Высшая математика ч2 (3.сем)

6. Найти циркуляцию векторного поля

вдоль

F

yi

zj

xk

замкнутого

контура, полученного от

пересечения

сферы

x2 y2 z2

R2 координатными плоскостями, расположенными в

Вариант 19

У

1.

Построить область, площадь которой выражается интегралом

1

1

x 2

Н

dx

dy .

Вычислить

этот

интеграл.

Поменять

порядок

0

1 1

x 2

Б

Т

2

интегрирования.

2.

Определить массу

тела,

ограниченного

поверхностями

x2

y2

z2

0; z

h ,

если

й

в

каждой

точке

1

cos x

точки

пропорциональна аппликате этой

.

р

3.

Вычислить

cos2 xdl

,

где

L

–

дуга

кривой

2

полным дифференц аломнекоорой функции. Найти эту функцию.

L

y

sin x 0

x

.

т

4.

Доказать,

что

выражение

3x2e ydx

x3e y

1 dy

является

и

з

2

2

5.

Вычислить

x

z

dydz,

где

S

– внешняя

сторона

о

S

поверхн сти

x

9

y2 , отсеченной плоскостями z

0; z

2 .

6.

п

, где

Найти rot r

, a

r

r

xi

2yj zk

,a

2i

j

k .

Вариант 20

е1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями

a 1

cos

;

a cos .

Р2. Определить массу сферического слоя между поверхностями

x2

y2

z2

a2; x2

y2

z2

4a2 , если плотность в каждой точке

3.

Вычислить

ydl , где L – дуга параболы

y2

2x , отсеченная

L

параболой x2

2y .

4.

Показать,

что

ydx

x

y dy

по

любому

замкнутому

C

контуру равен нулю. Проверить, вычислив интеграл по контуру

фигуры, ограниченной линиями y

x2, y

4 .

5.

Вычислить

массу

поверхности

z

x ,

ограниченной

плоскостями

x

y

1; y

0; x

0 ,

У

если поверхностная плотность в

каждой точке равна абсциссе этой точки.

Т

2

6.

Найти циркуляцию вектора

y

по замкнутой кривой,

F

i

составленной из верхней половины эллипса

x

Н4cost; y sin t и

отрезка оси Ox .

Б

Вар ант 21

й

1.

С помощью двойного интег ала выч слить площадь фигуры,

ограниченной линиями xy

a2; y

и

a

0 .

x; y

2a

2.

Определить

массу

р

2

y2

z2

a2; z 0 , если

п лушара x

плотность его в каждой

очкеравна аппликате этой точки.

3.

Вычислить

т3

где

L

–

дуга

кривой y

lnsin x от

sin

xdl

,

L

и

x

до

x

.

1

4

2

з

2

4.

Вычислитьо e2x

y2

dx 1

2xy dy ,

где

C

–

треугольник

п

C

2; x

0; y

x .

Доказать,

y

сторонами которого являются прямые

чтоеданный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

5.

Найти площадь части поверхности

y

x2

z2 ,

вырезанной

Р

2

x

2

1 и расположенной в первом октанте.

цилиндром z

6.

Найти div u,v

, где u

2xi

yj

3zk

;v

3yi

zj

xk .

81

ограниченной линиями y2

4 x; x 3y 0 .

2.

Определить

объем

тела,

ограниченного

поверхностями

z2

2ax; x2

y2

ax; z 0; y 0 .

3.

Найти

массу

дуги

винтовой

линии

x

4a cost, y

4a sin t,

z 3at ,

если плотность

ее

в

каждой

точке

пропорциональна

аппликате этой точки

0

t

2 .

У

Т

4.

Вычислить

3,2

x

2x

y

dy .

dx

2

Н

1,1

x

y

x

y

2

5.

y dydz

Используя формулу Остроградского, вычислить

x

S

y

x dxdz

Б

z2

1.

zdxdy через поверхность шара x2

y2

6.

3x

2

y

2

3

2

2

Найти rotF

, если F

i

2yйzj z x

k .

и

Ва иант 23

1.

С помощью двойн

р

интеграла вычислить площадь фигуры,

2

ограниченной л н

го

x .

ay

x

2ax; y

2.

