4.5.2. Классическое рассмотрение излучения черного тела. Ультрафиолетовая катастрофа

Классическое рассмотрение электромагнитного поля основано на представлении электромагнитного поля в виде сплошной среды, состоящей из бесконечного числа электромагнитных колебаний различных частот, подобных рассмотренным ранее упругим волнам. К такой модели могут быть применены известные законы физики и термодинамики. Каждое отдельное колебание можно рассматривать как частицу (гармонический осциллятор), которая совершает независимое колебание с частотой ω и обладает энергией, зависящей от частоты и температуры излучающего тела. Таким образом, при классическом рассмотрении мы заменяем непрерывное множество электромагнитных колебаний различных частот системой бесконечно большого числа отдельных независимых частиц — осцилляторов, совершающих гармонические колебания частоты ω. Согласно кинетической теории, каждый такой осциллятор обладает двумя степенями свободы; на каждую степень свободы частицы приходится количество тепловой энергии, равное kБT/2. Таким образом, средняя энергия каждого осциллятора должна быть равна kБT, средняя энергия всей системы — величине kБT , умноженной на число осцил-

ляторов.

Найдем число осцилляторов с частотой, лежащей в интервале от

ω до ω + dω.

Пусть электромагнитное излучение заключено для простоты в кубе объема V с линейным размером L. Волны, бегущие в направлении осей х, у и z, испытывают отражение от стенок полости, и в

результате в полости устанавливаются стоячие волны (см. разд.

89

4.3.3), имеющие вид:

u1 = 2A coskxx cosωt, u2 = 2A coskyy cosωt, u3 = 2A coskzz cosωt.

На стенках полости амплитуда стоячей волны имеет вполне определенные значения. Будем считать, что амплитуда волны на стенках принимает максимальные значения, т.е. возникают пучности волны. Это означает, что при значениях x,y,z равных соответственно 0,L фазы стоячих волн, установившихся в направлениях

х,у и t равны или кратны π. При этом волновые числа kj положительны и принимают дискретный ряд значений:

kx = n1 πL , ky = n2 πL , kz = n3 πL , (n = 1, 2, 3…)

Всевозможные стоячие волны в таком объеме изобразим точками в пространстве волновых чисел kx,ky ,kz (рис.), лежащими в первом октанте сферы радиусом

k = kx2 +ky2 +kz2 = N πL

Теперь легко найти требуемую величину. Поскольку частота и волновой вектор электромагнитной волны связаны соотношением ω = ck, очевидно, что число волн, имеющих частоту в интервале между ω и ω + dω, равно числу волн с волновым числом, лежащим между k и k + dk. Из рис. видно, что оно равно числу возможных значений п, заключенных в шаровом слое между сферическими поверхностями с радиусами k и k + dk в первом октанте, т.е. составляет 1/8 объема всего шарового слоя, изображенного на рис.:

Умножив это выражение на kБT, получим среднюю энергию, содержащуюся в объеме V винтервале частот dω, а разделив на V— плотность энергии:

Эта формула называется законом Релея-Джинса. Таким образом, классическое рассмотрение приводит к результату, что спектральная плотность энергии растет как квадрат частоты. Сравнив

90

его с экспериментальной кривой, можно видеть, что формула Ре- лея-Джинса хорошо описывает ситуацию при малых частотах, но не применима при больших частотах. В области больших частот (или малых длин волн) она вообще приводит к бессмысленному результату. В самом деле, полная плотность энергии в полости, согласно (4.90), получается суммированием по всем частотам:

т.е. согласно формуле Релея-Джинса, оказывается бесконечной. На самом деле равновесие между излучающим телом и излучением при конечной температуре должно установиться при конечной

величине плотности энергии электромагнитного излучения ρ(Т). Полученный результат означает, что представление об электромагнитном поле как о механической системе классических частиц

— осцилляторов — обладает ограниченной применимостью. В области больших частот свойства электромагнитного излучения не укладываются в рамки классических представлений и являются существенно другими.

5.5.3. Термодинамика равновесного излучения

Попробуем оценить величину энергии, содержащейся в равновесном электромагнитном излучении абсолютно черного тела при температуре Т, исходя из термодинамических соображений.

Пусть равновесное электромагнитное излучение тела при температуре Т заполняет область, объем которой V. Полная энергия dW элемента объема dV, согласно первому началу термодинамики, складывается из внутренней энергии и величины энергии, равной механической работе, производимой давлением излучения на стенки полости:

Внутренняя энергия Eвн представляет собой энергию электро-

магнитного поля, заполняющую объем, и равна плотности энергии w электромагнитного поля, умноженной на величину этого объема,

Давление излучения на стенки полости Р можно найти, пользу-

91

ясь представлением об электромагнитном поле как о системе колеблющихся частиц — гармонических осцилляторов — сталкивающихся со стенками полости.

