выяснить, будет ли интеграл

2xy

5y3 dx

x2

15xy2

6y dy

AB

зависеть от пути интегрирования,

и вычислить его по линии

AB ,

соединяющей точки

0, 0 ,

2, 2 .

5.

Вычислить

zdxdy

xdxdz

ydydz , где S

– внешняя сторона