Перспективное применение в современных оптических системах находят световоды. Световоды представляют собой устройства для передачи световых сигналов на большие расстояния практически без потерь световой энергии внутри тонких волокон, выполненных из специальных материалов с заданными оптическими свойствами. Прохождение света в световодах основано на явлении полного внутреннего отражения.

Рассмотрим прохождение светового луча в тонкой пленке с показателем преломления п, которая с обеих сторон граничит с воздухом (п = 1).

Тогда луч, падающий изнутри на границу раздела, преломляет-

Отсюда видно, что можно подобрать величину показателя преломления пленки так, чтобы sinβ оказался равным единице. При этом п угол преломления равен π/2, то есть преломленный луч в воздухе будет отсутствовать. Таким образом, при углах падения, больших критического, равного

луч в пленке будет распространяться, многократно отражаясь от внутренней поверхности пленки, не выходя наружу. Весьма совершенные световоды, представляющие собой гибкие волокна с толщиной, доходящей до 1 мкм, получили широкое распространение в различных областях техники.

5.2.Волновая оптика

5.2.1.Опыт Юнга. Интерференция волн. Принцип Гюйгенса.

Обнаружить, что световой луч состоит из накладывающихся друг на друга световых волн, было далеко не просто из-за, как мы теперь знаем, малых длин волн видимого света. Первым экспериментальным указанием на волновой характер распространения света явился опыт английского физика Юнга, произведенный им в 1802 г. Понадобилось более 20 лет напряженного труда вы-

104

дающихся ученых того времени, чтобы волновая природа света была полностью подтверждена и получила признание. Юнг наблюдал распределение освещенности на экране при

прохождении света, испущенного одним источником, одновременно через две узкие щели. На рис. приведена схема опыта Юнга с указанием точных размеров его экспериментального устройства. Заметим, что ширина щелей в опыте Юнга, казалось бы, все же была велика по сравнению с характерными длинами световых волн:

d = 0,1 мм = 1 104 м = 100 мкм, λ=0,5 мкм.

то есть примерно в двести раз превышала длину волн света. Тем не менее этого оказалось достаточно, чтобы Юнг наблюдал на экране картину освещенности, совершенно отличную от той, которая наблюдалась бы при прохождении лучей сквозь широкие щели, то есть в условиях применимости геометрической оптики.

В условиях эксперимента, приближенных к лучевым, на экране наблюдались бы четкие изображения двух щелей, разделенные тенью. Вместо этой привычной картины Юнг наблюдал на экране чередование светлых и темных полос. Юнг объяснил наблюдаемое распределение освещенности волновым характером распространения света и привел формулы, дающие местоположение света и тени на экране. Таким образом, Юнг убедительно продемонстрировал волновую природу света.

Распространение света удалось понять, рассматривая его по аналогии с распространением упругих волн. Мы также используем эту аналогию, несмотря на то что световые волны являются электромагнитными и механизм их взаимодействия совершенно иной по сравнению с упругими волнами. Явления, о которых сейчас идет речь, обусловлены только волновым характером процесса, а он не связан с природой взаимодействия.

105

Характерным свойством волнового движения является то, что при одновременном возбуждении нескольких волн они могут усиливать либо гасить друг друга в зависимости от соотношения фаз. Это взаимное влияние волн друг на друга называется интерфе-

ренцией.

Пусть в какой-либо точке пространства происходит наложение двух гармонических волн одинаковой частоты ω, которые описываются выражениями:

u1= A cos(ωt + α1) и u2 = A cos(ωt + α2),

здесь A1 и A2 — амплитуды складываемых колебаний, и α1, α2— фазы, которые имеют волны u1 и u2 в рассматриваемой точке при t = 0. Амплитуда суммарного колебания в этой точке равна

A2 = A12 + A22 +2A1 A2 cos(α1 −α2 ),

где α1 – α2 = δ — разность фаз складываемых колебаний. Амплитуда волны характеризует, как известно, энергию коле-

баний в данной точке или связанную с ней величину — интенсивность колебаний I ~ А2. Какую интенсивность колебаний мы будем наблюдать в рассматриваемой точке? Из приведенного выше выражения для суммарной амплитуды колебания видно, что она может меняться в широких пределах в зависимости от соотношения между фазами складываемых колебаний. Если колебания и1, и и2

