поэтому мы начнем свое знакомство с оптикой именно с них, не обсуждая сложную и на первый взгляд противоречивую природу света.
5.1.Геометрическая оптика
5.1.1.Принцип Ферма
В однородной среде свет распространяется прямолинейно, а в неоднородной путь, проходимый светом, может представлять собой сложную кривую. Опыт показывает, что в любой среде свет распространяется по такому пути, для прохождения которого свету необходимо наименьшее время. Это наблюдение составляет содержание принципа Ферма, установленного им в середине 17 века. Существует механическая аналогия принципа Ферма, состоящая в том, что падение камня в поле силы тяжести происходит по такой траектории, при движении по которой время падения камня будет минимальным. В этом смысле можно сказать, что свет распространяется так же, как падает камень. Если рассматривать распространение света и движение камня как результат взаимодействия между телами, то можно утверждать, что всякое взаимодействие в любой среде распространяется таким образом, чтобы время распространения было минимальным.
Принцип Ферма справедлив не только для лучевой оптики, но и для волновой. Лучевая оптика представляет собой всего лишь предельный частный случай волновой оптики, который реализуется в пределе малых длин волн. Рассматривая волновую оптику, мы увидим, каким образом различные световые волны могут складываться так, что энергия распространяющихся световых колебаний оказывается сосредоточенной в области луча — «траектории» света.
Покажем, как из принципа Ферма следуют основные законы геометрической оптики — законы отражения и преломления света на границе двух сред.
101
Рассмотрим сначала отражение света на плоской поверхности раздела двух сред (рис.). Для простоты, пусть верхняя среда будет вакуум. Пусть луч света, испущенный
в точке А под углом υ?, отразившись от плоскости раздела, попадает в точку В. Поскольку скорость света в вакууме равна c, время прохождения
света равно суммарному пути прямого и отраженного лучей, деленному на c, и, следовательно, для того чтобы это время было минимальным, путь луча из А в В при отражении должен быть кратчайшим. Из рисунка видно, что кратчайшим является путь АОВ, то есть путь, при котором угол отражения равен углу падения. Для сравнения на рисунке показан и другой путь, для которого это не так, и видно, что всякий другой путь оказывается длиннее и соответственно время прохождения света будет большим.
Теперь рассмотрим преломление света. Пусть для простоты вторая среда также однородна, но обладает показателем преломления п (см. формулу (4.72) гл. 4). Скорость света в веществе v меньше скорости света в пустоте c (v=c/n), поэтому время прохож-
дения луча во второй среде будет равно:
τ=s2/v=ns2/c
где s2 — длина пути, проходимого светом во второй среде (см. рис.). Согласно принципу Ферма полное время пути света должно
быть минимальным. |
L = |
Величина |
|
n |
(5.1) |
называется оптической длиной пути. Из требования минимальности времени распространения света следует, таким образом,
102
что в оптически плотной среде (n≠1) оптическая длина пути света должна быть минимальна.
Для луча, испущенного в точке А и после преломления попавшего в точку В, полная оптическая длина пути равна:
L=s1+ns2= 
a12 + x2 +
a22 +(b − x)2 .
Условие минимальности этой длины состоит в равенстве нулю ее производной:
dL |
= |
|
x |
− |
|
n(b − x) |
= |
x |
−n b − x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||
dx |
|
|
a12 + x2 |
|
|
a22 +(b − x)2 |
|
s1 |
s2 |
Отношения x/s1 и (b-x)/s2, как видно из рисунка, равны соответственно sinυ и sinr, где r— угол преломления луча. Таким образом, мы получили закон преломления световых лучей:
sin υ/sin r=n (5.2)
Законы отражения и преломления световых лучей, несмотря на их простоту, позволяют рассчитать самые сложные оптические устройства, используемые для преобразования световых лучей с целью получения оптического изображения. Необходимыми элементами таких устройств являются оптические линзы. Типичная линза изображена на рис.
Особенностью линзы является то ее свойство, что, по какому бы пути ни прошел луч, проходящий через линзу, оптическая длина пути луча будет одинакова. Другими словами, оптическая длина пути всех этих лучей будет стационарна.
Это свойство линзы дает возможность собирать рассеянные лучи, тем самым увеличивая освещенность, использовать ее для получения увеличенного изображения и для многих других целей. Современные линзы могут представлять собой весьма сложные оптические устройства, например, показатель преломления в них может быть переменным по толщине линзы, что используется для изменения хода лучей в нужном направлении.
103