Вычислить

т

ограниченного

поверхностями

массу

тела,

y

x2

z2 ; y

b

,

если

плотность

в

каждой

его

точке

ями

пропорци нальназрдинате этой точки.

1

3.

Вычислить

xyzdl , где L – дуга кривой

z

8t3

0

t 1

о

3

п

L

1

x

t

2

; y t; .

2

е

4.

Найти

работу

силы

при

перемещении

F

xyi

x

y

j

Р

по параболе

y

x

2

.

массы m из начала координат в точку A 1, 1

5.

С помощью формулы Стокса показать, что

yzdx

xzdy

xydz

C

по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить, вычислив

интеграл

по

контуру

треугольника

с

вершинами

O 0, 0, 0 ;

A 1,1, 0 ; B 1,1,1 .

У

6.

Вычислить

поток

вектора

через

a

x3i

y3 j

zk

поверхность шара x2

y2

z2 a2 .

Т

Вариант 24

Н

Б

1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y

ln x;

x y

1; x 3.

й

2.

4a2

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y2

3ax;

y2

ax; z

h .

3.

Найти массу дуги полуокружности x

a cost; y

a sin t ,

если

плотность ее в каждой точке

р

авна

x

2 y .

4.

Найти

работу,

о

и

4x

2

при

пр изв димую

силой

F

i

xyj

перемещении массы

т

x3

от точки O 0, 0

до точки

m

вд ль дуги

y

C 1, 1 .

и

5.

Вычислить

x2dydz

y2dxdz

zdxdy ,

где

S

–

внешняя

что

S

2

2

2 32

сторона части сферы, расположенной в первом октанте.

п

з

6.

Д казать,

поле

xi

yj

zk

является потенциальным.

F

е

x

y

z

Р

Вариант 25

1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y

x;

x2

y2

2x; y

0 .

83

2x

z 2a; x y

a; y2

ax; y

0

y

0 ,

если плотность в каждой

его точке равна ординате этой точки.

3.

Вычислить

ydl , где L – первая арка циклоиды x

3 t

sin t ;

L

У

y

3 1

cost .

4.

Вычислить

xdy

ydx , где

C

– треугольник со сторонами

C

Т

0; y

0;

x

y

1. Доказать,

Н

x

a

b

что данный интеграл по любому

замкнутому контуру равен нулю.

Б

5.

Вычислить

x2

y

z2

4 dS ,

где

S

–

часть поверхности

S

2y

9

x2

z2 , отсеченная плоскостью y

0

y

0 .

и

6.

Найти циркуляцию векторного поля

F

yi

zj

xk

вдоль

Вариант

y2

z2

замкнутого контура, полученного от пересеченияйсферы x2

4

о

координатными плоскостями, асположенными в первом октанте.

т

26

1.

и

Построить облас ь, площадь которой выражается интегралом

a

a2

y

2

з

о

этот

интеграл.

Поменять

порядок

dy

dx .

Вычислить

0

a

y

п

интегрир вания.

е

a;

2.

Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями x

z

x

0; y

0; y

a; z

0 , если плотность его в каждой точке равна

Р

y2 .

x2

3.

Вычислить

xdl , где

L – отрезок прямой от точки 0, 0

до

L

точки 1, 2 .

4.

при перемещении

Вычислить работу силы F

y

i

y

x

j

единицы массы по дуге параболы y

a

x

2

из точки A

a; 0 к

a

точке B 0,a .

У

5.

Вычислить

x2dydz

y2dxdz

z2dxdy ,

где S

–

внешняя

S

Т

R2

сторона поверхности конуса z2

y2

x2; 0

x

3 .

3

Н

6.

Найти линейный интеграл вектора

вдоль первой

a

x3i

y3 j

четверти окружности x 3cost; y

3sin t .

Б

Вариант 27

1.

й

Построить область, площадь которой выражается интегралом

a

2a2 x2

интеграл.

dx

dy . Вычислить

этот

Поменять

порядок

интегрирования.

о

т

2.

Определить

объем

телар, ограниченного

поверхностями

x2

y2

z2

0; x2

y2

z2

a2

(внутри конуса).

дуги

x2