- •3.5. Магнитостатика
- •3.5.1. Природа магнитного поля
- •3.5.2. Свойства магнитного поля. Закон Био-Савара
- •3.5.3. Силы в магнитном поле
- •А. Сила Лоренца
- •Б. Сила Ампера
- •В. Силы, действующие на замкнутый контур с током в однородном магнитном поле. Магнитный момент тока
- •3.5.4. Магнитное поле в веществе. Магнетики
- •3.5.5. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля. Поле соленоида
- •3.5.6. Электромагнитная индукция
- •3.5.7. Энергия магнитного поля
- •3.6. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля.
- •3.6.1. Ток смещения. Возникновение магнитного поля при изменении электрического поля
- •3.6.2. Уравнения Максвелла.
- •IV. Колебания и волны
- •4.1. Механические колебания
- •4.1.1. Гармонические колебания. Осциллятор
- •4.1.2. Сложение колебаний
- •4.2. Электрические колебания
- •4.2.1. Свободные колебания в электрическом контуре
- •4.2.2. Вынужденные колебания. Резонанс
- •4.2.3. Переменный электрический ток
- •4.3. Волновое движение
- •4.3.1. Связанные гармонические осцилляторы. Упругие волны
- •4.3.2. Свойства бегущих волн
- •4.3.3. Энергия, переносимая волной. Стоячие волны
- •4.4. Генерация электромагнитных волн
- •4.4.1. Электромагнитные волны и уравнения Максвелла. Скорость распространения электромагнитных волн
- •4.4.2. Свет как электромагнитная волна. Шкала электромагнитных волн
- •4.4.3. Энергия электромагнитной волны.
- •4.4.4. Импульс электромагнитного поля
- •4.4.6. Заключение
- •Контрольная работа 4.
- •4.5. Равновесное электромагнитное излучение
- •4.5.1. Абсолютно черное тело
- •4.5.2. Классическое рассмотрение излучения черного тела. Ультрафиолетовая катастрофа
- •Глава 5.ОПТИКА.
- •5.1. Геометрическая оптика
- •5.1.1. Принцип Ферма
- •5.2. Волновая оптика
- •5.2.1. Опыт Юнга. Интерференция волн. Принцип Гюйгенса.
- •5.2.2. Метод графического сложения амплитуд. Дифракция от простейших преград.
- •5.2.3. Дифракционная решетка. Дифракция рентгеновских лучей
- •5.3. Физическая оптика
- •5.3.1. Поляризация света
- •5.3.2. Дисперсия света
- •Глава 6. ФОТОНЫ.
- •6.1. Коротковолновая граница рентгеновского спектра
- •6.2. Внешний фотоэффект
- •6.3. Эффект Комптона
- •Контрольная работа №5
- •7.1. Строение атома
- •7.1.1 Планетарная модель
- •7.1.2. Атомные спектры
- •7.1.3 Постулаты Бора
- •7.1.4. Упругие и неупругие столкновения
- •7.1.5. Опыты Франка и Герца
- •7.2. Волновые свойства микрочастиц
- •7.2.1. Гипотеза де Бройля
- •7.2.2. Свойства микрочастиц
- •7.2.3. Соотношение неопределенностей
- •7.2.4. Волна де Бройля.
- •7.3. Уравнение Шредингера.
- •7.3.1. Волновые функции
- •7.3.2. Уравнение Шрёдингера
- •7.3.3 Прохождение частиц через потенциальный барьер
- •7.3.4. Квантование энергии
- •7.3.5. Собственные значения физических величин
- •7.3.6. Квантование момента импульса
- •7.3.7. Гармонический осциллятор
- •7.3.8. Атом водорода
- •Глава 8. АТОМНОЕ ЯДРО
- •8.1. Ядерные силы
- •8.2. Некоторые свойства ядер
- •8.3. Энергия связи ядра
- •8.4. Радиоактивность
- •8.5. Постоянная распада
- •8.6. Период полураспада
- •8.7. Кривая роста дочерних ядер
- •8.8. Радиоактивные семейства ядер
- •8.9. Датировка событий методом радиоактивных распадов
- •Контрольная работа №6
Поэтому вместо формулы (4.49) мы получим vçâ = |
|
P |
|
. Восполь- |
|
||||
|
|
ρã |
зуемся уравнением состояния газа PV = NkБT (где N — число частиц; T — температура газа; kБ — постоянная Больцмана). Вводя
плотность газа ρг=mN/V, где m— масса частицы, находим, что скорость звука в газе частиц оказывается порядка средней скорости теплового движения частиц
v |
çâ |
= |
kÁT |
≈ v . |
|
|
m |
T |
|
|
|
|
|
Это приближенный расчет, но он дает правильную оценку порядка величины скорости звука. Характерные скорости звуковых волн в газах порядка 300 м/с, а в твердых телах ~1000 м/с.
4.3.2. Свойства бегущих волн
Запишем уравнение (4.47) в ви-
де:
∂2u |
= v2 |
d 2u . |
(4.50) |
∂t2 |
|
dx2 |
|
где v— скорость перемещения величины и вдоль оси х. Это уравнение было получено для упругих
волн в сплошной струне, но оно не содержит какой-либо специфики упругих волн, а выражает лишь волновой характер изменения физической величины u(x,t) во времени и пространстве. Поэтому, если под величиной v понимать скорость этого изменения, то данное уравнение можно рассматривать как общий вид волнового уравнения для произвольной физической величины u(х, t).