являются строго гармоническими, фазы α1 и α2 строго постоянны

и такой же является их разность δ. В природе, однако, гармонические колебания в том виде, в каком мы их описываем гармониче-

скими функциями sin(ωt+α) или cos(ωt+α), никогда не возникают. В самом деле, гармоническая функция вида sin(ωt–kx+α) или

cos(ωt–kx+α), описывает по существу бесконечный во времени и пространстве волновой процесс, не имеющий «ни начала, ни конца». В действительности волна представляет собой распространяющееся периодическое возмущение, имеющее конечную протяженность и длительность, которую можно вообразить себе как наложение возмущений с одинаковой частотой, но с разными фазами, причем значения последних являются случайными величина-

ми. Поэтому следует считать, что фазы α1 и α2 являются, вообще говоря, случайными функциями времени, изменения величины ко-

106

торых происходят за характерные времена, определяемые условиями испускания волн.

Наблюдаемый нами результат сложения колебаний будет опре-

деляться тем, успевают ли существенно измениться фазы α1 и α2 за время наблюдения или нет. Дело в том, что время наблюдения или измерения интенсивности колебаний в данной точке является конечной величиной и в действительности мы наблюдаем результат сложения колебаний, происходящий за это конечное время, даже если оно очень мало. Наблюдаемой величиной, таким образом, является усредненное по времени значение квадрата амплитуды:

I≈ A2 = 1 ∫τ A2 (t)dt ,

τ0

где τ — время, необходимое для измерения результата сложения колебаний. Для интенсивности суммарного колебания мы получаем отсюда:

Теперь видно, что все определяется тем, быстро или медленно

меняется разность фаз δ за время τ. Если разность фаз δ меняется быстро, многократно принимая всевозможные случайные значения

от 0 до 2π, то среднее значение cosδ оказывается равно нулю. В этом случае мы имеем:

то есть складываются интенсивности двух колебаний. Этот случай и реализуется при испускании света многими атомами в любых источниках света или при наложении пучков света, испускаемых разными источниками. В самом деле, характерные времена испускания света атомами составляют 10–8 – 10–10 с, и за это столь краткое время фаза испускаемой световой волны успевает смениться многократно. В результате суммарная интенсивность света

остается постоянной. Если разность фаз δ за время наблюдения не успевает измениться или вообще является постоянной, то

107

и I ≠ I1 +I2. Это как раз и есть случай интерференции колебаний. Наиболее заметны изменения интенсивности, когда складывае-

мые колебания имеют равные амплитуды A1=A2=A0. При этом:

A2 = aA02 (1+cosδ )

и интенсивность суммарного колебания может измениться от нуля

до 4I0.

Из формул (5.5), (5.7) следует, что заметные изменения интенсивности при сложении волн возникают лишь в том случае, если разность фаз между волнами остается неизменной за время наблюдения. Такие волны назы-

вают когерентными. Таким об-

разом, явление интерференции заключается в перераспределении в пространстве энергии, пе-

реносимой когерентными волнами.

Сравнительно легко наблюдать интерференцию упругих волн, даже в том случае, если они испускаются разными источниками. На рис. представлен результат интерференции волн на поверхности воды при возбуждении их двумя независимыми источниками. Ярко выраженный эффект интерференции наблюдается потому, что разности фаз распространяющихся волн остаются практически неизменными за время взаимодействия волн, а длины поверхностных волн достаточно велики для четкого разрешения областей усиления и ослабления колебаний.

Интерференцию световых волн наблюдать труднее, во-первых, из-за малых длин волн света, а во-вторых, из-за быстрой сменяемости фаз испускаемых световых колебании. Интерференцию световых волн можно наблюдать, если каким-либо способом разделить волну, испущенную одним источником, на две волны, а затем, заставив полученные таким образом волны пройти разные оптические пути, осуществить наложение этих волн на экране. При этом разность фаз складываемых колебаний в каждой точке экрана

108

будет строго определенной.

