квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой же механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией Ek, был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс p. Аналогично тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию U, означал бы, что частица находится в точно заданном месте пространства. Поскольку координата и импульс частицы не могут одновременно иметь определенных значений, не могут быть одновременно точно определены Ek и U. Таким образом, хотя полная энергия частицы E имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Ek и U. Ясно, что в этом случае заключение об отрицательности Ek «внутри» туннеля становится беспочвенным.

Туннельный эффект позволяет объяснить ряд явлений, в частности вырывание электронов из металлов электрическим полем (автоэлектронную эмиссию). Если создать вблизи металла сильное электрическое поле, то ступенчатый барьер, удерживающий свобод-

ные электроны в металле, превращается в барьер конечной ширины Созданное вблизи поверхности металла очень сильное электрическое поле превращает ступенчатый потенциальный барьер в барьер конечной ширины. Вне металла потенциальная энергия электрона равна U0 — eφ = U0 — eEx (φ — потенциал, E — модуль напряженности поля).

В результате становится возможным выход электронов из металла за счет туннельного эффекта. Чем сильнее поле, тем уже барьер и тем больше коэффициент прохождения D.

7.3.4. Квантование энергии

Уравнение Шрёдингера позволяет найти волновую функцию данного состояния и, следовательно, определить вероятность на-

189

хождения частицы в различных точках пространства. Однако этим далеко не исчерпывается значение указанного уравнения. Из уравнения (7.23) и налагаемых на волновые функции стандартных условий непосредственно вытекает квантование энергии частицы.

Вуравнение Шрёдингера входит в качестве параметра полная энергия частицы E. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (7.23) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях параметра (т. е. энергии E), а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями соответствующей величины (в нашем случае—-энергии). Решения, соответствующие собственным значениям E, называются собственными функциями задачи.

Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если эта совокупность образует дискретную последовательность, спектр называется дискретным. Если собственные значения образуют непрерывную последовательность, спектр называют непрерывным или сплошным. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только таких задач, у которых спектр собственных значений является дискретным.

Вслучае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:

Таким образом, квантование энергии получается из основных

положений квантовой механики без каких-либо дополнительных предположений.

Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет весьма трудную математическую задачу. Мы рассмотрим пример, достаточно простой для того, чтобы можно было решить уравнение Шрёдингера без большого труда.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси x. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: x = 0 и x = 1.

190

придем к уравнению, хорошо известному из теории колебаний: ψ" + k2ψ = 0.

Решение такого уравнения имеет вид

ψ(х) = A∙sin (kx + α). (7.36)

Условиям (7.33) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных k и α. Прежде всего из условия ψ(0) =0 получаем,

ψ(0) = Asinα = 0,

откуда следует, что α должна быть равна нулю. Далее, должно выполняться условие

(n = 0 отпадает, поскольку при этом получается ψ =0 — частица нигде не находится).

Исключив k из уравнений (7.35) и (7.37), найдем собственные значения энергии частицы:

Спектр энергии оказался дискретным. На рис.б изображена схема энергетических уровней.

Оценим расстояния между соседними уровнями для различных значений массы частицы m и ширины ямы . Разность энергий двух соседних уровней равна

Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр энергии, так что хотя квантование энергии в принципе будет иметь место, но на

192

характере движения молекул сказываться не будет. Аналогичный результат получается, если взять m порядка мас-

сы электрона (~ 10-30 кг) при тех же размерах ямы (свободные

электроны в металле). В этом случае

En~10-35n Дж ~ 10-16n эВ.

Однако совсем иной результат получается для электрона, если область, в пределах которой он движется, будет порядка атомных размеров (~ 10-10 м). В этом случае подстановка в формулу (7.35)

числовых значений дает

En~10-17n Дж ~ 102n эВ.

Согласно формуле (7.34) минимальная энергия, которой может обладать частица, находящаяся в потенциальной яме, отлична от нуля. Этот результат обусловлен волновыми свойствами частицы и может быть получен из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты x в этом случае ограничена размером

данном случае сам импульс p) равна

p = p ≥ ħ/Δx = ħ/ .

Следовательно, энергия частицы ограничена снизу значением

Emin ≈ p2 ≈ 2 ,

2m m 2

которое с точностью до множителя π2 совпадает с выражением

(7.34) для n=1.

Подставив в (7.32) значение k, получающееся из условия (7,33), найдем собственные функции задачи:

ψ (x)= Asin nπx

(напомним, что α = 0). Для нахождения коэффициента A воспользуемся условием нормировки

∫Ψ*ΨdV = A2 ∫sin2 nπx dx =1.

193