Для идеального газа частиц, каждая из которых обладает тремя поступательными степенями свободы, давление на стенку согласно уравнению Менделеева-Клапейрона равно:

где правая часть представляет собой объемную плотность энер-

гии теплового движения частиц. Напомним, что при выводе этого уравнения было учтено, что частицы, движущиеся в каждом из трех возможных направлений в пространстве, составляют треть от общего числа частиц в объеме. Аналогично этой формуле, давление электромагнитного излучения в объеме V должно быть равно трети плотности электромагнитной энергии,

Pэм=⅓w. (4.97)

Теперь воспользуемся известным термодинамическим отношением, которое связывает производные по переменным V и T,

Разделяя переменные и интегрируя это выражение, получим

Полученный результат означает, что плотность энергии равновесного электромагнитного излучения абсолютно черного тела должна быть пропорциональна четвертой степени температуры тела. Выражение (4.100) называют законом Стефана-Больцмана. Полученный Больцманом из чисто термодинамических соображений, он замечателен тем, что показывает, как важен термодинамический подход для понимания свойств материи. Установление закона Стефана-Больцмана имело огромное значение для дальнейшего развития теории электромагнетизма.

Исходя из указанного закона оказалось возможным установить общий вид зависимости плотности излучения от частоты во всем

92

спектральном интервале. В самом деле, мы должны потребовать, чтобы полная плотность излучения, т.е. спектральная плотность излучения ρ(ω), просуммированная по всем частотам, была пропорциональна T4:

w(T )= ∞∫ρ(ω,T )dω = const T4.

0

Согласно закону Кирхгофа спектральная плотность зависит только от частоты волны и температуры тела. Заметим, что инте-

грал ∞∫ρ(ω,T )dω может быть пропорционален T4 только в том

0

случае, если ρ имеет вид ω3 f ωT , где явное выражение для

функции f ω пока еще остается неопределенным. Произведя

T

подстановку и сделав замену переменной интегрирования х = ω/T, нетрудно убедиться, что при этом виде спектральной плотности указанный интеграл действительно удовлетворяет закону СтефанаБольцмана:

где I — некоторый численный множитель.

Таким образом, спектральная плотность излучения должна быть следующего вида:

Выражение (4.101) называется законом Вина. Новым и наиболее важным обстоятельством является то, что в дополнение к закону Кирхгофа частота волны и температура тела входят в закон Вина в виде их отношения. Поскольку частота и температура являются величинами разных размерностей, в это отношение нужно ввести размерную константу. Умножим температуру на постоян-

93

ную Больцмана, а необходимую новую константу обозначим через ħ, тогда закон Вина примет вид:

Нетрудно увидеть, что константа ħ имеет размерность, равную произведению размерностей импульса и координаты [ħ] = [p] [x]. Физическая величина, имеющая такую размерность, называется

действием.

Физический смысл действия состоит в следующем. Рассмотрим одномерное движение частицы. В каждый момент

времени частица имеет какие-либо значения координаты и импульса. Будем откладывать все возможные значения координаты на оси абсцисс, а значения импульса — на оси ординат. Тогда на плоскости получим некоторую кривую, отвечающую движению частицы в реальном пространстве. Площадь внутри этой кривой и составляет величину действия для рассматриваемого движения.

На рис. изображена область изменения координат и импульсов для частицы массой т, совершающей колебания вокруг положения равновесия — гармонического осциллятора, например массы на пружине. Ее координата изменяется по закону x(t) = a sin(t), а им-

пульс — p(t) = m a ω cos(ωt).

Исключая время t из этих уравнений, получим уравнение траектории частицы в виде: p (x)= m ω a2 − x2 .

Это уравнение эллипса, изображенного на рис. Площадь, заключенная внутри траектории,

S = ∫ pdx = mω ∫a dxa2 − x2 =πmωa2

−a

94

и составляет величину действия для данного движения. Если движение является не одномерным, величина действия

определяется объемом, занимаемым траекторией в соответствующем многомерном пространстве координат и импульсов частицы. Пространство, в котором осями координат служат координаты и импульсы частиц, называется фазовым, а траектория в таком пространстве — фазовой.

Возвращаясь к константе ħ, введенной в закон Вина (4.102), отметим, что эта постоянная представляет собой элементарную величину действия. Как оказалось в дальнейшем, постоянная ħ представляет собой наименьшую величину действия, которой может обладать движение материального объекта, включая и элементарные частицы. Величина постоянной ħ, рассчитанной впервые на

основании измерений плотности равновесного излучения черного тела, равна 1,054- 10–34 Дж/с.

