Высшая математика ч2 (3.сем)

10.2. Вычислить поверхностные интегралы второго рода:

а.

4 x2

y2 dxdy, где S – верхняя сторона круга x2

y2

a2 .

S

б.

ydxdz, где S

– верхняя сторона части плоскости

x

y

z

a ,

S

У

лежащей в первом октанте.

в.

xdydz

ydxdz

zdxdy ,

где

S –

верхняя часть поверхности

S

Т

x

2y

z

6

0, расположенная в первом октанте.

е.

xdydz

ydxdz

zdxdy,

где

S –

внешняя сторона цилиндра

S

x2

y2

R2 с основаниями z

0 и z

H .

Результат проверить по формуле ОстроградскогоН.

й

10.3. Применяя

формулу

ОстроградскогоБ,

вычислить

поверхностные интегралы второго рода:

а.

zdxdy,

р

сторона

куба,

xdydz

ydxdz

S

– полож тельная

S

0, yи0, z

0, x

1, y

1, z

1.

составленного плоскостями x

б.

xzdxdy

xydydz yzdxdz,

где

S

–

внешняя

сторона

S

и

0, y

0, z

0

пирамиды,

составленнойоплоскостями

x

и

x

y

z

1.

т

о

Домашнее задание

10.4. Вычислитьзкриволинейные интегралы второго рода:

а.

xy y2

dx

xdy , где L

– дуга параболы

y

x2

от точки

е

OB

Р

LOB

O

0, 0пдо точки B 1,1 .

б.

ydx

xdy

, где LAB – отрезок прямой AB; A 1, 2 ;B 3, 6 .

LAB

x2

y2

10.5. Вычислить поверхностные интегралы второго рода:

У

а.

ydxdz,

где

S

–

поверхность

тетраэдра,

ограниченного

S

1, x

0, y

0, z

0 .

Т

плоскостями x

y

z

Н

б.

zdxdy,

где

–

внешняя

сферы

xdydz

ydxdz

S

сторона

S

Б

x2

y2

z2 1.

10.6. Задачи 10а и 10.5б решить по формуле Остроградского.

и

Ответы

р

й64 3

4

4

4

5

10.1. а.

.

б. 1. в.

.

г.

4 .

д. 13.

е.

3 .

10.2. а.

a

.

3

3

5

a3

.

3 R2H.

о

1 .

а. 43.

4

ln 3.

б.

в. 54.

г.

10.3. а. 3. б.

10.4.

б.

6

т

8

60

5

и

в.

12

. 10.5. а.

1

. б.

4 .

6

з

о

Занятие 11

п

Приложения кратных интегралов

Р

Аудиторная работа

11.1. При помощи двойного интеграла найти площадь области,

ограниченнойе

указанными линиями:

а. xy 4 x

y

5.

б. y

x, y 2 x, и x 4.

в.

cos

,

2cos .

31

11.3. Вычислить площадь части поверхности конуса z

У

x2

y2 ,

2

y2

4x.

Т

расположенной внутри цилиндра x2

Н

11.4. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной

линиями

x, x

Б

y

3, если поверхностная плотность в каждой ее

точке

x.

й

11.5. Вычислить координаты центра масс фигуры, ограниченной

линиями

y x2, y2

ине

x , если плотность фигуры в каждой ее точке

равна xy .

р

11.6. Вычислить

о

ции

относительно

начала

моменты

координат и осей координат пластины плотностью x2 y , лежащей в

11.7. При помощи тройного интеграла вычислить объем тела,

плоскости

Oxy и

ограниченн

й линиями

y

x2

, y

1.

з

ограниченного поверхностями:

о

а. z

x2

y2 , 2 z x2 y2.

б. z

x2 , 3x

2y

12, y

0, z

0.

е

11.8.пПри помощи тройного интеграла вычислить массу тела,

огранич нного поверхностями:

а. x

y

z

1, x

0, y

0, z

0,

если

плотность

тела

Рx, y, z

1

.

x y z 1 4

32

Домашнее задание

11.11. С

помощью двойного

интеграла вычислить площадь

плоской области, ограниченной

y2

Б

3, y 0.

4x, x y

й

z x2

y 1, x 0, y 0, линиямиz 0.

11.12. Вычислить

объем

тела,

ог ан ченного

поверхностями

y2 , x

р

11.13. Вычислить

плоскости

6x

3y

2z

12,

пл щадь части

о

которая расположена в первом октанте.

т

11.14. Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке

и

поверхн стная пл тность обратно пропорциональна квадрату ее

расстояния

зцентра кольца.

центра

масс

однородной

фигуры,

11.15. Найти к ординаты

до

2

x, y

x.

огранич нной линиями y

п

11.16. Вычислить

моменты

инерции

относительно

начала

е

x, y

1,

координат и осей координат фигуры плотностью

ограниченной линиями x

y

2, x

2, y 2.