Пусть разделение световой волны на две происходит в точке О на поверхности, разделяющей среды с показателями преломления n1, и n2, (рис.). В точке Р мы будем наблюдать результат сложения двух волн. Одна из волн проходит в первой среде путь s1 со скоро-

стью v1 = c/n1 и возбуждает в точке Р колебания вида

разом, колебания, возбуждаемые обеими волнами, отличаются по

Перепишем эту формулу, введя в нее оптическую длину пути согласно определению (5.1) и выразив частоту через длину волны

в вакууме ω = 2πс/λ,

представляет собой оптическую разность хода волн. Пусть для простоты амплитуды обеих волн в точке P будут

одинаковы A1=A2=A. Если представить обе волны в виде векторов A1 , и A2 , то колебание в точке P, возникающее при наложении волн друг на друга, будет определяться их векторной суммой

A = A1 + A2 . Интенсивность этого колебания равна :

109

Отсюда видно, что если оптическая разность хода равна целому m числу длин волн, то разность фаз взаимодействующих волн рав-

на 2πm и колебания, возбуждаемые в точке Р, будут происходить в одной фазе. Таким образом, условие:

есть условие интерференционного максимума.

Наоборот, если ∆ равна полуцелому числу длин волн в вакууме,

то δ = ±(2m + 1)π, так что колебания в точке Р совершаются в противофазе и интенсивность суммарного колебания обращается в нуль. Следовательно, (5.11) есть условие интерференционного минимума.

Таким образом, в разных точках пространства в зависимости от разности хода приходящих волн будет происходить усиление либо ослабление колебаний. Существенно, что в процессе взаимодействия волн, энергия, переносимая волнами, не теряется и не поступает дополнительно — происходит лишь ее перераспределение в пространстве.

Вустройствах, используемых для наблюдения интерференции световых волн, световой пучок, испускаемый источником света, разделяется на части при отражении и преломлении на границе раздела сред с различными показателями преломления.

Зеркала Френеля представляют собой систему двух соприкасающихся зеркал, слегка наклоненных по отношению друг к другу. Световая волна, исходящая из источника, отражаясь от зеркал под разными углами, разделяется на две волны, между которыми возникает постоянная разность фаз. При сложении этих волн на экране возникает интерференционная картина.

Вбипризме Френеля для разделения первоначальной волны ис-

110

пользуется преломление света в разных половинах призмы.

В тонких пленках, изготовленных из прозрачных для света материалов, интерферируют между собой отраженные и преломленные волны. Необходимая разность фаз между ними достигается за счет прохождения волнами различного оптического пути.

Представления об интерференции позволили объяснить прямолинейный характер распространения света исходя из его волновой природы. Существенными для понимания того, как распространяется свет, оказались две основные идеи, одна из которых принадлежит голландскому ученому Гюйгенсу (1690), а другая — французскому физику Френелю (1818 г.).

Гюйгенс предположил, что каждая точка волнового фронта, то есть поверхности, которой достигли колебания в рассматриваемый момент времени, является источником новых волн. При этом Гюйгенс исходил из аналогии распространения света с распространением волн в упругой среде. В самом деле, волна, распространяясь в упругой сплошной среде, вызывает колебания частиц, которые, в свою очередь, передают энергию колебаний соседним частицам, являясь, таким образом, сами источниками вторичных волн. Может возникнуть вопрос: почему в таком случае волна не распространяется в обратном направлении, ведь каждая частица, колеблясь, вызывает вторичные волны, идущие во всех направлениях? Ответ состоит в том, что вторичные колебания, идущие в направлении, обратном направлению распространения первичной волны, оказываются в противофазе со вторичными волнами, испускаемыми частицами, которые находятся позади фронта, и в результате колебания в обратной волне гасятся. Проще всего представить себе эту картину, если рассмотреть взаимодействие плавающих в воде шаров, связанных нитью. Легко видеть, как первоначальный импульс передается от шара к шару в одном направлении — в направлении удара.

Точно так же происходит и распространение световой электромагнитной волны. Благодаря явлению электромагнитной индукции, в каждой точке волнового фронта возникают соответствующие электрические и магнитные поля, так что сама точка фронта становится источником вторичной волны. Замечательно, что

111

Гюйгенс указал способ передачи световой энергии, ничего не зная по существу о механизме взаимодействия в световой волне и пользуясь только механической аналогией. Эта его гипотеза получила название принципа Гюйгенса. Распространение волны по Гюйгенсу изображено на рис. Видно, что огибающая поверхность, то есть поверхность, касательная к волновым поверхностям вторичных волн, образует фронт волны в любой последующий момент

времени.