Из закона Вина следует еще одно важное соотношение. Выражение (4.102) описывает в самом общем виде кривую спектральной плотности , которая имеет характерный максимум. Следовательно, при данной температуре черное тело излучает наибольшее количество энергии на соответствующей этому максимуму частоте ωm. Найдем эту частоту. Определим максимум частоты по выражению (4.102), для чего приравняем нулю производную этого выражения по частоте. Таким образом, нетрудно определить значение ωm, как функции температуры тела. Обычно пользуются все

же не зависимостью от частоты ρω, а зависимостью от длины волны ρλ, которые связаны соотношением (4.89). Поэтому аналогич-

ный максимум имеет и кривая ρλ. Условие экстремума функции (4.102) приводит к следующей зависимости между температурой тела и длиной волны, на которую приходится максимум излучения:

(константа в этом уравнении, конечно, связана с постоянной ħ). Другими словами, чем больше нагрето тело, тем более короткие

длины волн оно излучает. Этот довольно очевидный факт проявляется, например, в возникновении цветов побежалости при нагревании на огне полоски металла. Надо сказать, что законы теплово-

95

го излучения — Стефана-Больцмана, Вина и следующее из последнего соотношение (4.103) — не только имеют огромное значение для понимания природы электромагнитного излучения, но и чрезвычайно важны для практических приложений. Например, на этих законах основана вся радиометрия, т. е. изучение свойств вещества и измерение его параметров посредством исследования излучаемого им спектра электромагнитных волн.

Вернемся к описанию спектральной плотности излучения. При расчете плотности равновесного излучения мы исходили из того, что спектральная плотность энергии равна числу приходящихся на частоту ω осцилляторов в единице объема, умноженному на величину энергии колебаний осциллятора с частотой ω. Число осцилляторов, приходящихся на каждую частоту поля (4.91), получено из геометрических соображений и поэтому является точным. Неправильным явилось предположение о том, что на каждую частоту приходится средняя энергия, равная kБT. Это положение легло в основу формулы Релея-Джинса и привело к ультрафиолетовой катастрофе. Очевидно, формулу Релея-Джинса нужно видоизменить в соответствии с законом Вина так, чтобы она приводила к конечной величине плотности излучения. Это было сделано немецким физиком Планком в 1900г., который предложил формулу для плотности равновесного излучения, одновременно удовлетворяющую закону Вина и включающую как частный случай формулу Релея-Джинса. Формула, предложенная Планком, имеет вид:

Постоянная, которую мы ввели в закон Вина и которая вошла в формулу Планка, получила наименование постоянной Планка.

Структура формулы Планка такова: первый сомножитель равен числу осцилляторов, колеблющихся с частотой ω, а второй представляет собой среднюю энергию осциллятора при температуре Т, имеющего частоту ω. Видно, что распределение энергии электромагнитного излучения по разным частотам неоднородно, на каждую частоту приходится средняя энергия:

96

ekБT −1

Этот результат находится в противоречии с распределением энергии в газе обычных классических частиц, статистика которых подчиняется распределению Максвелла: вычисленная с помощью распределения Максвелла средняя энергия колебания с любой частотой оказывается одинаковой для всех частот величиной, равной kБT. Следовательно, необходимо заключить, что электромагнитное излучение представляет собой равновесную систему каких-то новых частиц, подчиняющихся, отличному от классического, распределению Планка. Эти частицы получили название фотонов. Выражение (4.105) представляет собой среднюю энергию фотона в идеальном газе фотонов, находящихся при температуре Т. Величина ħω есть энергия отдельного фотона. Рассмотрим фотоны, энергии которых малы по сравнению с тепловой энергией kБT . Тогда показатель экспоненты в знаменателе (4.105) заменим при-

ближенной функцией

ekБωT ≈1+ ω

kБT

и получим, что средняя энергия таких фотонов равна kБT, т.е. их можно рассматривать как классические частицы. Для плотности излучения мы при этом получаем формулу Релея-Джинса.

Наоборот, при энергиях фотонов, значительно превышающих энергию kБT, единицей в знаменателе формулы (4.105) можно пренебречь, и мы получаем закон Вина в форме:

ρ(ω,T )≈ ω3 ekБωT

2π2c3

ω

(заметим, что при этом средняя энергия фотона, равная ωekБT , мала по сравнению с тепловой).

Итак, формула Планка замечательно описывает весь ход кривой зависимости плотности энергии от частоты. Вместе с тем при ее строгом выводе обнаружился поразительный с точки зрения клас-

97