Высшая математика ч2 (3.сем)

и.

x

1 n

.

к.

1

n 3

n

2

x 2

n

.

12n

n

3

n

1

n

n

0

л.

x

3 2n

.

n

1 n

1 ln n

1

Домашнее задание

Т

3.4. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:

а.

lg x n.

б.

x3n

.

Н

У

n

1

n

1 8n

Б

в.

1

.

n 1n ! xn

3.5. Найти область сходимости следующих степенных рядов:

xn

2n

xn

а.

.

б.

й

.

5n

n 1

n 1 n

р

5 n

n

о

x

в.

n n 1 x .

иг.

n2

.

n

1

т

n

1 5n

x

1 n

x

2 n

и

1

д.

n

е.

n .

n 12

ln n 1

.

n 1 2n

1 2

Ответы

з

e

3.1.

а.

о

.

б.

9;

7 .

в.

e.

г.

;1

3;

.

;

x

д.

п

;

.

б.

;

.

в.

;

.

3.3. а.

1;1.

. 3.2.

а.

е

1

1

1

б.

2; 2 . в.

;

. г.

e; e . д. 0. е.

;

. ж.

0; 4 .

Р

10

10

з.

9;

7 . и. 1; 3 . к.

1; 3 .

л.

2; 4 . 3.4. а.

;10 . б.

2;2 .

10

в.

; 0

0;

3.5. а.

5;5 . б.

1 ;

1 . в.

1;1 . г.

0;10 .

2

2

д.

1;3 . е.

0;4 .

10

З а н я т и е

4

Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена

Аудиторная работа

4.1. В следующих задачах найти четыре первых,

отличных от

нуля, члена разложения в ряд функции

по степеням

У

f

x

x

x0 .

ex , x

2.

4Т

а.

f

x

б.

f

x

cosx, x

.

0

0

2

2

x

Н

в.

f

x

shx, x0

1.

г.

f

x

cos2 x, x0

.

д.

f

x

x

, x

0

1.

й

4.2. В

следующих

задачах

разложить

функциюБ f

x

в ряд

Тейлора

в окрестности

указанной

точки

x0 .

Найти

область

р

сходимости полученного ряда к этой функц и.

а. f x

1 , x

2.

иб. f x

ex , x

1.

x

0

т

0

1

1

в. f x

, x

2 .

г. f x

, x

2.

x

3

и

о

x2

4x

3

0

0

з

д.

f

x

1

, x0

3.

2x

5

4.3. В

следующих

задачах

разложить

функцию

f

x

в ряд

п

исп льзуя

разложения

основных

элементарных

Маклорена,

е

x

область сходимости

полученного ряда

к этой

функций.

оУказать

функции.

Р

ln 1

x .

cos5x.

а.

f

x

б.

f

x

в.

f

x

sin x2.

г.

f

x

sin2 x

cos2 x.

д. f x

3 8 x.

е. f x

3x

5

.

x2

4x

3

11

ж. f x

ln 2 x .

з. f x

ln x

1 x2 .

Домашнее задание

4.4. Найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в

ряд функции f

x

по степеням x

x0 .

а.

f

x

ln x

1 , x

2.

б.

f x

sin2 x, x

.

0

0

Т

4

У

1

в.

f

x

, x

2.

Н

1

x

0

Б

4.5. Разложить

функцию

f

x

в ряд Тейлора в окрестности

указанной точки x 0 . Найти область сходимости полученного ряда к

этой функции.

2.

й

1

а. f x

ln 5x 3 , x

б. f x

, x

0

3.

0

5

р

4

x

6

4.6. Разложить

о

функцию

f

x

ив ряд Маклорена, используя

разложение основных элементарных функций. Указать область

сходимости полученного ряда к эт й функции.

а. f x

x2e2x .

т

б. f x

x

.

з

1

в.

f

x

cos x

и.

x

о

2

3

Ответы

4.1. а. ex

e 2

1

x

2

x

2

x

2

.... .

Р

п

2!

3!

е

1

3

1

5

1

7

б.

cos x

x

x

x

x

...

2

3!

2

5!

2

7!

2

в.

shx sh1

ch1 x

1

sh1

x

1 2

ch1 x

1 3 ...

2!

3!

12

г. cos2 x

1

2

3

2

5

...

x

x

x

2

4

3

4

15

4

д.

x

1

2 x

1

2 x

1

2 x

1 2

2 x

1 3 ...

2

x

4.2. а.

1

x

2 n

;

4

x

0.

У

x

n

0

2n

1

б.

e

x

e 1

x

1

1

x

1

2

...

1

x

1

n

... ,

x R.

2!

n!

1