Р

11.17. При помощи тройного интеграла вычислить объем тела,

ограниченного цилиндром x

y2

и плоскостями x

z

1, z

0.

33

11.18. Найти

массу

тела, занимающего единичный объем

0 x 1, 0 y

1, 0

z

1,

если плотность тела в точке M x, y, z

задается формулой

x

y

z .

11.19. Вычислить

координаты

У

центра масс однородного тела,

занимающего

область,

ограниченную

поверхностями

z 2

x2

y2 , z

8.

Т

11.20. Вычислить

момент

инерции

Н

относительно

оси

OZ

Б

однородного тела, занимающего область, ограниченную

поверхностями z

x2

y2 , z

3.

Плотность тела

принять равной

1.

и

Ответы

1

16

3

68

560

р

й. 11.2.

.

11.1.

а.

2

15

16ln 2 .

б.

3

.

в.

а.

15

.

б.

3

4

11.3.

4

2

.

11.4. 36

3 .

11.5.

x

9

, y

9

.

11.6.

I

4

,

т

c

14 c

14

x

33

5

4

104

5

1

8

2

I y

,

I

0

.

11.7.оа.

.

б. 32.

11.8.а.

.

б.

.

45

495

48

35

6

11.9.

0; 0;

3 R .

11.10.

4

. 11.11. 10 .

11.12. 1 .

11.13.

14.

о

и

15

3

6

8

п

зr

2

1

11.14.

2k

ln

2

.

11.15.

x

c

;

y

c

.

11.16. I

x

I

y

4; I

0

8 .

е

r1

5

2

3

9

11.17.

8

. 11.18.

. 11.19.

0,0,6 . 11.20.

.

Р

15

2

2

З а н я т и е

1 2

Приложения криволинейных и поверхностных интегралов

12.1. Найти длину дуги кривой:

а. y2

x3 (от точки O 0, 0 до A 4, 8 ).

б. первого витка винтовой линии x acost, y asin t, z bt.

в.

a 1 cos .

12.2. Найти массу дуги кривой при заданной плотности:

У

а.

y

ln x ,

заключенной между точками с абсциссами

x

3

и

x

8 , если

плотность

дуги

в

каждой

точке

равна

квадрату

абсциссы этой точки.

Н

б. четверти

эллипса

x

2cost, y

sin t ,

лежащей Тв первой

Б

четверти, если линейная плотность в каждой ее точке равна

произведению координат этой точки.

й

в. всей лемнискаты Бернулли

2

a2 cos2

,

если плотность в

каждой

ее

точке

выражается

и

, где

0

–

формулой

k

k

коэффициент пропорциональности.

12.3. Вычислить

р

масс

однородной

дуги

координаты

центра

о

cost, y

sin t, z

2t.

первого витка винтовой линии x

т

и

12.4. Вычислить м мент инерции относительно начала

координат отрезка прямой, заключенного между точками

A 2, 0

и

з

B 0,1 , если линейная плотность в каждой его точке равна 1.

12.5. С

м щью

криволинейного интеграла

второго

рода

п

вычислить

л щадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой:

е

aоcost, y

b sin t.

а.

x

Р

a cos3 t, y

a sin3 t (астроида).

б.

x

12.6. Вычислить работу силы

:

F

а.

при перемещении материальной точки из

F

yi

x

y

j

начала координат в точку

1,1

по параболе y

x2 .

35

б.

при перемещении материальной точки вдоль

F

x

y i

xj

окружности x

2cost, y

2sin t

по ходу часовой стрелки.

12.7. Применяя поверхностный интеграл первого рода, найти:

а. Площадь

части

поверхности

2x

2y

z

8 ,

заключенной

внутри цилиндра x2

y2

1.

б. Определить суммарный электрический заряд, распределенный

на части поверхности двуполостного гиперболоида z2

Т

1,

x2

y2

1

z

2 , если плотность заряда в каждой точке пропорциональнаУ

аппликате этой точки

kz .

Н

Б

в. Найти координаты центра тяжести однородной треугольной

пластинки x

y

z

1 x

0, y

0, z

0 .

й

Домашнее задание

12.9.

Найти

массу

всей

коодинаты

a 1

cos

,

если

12.8. Найти длину дуги астро ды

x a cos3 t, y

asin3 t.

о

т

k

,

где

плотность в каждой ее

чкервыражается формулой

и

k

0 – коэффициент пр п рци нальности.

з

дуги

AB винтовой

12.10. Найти коорд наты центра тяжести

линии x

о

2

acost, y

asin t, z bt , если в каждой ее точке линейная

плотность

п рциональна аппликате этой точки; tA

0, tB

.

y

прx .

м щью

криволинейного

интеграла

второго

рода

12.11. С

вычислить

лощадь

области,

ограниченной

линиями y

x

и

е

работу

силы

,

при

12.12. Вычислить

F

x

y

i

2yj

Рперемещении материальной точки из начала координат в точку

1,

3