Решением волнового уравнения согласно (4.48) является периодическая по времени и координате функция
u(x,t) = u cos[ω(t–x/v)+α], |
(4.51) |
которая представляет собой бегущую волну, осуществляющую перенос фазы колебания величины и с постоянной скоростью u вдоль направления распространения волны. Расстояние, на кото-
рое перемещается фаза за один период колебания Т, λ = v T назы-
47
вается длиной волны. Удобно для описания волны пользоваться угловыми переменными – угловой частотой ω = 2π/T и волновым
числом k = 2π/λ. Скорость перемещения фазы может быть выражена через эти величины
v = vф = /T = ω/k |
(4.52) |
и называется фазовой скоростью волны. Заменив в уравнении (4.51) скорость на фазовую, запишем уравнение бегущей волны в виде:
u(x,t) = u cos(ωt – kx + α). |
(4.53) |
Это уравнение представляет собой наиболее часто употребляемый вид бегущей волны, распространяющейся вдоль оси x.
При распространении волны в сплошной среде колебания испытывает одновременно большое число частиц. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, образует волновую поверхность. Например, в случае волны (4.53), распространяющейся вдоль оси x, волновыми поверхностями являются любые плоскости x = const. Такая волна называется плоской. Поверхность, отделяющая колеблющиеся частицы от остальной области пространства, которой колебания еще не достигли, — фронт волны.
Выше была рассмотрена волна, которая распространялась вдоль оси x . Это случай одномерного распространения, так как положение колеблющейся частицы определяется заданием только одной величины — ее координаты х. Волна может распространяться на плоскости — это случай двухмерного распространения. Наконец, волна может распространяться в трехмерном пространстве. Довольно частой является ситуация, когда источник колебаний локализован в малой области пространства или сосредоточен, а волна распространяется во все стороны от него. Если свойства среды, в которой распространяется волна, одинаковы по всем направлениям, то скорость волны во всех направлениях будет одна и та же, и все волновые поверхности, включая и фронт волны, будут представлять собой сферы с центром в точке нахождения источника колебаний. Такую волну называют сферической. На больших расстояниях от источника, когда радиус сферы, определяющей фронт
48
волны, становится очень большим, участки волнового фронта с размерами, много меньшими расстояния до источника, можно рассматривать как плоские, т. е. считать сферическую волну плоской. Это приближение используется при решении многих задач.
Нетрудно написать уравнение сферической волны. Положение колеблющейся частицы определяется в этом случае только ее расстоянием от источника колебаний r, т.е. фаза колебаний должна
иметь вид ωt – kr + α. Амплитуда колебаний в сферической волне, однако, не будет оставаться постоянной — она убывает с расстоянием, как 1/r. Последнее утверждение вытекает из требования, чтобы поток энергии, переносимый волной через поверхность сферы любого, сколь угодно большого, радиуса оставался постоянным. Таким образом, сферическая волна должна иметь следующий вид:
u(r,t) = |
a cos(ωt – kr + α), |
(4.54) |
|
r |
|
где a— постоянная величина, численно равная амплитуде волны на расстоянии от источника, равном единице длины.
Найдем уравнение плоской волны, бегущей в трехмерном пространстве вдоль произвольного направления n. Выберем систему координат и возьмем волновую
поверхность волны, находящуюся на расстоянии от начала коор-
динат (рис.). Это будет плоскость, перпендикулярная вектору n. Если волна в начале координат задана уравнением:
u(0,t) = u0 cos(ωt + α),
то колебания частиц на выбранной волновой поверхности будут иметь вид:
u(0,t) = u0 cos(ωt –k + α).
Из рис. видно, что n r = r cosϕ = , поэтому написанному
выше уравнению можно придать вид:
u( r ,t) = u0 cos(ωt - k n r + α).
Введем вектор
49
|
2π |
|
|
k = |
λ n |
= k n , |
(4.55) |
равный по величине волновому числу и направленный вдоль |
|||
вектора n направления распространения волны. Величина k назы- |
вается волновым вектором. С его помощью уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся в произвольном направлении n, приобретает вид:
u( r ,t)= u0cos(ωt – k r + α). |
(4.56) |
Получим с помощью выражения (4.56) общий вид волнового уравнения, частным видом которого является (4.50). Колебания частиц в волне являются функцией четырех переменных — трех пространственных координат x, y, z и времени t. Продифференци-
руем выражение (4.56) по каждой из этих переменных дважды, |
|||||
пользуясь тем, что |
|
|
|||
kr = kx+ ky+ kz: |
|||||
∂ |
2 |
u2 |
|
|
|
|
= −ω2u0 cos (ωt − kr + α)= −ω2u; |
||||
∂t |
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
u2 |
|
|
|
|
= −kx2u0 cos (ωt − kr + α)= −kx2u; |
||||
∂x |
|
|
|
||
∂2u |
2 |
∂2u |
2 |
||
∂y2 |
= −ky u; |
∂z2 |
= −kz u. |
||
|
|
Складывая производные по координатам и выражая правую часть полученного выражения через производную по времени, находим:
∂2u |
|
∂2u |
|
∂2u |
= −k |
2 |
u = |
k2 ∂2u |
|||||
|
2 |
+ |
|
2 |
+ |
|
2 |
|
|
|
2 . |
||
∂x |
∂y |
∂z |
|
2 |
∂t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
Наконец, заменяя ω/k на фазовую скорость волны (4.52), окончательно получаем:
∂2u |
+ |
∂2u |
+ |
∂2u |
= |
1 ∂2u |
. |
(4.57) |
||
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
v2 |
∂t2 |
||||||
|
|
|
|
|
Это и есть общий вид волнового уравнения, который был выведен исходя из того, что выражение (4.51) представляет собой плоскую волну. На самом деле класс решений уравнения (4.57) не-
50