возникают — процесс разрядки конденсатора является апериодическим.

Величина γ описывает затухание колебаний со временем. Она обратно пропорциональна времени t3, в течение которого ампли-

туда колебаний убывает в e раз. В самом деле, пусть Q0e–γt=Q0/e,

откуда γ = 1/t3. Отношение t3/T( Т– период колебаний) определяет число N происходящих в контуре за время t3 колебаний. Колебательный контур обычно характеризуют логарифмическим декре-

4.2.2. Вынужденные колебания. Резонанс

Пусть к цепи контура приложено внешнее периодическое напряжение частоты ω (рис.).

U(t)= U0cosωt. (4.26)

Тогда в цепи возникнут вынужденные колебания с той же частотой. Уравнение колебаний (4.22) при наличии внешнего напряжения примет вид:

L dIdt + QC + RI =U0 cos ωt .

(4.27)

решение этого уравнения можно записать в следующей форме:

≡ Q (ω)cos (ωt − ψ)

где ω0,γ– определяются соответственно формулами (4.20), (4.23); угол ψ, определяемый соотношением

37

описывает разность фаз между приложенным напряжением и установившимися в цепи колебаниями заряда. Колебания тока сдвинуты относительно колебаний заряда на π/2:

≡ I0 cos (ωt − ϕ)

Разность фаз между током и напряжением ϕ=ψ–π/2. Согласно

(4.30), (4.29)

Значит, ток отстает по фазе от напряжения, когда ωL > 1/ωC, и опережает его по фазе в противоположном случае.

Запишем уравнение вынужденных колебаний (4.27) в виде:

UR+ UC+UL= U0cosωt, (4.32)

где UR= IR – напряжение на активном сопротивлении; UC = Q/C напряжение на емкости; UL = LdI/dt напряжение на индуктивности. Это соотношение можно рассматривать как обобщение второго закона Кирхгофа для постоянных токов: сумма падений напряжения на отдельных элементах контура в каждый момент времени равна приложенному внешнему напряжению. Отсюда следует:

Из сравнения выражений для тока и напряжений на элементах

контура следует, что напряжение на емкости отстает по фазе на π/2 от силы тока, а напряжение на индуктивности опережает ток на

π/2. Напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током. Из полученных формул следует, что амплитуда колебаний за-

ряда, тока и напряжения в цепи, во-первых, пропорциональна приложенному напряжению и, во-вторых, обратно пропорциональна множителю:

38

Указанный множитель принимает минимальное значение при определенной характерной для данной цепи частоте внешнего напряжения, что соответствует резкому возрастанию амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называют резонансом, а характерную частоту, соответствующую максимальному возрастанию амплитуды колебаний, – резонансной.

На рис. изображена зависимость амплитуды колебаний тока (4.30) как функция частоты при различных ве-

личинах затухания γ. Видно, что резонанс проявляется тем резче, чем меньше затухание в цепи. Физическая причина резонанса состоит в возбуждении внешним периодически изменяющимся напряжением собственных колебаний в цепи. При малом затухании, когда R/L << ω, частота собст-

венных колебаний в цепи совпадает с (4.20). Возникновение резонанса на частоте собственных колебаний становится понятным, если вернуться к уравнению вынужденных колебаний (4.27). Слагаемое, содержащее сопротивление , играет роль трения в системе

– оно приводит к затуханию колебаний любой частоты. При колебаниях на всех частотах, кроме собственной, все члены уравнения оказываются одного порядка — на малых частотах основным из первых двух слагаемых левой части является Q/C, а на больших частотах доминирует первый член LdI/dt ~ ω2QL. При колебаниях же на собственной частоте, согласно (4.18), первые два слагаемых компенсируют друг друга, что соответствует свободным колебаниям в системе. При этом уравнение (4.27) принимает вид:

RI=U0cosωt,

откуда следует, что при резонансе внешнее напряжение наиболее эффективно компенсирует работу сил трения. Таким образом,

39

резонанс – возбуждение собственных колебаний в системе под действием периодической внешней силы – представляет собой осуществление в системе собственных незатухающих колебаний. Явление резонанса имеет чрезвычайно важное значение в технике. Оно реализуется в колебательных системах различной физической природы (электрических цепях, механических системах, биологических объектах). В механике явление резонанса зачастую нежелательно, так как может приводить к раскачке колебаний и разрушению механических систем. Для уменьшения амплитуды колебаний следует увеличивать затухание в системе, сводя тем самым к минимуму действие периодической внешней силы. В радиотехнике явление резонанса используется для избирательного выделения из всего набора периодических внешних возмущений различных частот необходимой гармонической составляющей.

Тем самым осуществляется прием радиочастотных сигналов. Итак, были рассмотрены колебания в основном в электриче-

ских цепях, однако заметим, что уравнения, описывающие колебания самой различной природы, эквивалентны с точностью до обозначений. Поэтому наука, изучающая колебания, представляет собой самостоятельную область знаний — теорию колебаний.

4.2.3. Переменный электрический ток

Основной вывод предыдущего раздела заключается в том, что в электрической цепи, содержащей емкость, индуктивность

исопротивление, при приложении внешнего переменного напряжения частоты возникают колебания заряда, напряжения

итока той же частоты. Эти колебания можно рассматривать как протекание в це-

пи переменного тока под действием переменного напряжения. Согласно формулам (4.30), (4.28) с учетом определений (4.20) и

(4.23):

40

где разность фаз между током и напряжением определяется

можно назвать полным электрическим сопротивлением для переменного тока, или импедансом. Величина X = ωt – ω1C – реак-

тивное сопротивление, состоящее из индуктивного и емкостного сопротивлений. Реактивное сопротивление непосредственно не приводит к потерям энергии в цепи, однако является ответственным за установление фазовых соотношений между током и напряжением, влияющих на величину мощности, выделяемой в цепи. Мощность является наибольшей в том случае, если ток и напряжение в цепи совпадают по фазе.

Запишем величину мгновенной мощности, выделяемой в цепи,

Определим среднюю мощность, выделяемую за период колебаний, соотношением:

P = 1 T∫P (t)dt . T 0

Учитывая, что среднее значение за период колебаний косинуса равно нулю, находим:

т.е. средняя мощность, выделяемая за период, является постоянной. Из сравнения формул (4.42) и (4.41) видно, что мгновенная

41