Следующий шаг в понимании механизма распространения света сделал Френель. Он обратил внимание на то, что вторичные волны, испускаемые фронтом волны, по определению должны обладать одинаковой начальной фазой, и поэтому будут интерферировать. Таким образом, непрерывно расширяющийся фронт распространяющейся волны представляет собой результат интерференции вторичных волн, образующихся на предшествующем фронте. Интенсивность света в любой точке фронта волны можно вычислить, если просуммировать амплитуды всех вторичных волн, пришедших в рассматриваемую точку. Поскольку источники вторичных волн распределены на поверхности волнового фронта непрерывно, для точного расчета интенсивности следует проинтегрировать выражение для амплитуды вторичной волны по всей поверхности предшествующего волнового фронта. Френель, однако, предложил очень эффективный качественный способ расчета освещенности в произвольной точке пространства — так называемый метод зон Френеля.

Рассмотрим сферическую волну, распространяющуюся из точки O в направлении точки P, освещенность в которой мы хотим определить. В рассматриваемый момент времени фронт волны представляет собой сферическую поверхность, все точки которой являются, согласно принципу Гюйгенса, источниками вторичных волн, определяющих амплитуду световой волны в точке наблюдения Р.

112

Эти участки волновой поверхности представляют собой зоны Френеля. Первая зона представляет собой сферический сегмент, а остальные зоны — соответствующие кольца на поверхности сферы.

Зоны Френеля обладают тем свойством, что вторичные волны, испускаемые соответствующими точками двух соседних зон, находятся в противофазе. В самом деле, пусть волна, испускаемая в какой-либо точке r0 одной из зон, имеет вид

u1 = A1 cos ωt − 2πλr0 +α .

Тогда в близлежащей зоне, определяемой соотношением (5.12),

найдется точка на расстоянии r0 + λ/2 от точки наблюдения такая, что испущенная в ней вторичная волна придет в точку наблюдения с фазой, противоположной фазе первой волны:

= −A2 cos ωt − 2πλr0 +α

Ввиду малости длины волны по сравнению с расстоянием до точки наблюдения можно считать, что амплитуды волн, распространяющихся от соседних зон, мало отличаются друг от друга, то

113

есть A1 ≈ А2. Более точные вычисления показывают, что амплитуды вторичных волн, испускаемых различными зонами, постепенно убывают с ростом номера зоны, обращаясь в нуль, когда угол между направлением распространения вторичной волны и нормалью

к волновой поверхности (угол ϕ на рис.) становится равным π/2. Таким образом, амплитуды волн, приходящих в точку наблюдения от соседних зон, противоположны по знаку и мало отличаются по величине. Поэтому амплитуда результирующего колеба-

ния в точке Р имеет вид:

A =A1–A2+A3–... (5.13)

Преобразуем это выражение к виду

Учитывая, что амплитуды соседних зон мало отличаются по величине, можно считать: An=(An–1+An+1)/2.

Тогда выражения в скобках все обращаются в нуль и амплитуда результирующего колебания в точке наблюдения оказывается равной половине амплитуды волны, приходящей от первой зоны,

A=A1/2 (5.15)

Таким образом, оказалось, что величина амплитуды световой волны в точке Р определяется наложением вторичных волн, приходящих с небольшого участка волновой поверхности, меньшего по площади, чем первая зона Френеля. Из геометрических соображений нетрудно вычислить площадь 1-й зоны Френеля на рис. Она

Если положить r = R = 1 м и λ = 0,5 мкм (длина волны зеленого цвета), то окажется, что площадь участка волновой поверхности, определяющей амплитуду световой волны в точке Р, будет меньше 3/4 мм. Следовательно, распространение света происходит так, как если бы свет шел вдоль узкого луча сечением, меньшим чем S1, то есть прямолинейно.

Из приведенного рассмотрения вытекает много интересных следствий. Например, если на пути световой волны поставить непрозрачный экран с круглым отверстием так, что экран закроет

114