3.5.3. Силы в магнитном поле

А. Сила Лоренца

На заряд, движущийся в магнитном поле, со стороны последнего действует сила, называемая силой Лоренца. Поскольку эта сила должна быть пропорциональна заряду и скорости электрона, а с другой стороны, напряженности магнитного поля, то вектор силы следует построить, как и в законе Био-Савара, с помощью векторного произведения указанных векторов. При этом в единицах СИ вместо вектора напряженности используется вектор магнитной индукции.

где μ0 — известная константа, называемая магнитной проницаемостью вакуума. В вакууме величины B и H различаются только константой , но в веществе вместо μ0 следует принимать величину μ0μ — магнитную проницаемость вещества, которая может значительно отличаться от μ0. Таким образом, характеристикой истинного поля в среде является не напряженность поля H , а магнитная индукция B. Поэтому сила

Лоренца должна быть записана в виде:

Из выражения (3.88) видно, что сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно вектору скорости заряда и поэтому изменяет только направление скорости, оставляя неизменной ее величину. По этой же причине сила Лоренца не совершает над зарядом работы. Сила Лоренца является центростремительной силой, сообщающей заряду только нормальное ускорение. Траектория заряда в магнитном поле представляет собой окружность в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции (рис.). Если наряду с магнитным полем имеется отличное от нуля электрическое, то, кроме силы Лоренца, на заряд действует сила (3.4). Суммарная си-

8

В этом случае, кроме нормального ускорения, заряд приобретает ускорение в направлении (либо против) электрического поля и в результате движется по винтовой линии, которая изображена на рис. для параллельно на-

правленных полей E и B. По мере продвижения под действием электрического поля энергия и скорость частицы будут монотонно возрастать. Свойство магнитного поля удерживать заряженные частицы в определенной области пространства находит широкое применение в физике и технике для ускорения заряженных частиц, нагрева плазмы, управления пучками заряженных частиц в приборах физической электроники.

Б. Сила Ампера

Теперь не составит труда обобщить силу Лоренца для проводника с электрическим током. Умножая силу (3.88), действующую в магнитном поле на один электрон, на число электронов в объеме

проводника dN = ndV = nSd , находим силу, действующую на элемент проводника длиной d ,

Пользуясь тождеством vd = vd и выражая плотность тока через силу тока I = jS, полученное выражение можно записать в виде закона Ампера:

В скалярной форме закон Ампера имеет вид:

где α — угол между векторами d и B. Сила, действующая на проводник с током в

9

магнитном поле, направлена перпендикулярно направлению протекания тока и вектору магнитной индукции. В опытах Ампера (1820г.) наблюдалось взаимное притяжение либо отталкивание электрических токов, протекающих по параллельным проводникам.

Пользуясь законом Ампера, вычислим силу взаимодействия между двумя параллельными то-

ками I1, и I2 (рис.).

На каждый ток, согласно (3.91), действует сила, равная векторному произведению пото-

ка электронов Id на магнитную

индукцию B, создаваемую другим током в месте протекания первого тока. Из закона БиоСавара можно видеть, что векто-

ры B1, и B2 перпендикулярны соответствующим элементам токов d 1, и d 2, поэтому в формуле (3.92) α = π/2. Отсюда, пользуясь

формулой (3.86) для напряженности поля бесконечного линейного тока, находим, что на единицу длины проводников действует сила

При параллельной ориентации токов сила fA есть сила притяжения, при антипараллельной — сила отталкивания.

10

В. Силы, действующие на замкнутый контур с током в однородном магнитном поле. Магнитный момент тока

Рассмотрим замкнутый проводящий контур, по которому течет ток I , помещенный в однородное магнитное поле B. Поле B, в зависимости от его ориентации по отношению к контуру, по-разному воздействует на контур. Для простоты рассмотрим плоский контур в виде рамки, изображенной на рис. Результаты, однако, будут справедливы и для контура произвольной формы.

Силы Ампера, действующие на разные участки контура, будут согласно формуле (3.91) перпендикулярны одновременно и направлению вектора, и сторонам рамки. При этом на стороны a рамки будут действовать силы в плоскости рамки, стремящиеся сжать либо растянуть рамку (в зависимости от направления протекания тока). На стороны же b будут действовать противоположные

силы под углом α к плоскости рамки, которые будут стремиться привести ее во вращение. Эти последние две силы образуют пару сил, которая создает вращательный момент рамки.

Плечо силы FA, действующей на каждую из сторон b, равно (a sinα)/2, сила FA=I b B, следовательно, полный момент пары сил равен

Таким образом, однородное магнитное поле создает вектор момента сил, направ-

11

ленный перпендикулярно вектору B и нормали к плоскости контура. Как видно, из полученного выражения, момент силы не зависит от координат выбранной точки, а определяется только площадью контура. Величина

называется магнитным моментом тока, протекающего по контуру. Направление pm совпадает с направлением нормали к контуру. Таким образом, всякий ток, протекающий по замкнутому контуру, можно характеризовать вектором магнитного момента (рис.).

В терминах магнитного момента вращательный момент контура можно записать в виде:

Из (3.97) видно, что составляющая магнитной индукции Bn нормальная к плоскости контура, не вносит вклад во вращатель-

ный момент, pm × Bn = 0 .

Магнитный момент контура с электрическим током играет такую же роль по отношению к внешнему магнитному полю, что и электрический дипольный момент по отношению к электрическо-

му полю (см. (3.43)).

В самом деле, согласно механике, работа, которую необходимо

Эта работа затрачивается на изменение положения контура в пространстве, то есть изменяет потенциальную энергию контура dA = dU. При повороте контура на конечный угол потенциальная энергия изменяется на величину

U = ∫dU = ∫α pm B sin α dα = −pm B cos α +U0 . (3.99)

0

Выбрав величину U0 за начало отсчета, получим, что потенциальная энергия контура с током во внешнем поле имеет вид:

Как и для электрических диполей в электрическом поле, выражение (3.100) принимает наименьшее значение при ориентации магнитного момента параллельно вектору магнитной индукции.

12